3.1: Resolver variables

En muchos cursos de matemáticas y ciencias, necesitarás ser capaz de aislar, o resolver para, una variable. Esta habilidad se usa en muchos lugares: en cálculo diferencial te ayudará a identificar el valor máximo o mínimo de una función y cuando realices diferenciación implícita donde necesitarás expresar una variable en términos de varias variables y parámetros; en cálculo integral la usarás cuando trabajar para identificar puntos de intersección, y en los muchos problemas basados en la física verás en el cálculo diferencial como ecuaciones que trabajan con movimiento de resorte. En muchas de estas situaciones, tendrá múltiples variables, muchos parámetros o funciones bastante complicadas. En todas estas situaciones, el primer paso para resolver una variable consiste en averiguar con qué tipo de expresión o función estás trabajando. El tipo de expresión guía el proceso de solución; tomamos un enfoque diferente para cuadráticas que para la expresión lineal y otro enfoque aún para expresiones trigonométricas. Aprenderemos algunos de estos enfoques en esta sección, pero no discutiremos enfoques para funciones trigonométricas hasta que discutamos estas funciones con mayor detalle, y ya hemos visto cómo resolver funciones logarítmicas y exponenciales (ver Sección 1.5).

Al identificar el tipo de expresión, deberás asegurarte de estar enfocándote en tu variable de interés. Por ejemplo, hemos mirado una fórmula para la altura de una pelota que ha sido lanzada al aire, fórmula 1.2.2:

\[h(t)=h_0+v_0 t +\frac{1}{2}a t^2\]

Se discutió cómo esta función tiene una variable,\(t\), y varios parámetros:\(h_0\),\(v_0\), y\(a\). Aquí, ya que\(t\) es nuestra variable, naturalmente nos enfocamos\(t\) y decimos que tenemos una función cuadrática de\(t\). Sin embargo, puede haber situaciones en las que nuestro enfoque se desplace. Por ejemplo, tal vez quieras que la pelota tenga cierta altura, digamos 10 metros, después de\(t=30\) segundos y seas capaz de ajustar la velocidad inicial,\(v_0\), con la que se lanza la pelota. En esta situación nuestro enfoque está realmente en\(v_0\) y no en\(t\). Esto nos daría la ecuación

\[\label{eqn:height_after_30_sec} \begin{align}\begin{aligned}\begin{split} 10 & = h(30) = h_0 + v_0 (30) + \frac{1}{2}a (30)^2 \text{, or} \\ 10 & = h_0+30v_0 + 450 a \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Aquí, nuestra ecuación aún incluye los parámetros\(h_0\),\(v_0\), y\(a\), pero hemos sustituido 30 por\(t\), y estamos buscando el valor de\(v_0\) eso hace que esta afirmación sea cierta. Ya que nos estamos enfocando\(v_0\), realmente solo tenemos una ecuación lineal de\(v_0\). En general, diríamos que\(h(t)\) es lineal en\(v_0\), es decir, que si todo lo demás se trata como un parámetro, el grado más alto de\(v_0\) es 1, por lo que es lineal. Del mismo modo,\(h(t)\) es una función lineal de\(h_0\) y una función lineal de\(a\). Echemos un vistazo a algunos ejemplos más.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Determining Statement Type

El enunciado\(y^3 \sin{(w)} = 4y^2z+2x^2y+xy+10\) es qué tipo de declaración en términos de

\[\begin{array}{lll}{\text{1. the letter }w?}&{\qquad}&{\text{3. the letter }y?} \\ {\text{2. the letter }x?}&{\qquad}&{\text{4. the letter }z?}\end{array}\nonumber\]

Solución

1. Aquí, nuestro enfoque está en la letra\(w\). La letra\(w\) sólo aparece en el lado izquierdo en el término\(y^3 \sin{(w)}\). Dado que\(w\) está dentro de la función sinusoidal,
   \[\text{This statement is trigonometric in }w\nonumber\]
2. Aquí, nuestro enfoque está en la letra\(x\). La carta\(x\) aparece en dos términos:\(2x^2y\) y\(xy\). Los términos restantes,\(y^3 \sin{(w)}\),\(4y^2z\), y\(10\) no implican\(x\), por lo que se consideran términos constantes cuando nos enfocamos en\(x\). Fuera de los términos que incluyen\(x\), tenemos un\(x^2\) término y un\(x\) término. Esto nos dice que
   \[\text{The statement is quadratic in }x\nonumber\]
3. Ahora, nos estamos enfocando\(y\). La letra\(y\) aparece en cada término excepto\(10\). Tenemos un\(y^3\) término, un\(y^2\) término, dos\(y\) términos y un término constante. Podríamos reescribir la declaración para que solo se vea como un\(y\) término reuniendo términos similares y reescribiendo\(2x^2y+xy\) como\((2x^2+x)y\). Como sólo tenemos estos cuatro tipos diferentes de términos,
   \[\text{This statement is cubic in }y\nonumber\]
4. Por último, vamos a ver\(z\). La letra\(z\) solo aparece en el término\(4y^2z\); cada otro término cuenta como una constante cuando nos enfocamos en\(z\). Esto nos dice que
   \[\text{The statement is linear in }z\nonumber\]

Tenga en cuenta que en el ejemplo anterior, no sabemos si cada letra está representando una variable o un parámetro porque no se nos da contexto para la sentencia. Como no estamos seguros, acabamos de referirnos a las “letras” para que no agregáramos un significado que puede no ser correcto.

Identificar el tipo de declaración o ecuación para nuestra variable de interés es nuestro primer paso para resolver la variable. A continuación, veremos cómo resolver cuando tenemos declaraciones lineales, declaraciones cuadráticas o tipos especiales de polinomios de grado superior. También discutiremos los primeros pasos para resolver funciones trigonométricas, pero no aprenderemos a resolverlas completamente hasta secciones posteriores.

3.1.1 Resolver una declaración lineal

Resolver una declaración lineal es bastante sencillo. Para esta explicación, utilizaremos\(x\) como nuestra variable de interés. Comience moviendo cada término que no tenga un\(x\) a un lado, y cada término que sí tenga un\(x\) al otro lado de la declaración. Entonces, factorizar el\(x\) fuera de cada término con\(x\). Por último, dividir el lado sin\(x\) por los coeficientes en\(x\). Echemos un vistazo a resolver una declaración lineal.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Solving a Linear Statement

Resolver el comunicado\(xz+2yz-4=\sin{(x)} + y^2+y^2z\) para\(z\).

Solución

Aquí vemos que sí tenemos una declaración lineal en\(z\): el grado más alto de\(z\) en la sentencia es 1, y\(z\) no aparece dentro de ninguna otra función. Comenzaremos reuniendo cada término con un\(z\) en el lado izquierdo restando\(y^2z\) de ambos lados:

\[xz+2yz+y^2z-4=\sin{(x)+y^s}\]

A continuación, reuniremos todos los términos que no tengan un\(z\) en el lado derecho:

\[xz+2yz+y^2z=\sin{(x)} +y^2 +4\]

Esto lo hicimos sumando\(4\) a ambos lados. A continuación, vamos a factorizar\(z\) en el lado izquierdo ya que es un factor común para todos esos términos:

\[z(x+2y+y^2)=\sin{(x)} +y^2 + 4\]

Por último, dividiremos el lado derecho por el\(z\) coeficiente del lado izquierdo:

\[z=\frac{\sin(x)+y^{2}+4}{x+2y+y^{2}}\]

3.1.2 Resolver una declaración cuadrática

Cuando resolvemos declaraciones cuadráticas, construiremos a partir de las habilidades que aprendemos con la factorización de cuadráticas y con la búsqueda de las raíces de las cuadráticas. Sabemos que si queremos encontrar las raíces de una función, realmente estamos buscando todas las entradas que nos den una salida de cero. Entonces, tomamos la función y la establecemos igual a cero y usamos la fórmula cuadrática. Sabemos que en cambio podríamos encontrar los factores de la función y utilizarlos para encontrar las raíces. Aquí, nos enfocaremos en usar la fórmula cuadrática ya que estamos tratando con expresiones bastante complicadas que serán más difíciles de factorizar. Con cualquiera de los dos métodos, estamos construyendo a partir de esta idea de encontrar raíces/factores, que se basa en una declaración donde un lado es cero. Esto significa que cuando trabajamos con declaraciones cuadráticas, tendremos que mover todos nuestros términos a un lado antes de hacer otra cosa. Este es un punto de tropiezo común para las personas que trabajan con cuadráticas. En lugar de desarrollar un conjunto completamente nuevo de técnicas, a los matemáticos les gusta usar técnicas antiguas tanto como sea posible, y aquí eso significa que necesitamos que un lado sea cero.

Una vez que hayamos movido todos los términos a un lado, entonces podemos reunir nuestros términos similares. Sabemos que nuestra fórmula cuadrática se basa en conocer los coeficientes del\(x^2\) término, el\(x\) término y el término constante, por lo que vamos a querer reunir todos los\(x^2\) términos juntos, reunir todos los\(x\) términos juntos, y reunir todas las constantes términos juntos. De cada conjunto, factorizaremos los\(x\)'s para encontrar estos coeficientes. Echemos un vistazo.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Solving a Quadratic Statement

Resolver el comunicado\(xz+2yz-4=\sin{(x)} + y^2+y^2z\) para\(y\).

Solución

Vimos esta afirmación en nuestro último ejemplo, pero ahí estábamos resolviendo\(z\). Aquí, queremos resolver para\(y\). Podemos ver que esta afirmación es cuadrática en\(y\) porque sólo tenemos\(y^2\) términos,\(y\) términos y términos constantes. Empezaremos moviendo cada término de la derecha a la izquierda (en su lugar podrías mover todo a la derecha; terminarías con la misma respuesta final). \[xz+2yz-4-\sin{(x)} - y^2 -y^2z =0\]

Ahora, reorganizaremos el orden de nuestros términos para reunir todos los términos similares. Empezaremos con los\(y^2\) términos, luego los\(y\) términos, luego los términos constantes. \[-y^2-y^2z + 2yz + xz -4 -\sin{(x)}=0\]

Ahora vamos a factorizar el\(y^2\) de los dos primeros términos, luego el\(y\) del siguiente mandato. \[y^2(-1-z) + y(2z) + xz-4-\sin{(x)} =0\]

Observe que cuando factorizamos\(y^2\) de los dos primeros términos, no factorizamos lo negativo, a pesar de que ambos términos son negativos. Esto se debe a que queremos que lo negativo forme parte del\(y^2\) coeficiente para que esté en la forma correcta para usar la fórmula cuadrática. Ahora, podemos usar la fórmula cuadrática. En la fórmula cuadrática,\(a\) está el coeficiente sobre el término cuadrado, así que aquí tenemos\(a=-1-z\). A continuación,\(b\) está el coeficiente sobre el\(y\) término, así\(b=2z\). Por último,\(c\) es el término constante, así lo tenemos\(c=xz-4-\sin{(x)}\). Sustituyendo a la fórmula cuadrática, obtenemos:\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} y & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[6pt] & = \frac{-(2z) \pm \sqrt{(2z)^2 - 4(-1-z)(xz-4-\sin{(x)})}}{2(-1-z)} \\[6pt] & = \frac{-2z \pm \sqrt{4z^2 - 4(-1-z)(xz-4-\sin{(x)})}}{-2-2z} \\[6pt] & = \frac{-2z \pm \sqrt{4z^2 + (4+4z)(xz-4-\sin{(x)})}}{-2-2z} \\[6pt] & = \frac{-2z \pm \sqrt{ 4z^2+4xz-16-4 \sin{(x)} - 4xz^2-16z-4z \sin{(x)} }}{-2-2z} \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Como esto no se puede simplificar fácilmente, dejaremos la respuesta tal como está, dándonos una respuesta final de

\[y=\frac{-2z\pm\sqrt{4z^{2}+4xz-16-4\sin (x)-4xz^{2}-16z-4z\sin (x)}}{-2-2z}\]

Como probablemente notaste, la respuesta a este ejemplo es bastante complicada, lo que nos demuestra que tratar de encontrar factores para esta cuadrática, más que las raíces, es bastante difícil. Es importante notar que aquí obtenemos dos respuestas:

\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} y & = \frac{-2z + \sqrt{ 4z^2+4xz-16-4 \sin{(x)} - 4xz^2-16z-4z \sin{(x)} }}{-2-2z}\\[6pt] y & = \frac{-2z - \sqrt{ 4z^2+4xz-16-4 \sin{(x)} - 4xz^2-16z-4z \sin{(x)} }}{-2-2z} \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Obtenemos dos respuestas debido a la\(\pm\); esto nos dice que una respuesta proviene del uso\(+\) y la otra del uso\(-\). Esto nos demuestra que cada enunciado cuadrático tendrá dos soluciones. A veces estas soluciones se verán igual (si resolvemos\((x-1)^2 = 0\) ambas respuestas serán\(x=1\)), y luego los matemáticos dicen que hay una solución repetida (o una raíz repetida). Esta repetición de la raíz sí marca la diferencia en otras propiedades de la función que discutirás en el cálculo diferencial. Para el ejemplo anterior, si la raíz cuadrada se evalúa a cero, tendríamos una solución repetida. Si terminamos con la raíz cuadrada de un número positivo, tendríamos dos soluciones distintas (diferentes) (o raíces), y si terminamos con la raíz cuadrada de un número negativo, tendríamos un complejo par de soluciones conjugadas (raíces). Complejo significa que nuestras respuestas involucran números imaginarios (cualquier número que implique\(i=\sqrt{-1}\)) y par conjugado significa que están relacionados, y la única diferencia es que para una respuesta usamos la\(+\) parte del\(\pm\) y para la otra usamos el \(-\)parte de la\(\pm\). Esto demuestra que para este ejemplo, nuestra respuesta final podría cambiar drásticamente dependiendo de los valores de\(x\) y\(z\).

Para cuadráticas, estas son nuestras únicas opciones para clasificar nuestras respuestas. En cursos posteriores como ecuaciones diferenciales, el tipo de respuesta te dirá sobre las propiedades de las funciones relacionadas. Observe que para una cuadrática, tenemos 2 respuestas y el grado de la afirmación es 2. Para las declaraciones lineales, solo tenemos una respuesta, y el grado de la declaración es 1. Este patrón continúa; para declaraciones cúbicas tienes 3 respuestas y el grado es 3, para declaraciones cuárticas tienes 4 respuestas y el grado es 4. Con cualquier polinomio con grado de 2 o más, podríamos tener soluciones que se repitan, o pares conjugados complejos, así como soluciones distintas. Los pares conjugados complejos te dan dos respuestas; para un cúbico si tienes un par de soluciones conjugadas complejas, tu otra solución debe ser una solución real. Echemos un vistazo a una cuadrática que tiene soluciones conjugadas complejas para que puedas ver cómo escribir tu respuesta usando\(i\), que es la forma más común de expresar estas respuestas.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Solving a Quadratic Statement

Resolver\(x(x-4) = -13\) para\(x\).

Solución

Por la forma de la declaración que se nos da, no es del todo obvio que estamos trabajando con un cuadrático. Tendremos que expandir el lado izquierdo antes de hacer cualquier otra cosa para que podamos ver fácilmente que se trata de una cuadrática y así poder determinar correctamente todos los coeficientes. Ampliando da\(x^2-4x=-13\). Nuestro siguiente paso es mover todo a un lado:
\[x^2-4x+13=0\]

Ahora, podemos escoger nuestros valores de\(a\),\(b\), y\(c\) para la fórmula cuadrática. \(x^2\)tiene un coeficiente de\(1\), entonces\(a=1\);\(x\) tiene un coeficiente de\(-4\), así\(b=-4\); y la constante es\(-13\), así\(c=-13\). La fórmula cuadrática nos da\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} x & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\[6pt] & = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 -4(1)(13)}}{2(1)}\\[6pt] & = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 52}}{2} \\[6pt] & = \frac{4 \pm \sqrt{-36}}{2} \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Ahora, tendremos que lidiar con ese negativo bajo la raíz cuadrada antes de simplificar nuestra respuesta. Podemos lidiar con esto factorizando la raíz cuadrada:\(\sqrt{-36} = \sqrt{(-1)(36)} = \sqrt{-1}\sqrt{36} = i\sqrt{36}\). Ahora, podemos seguir simplificando nuestras respuestas:
\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} x & = \frac{4 \pm \sqrt{-36}}{2} \\[6pt] & = \frac{4 \pm i \sqrt{36}}{2} \\[6pt] & = \frac{4 \pm i(6)}{2} \\[6pt] & = \frac{4 \pm 6i}{2} \\[6pt] & = 2 \pm 3i \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Entonces, terminamos con un par conjugado complejo:

\[x=2+3i\text{ and }x=2-3i\]

3.1.3 Resolviendo Declaraciones de Grado Superior

Para declaraciones polinómicas de grado superior que no incluyen parámetros, podemos construir a partir de las estrategias que utilizamos al factorizar y encontrar raíces. Para estos, podemos resolver moviendo todos los términos a un lado, y luego encontrando las raíces. Estas raíces serán las mismas que las soluciones a la afirmación original. Sin embargo, resolver declaraciones de grado superior puede ser bastante difícil si tienen muchos parámetros. Para las funciones cúbicas, existe una fórmula (similar a la fórmula cuadrática) que te permitirá resolver si mueves todos los términos a un lado, pero la fórmula es larga y difícil de simplificar. Pocos matemáticos podrían decirte esta fórmula sin buscarla porque rara vez se usa; debido a esto no la cubriremos, pero es bueno saber que existe. Del mismo modo, existe una fórmula aún más complicada para encontrar una raíz de una función cuártica; una vez que encuentres la primera raíz entonces tendrías que usar la fórmula de función cúbica. Para cualquier función de grado 5 o superior, no existe una fórmula conocida que te ayude a resolver. Dado que estas funciones de grado superior son bastante difíciles de trabajar, no vamos a trabajar con ellas. Sin embargo, ya hemos mirado resolver casos especiales de ellos cuando discutimos exponentes en la Sección 1.4.

3.1.4 Resolución de Declaraciones No Polinómicas

Por último, discutiremos brevemente la resolución de declaraciones no polinómicas, declaraciones donde nuestra carta de interés es una entrada para una función trigonométrica, una función logarítmica o una función exponencial. Los enunciados trigonométricos requieren el uso de herramientas e ideas que aún no hemos discutido, por lo que los detalles completos serán cubiertos en secciones posteriores. Sin embargo, para todos estos, la primera mitad del proceso es lo mismo que resolver para una declaración lineal. Comenzamos aislando la función que implica nuestra carta de interés moviendo todos los demás términos al otro lado, y luego dividiendo por cualquier coeficiente en nuestro término de interés. Por ejemplo, si quisiéramos resolver el enunciado\(\ln{(a)}b^3cx-7 + \sin{(b)}=2x^2\) para\(a\), empezaríamos aislando\(\ln{(a)}\), y terminaríamos con\(\displaystyle \ln{(a)} = \frac{2x^2+7-\sin{(b)}}{b^3cx}\). Esto no nos dice qué\(a\) es, pero ya casi estamos ahí. Ya hemos visto cómo resolver para\(a\), ahora que\(\ln{(a)}\) está aislado, en la Sección 1.5. Ahora, tienes las herramientas que necesitas para resolver la mayoría de las declaraciones que encontrarás en el cálculo.