11.20: Perpetuidades del crecimiento

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Una perpetuidad de “crecimiento” es un flujo de caja perpetuo (CF) que crece a una tasa de crecimiento constante, que llamaremos “g .” Se trata de un caso especial de perpetuidad. Si, en el último periodo, recibimos un flujo de caja de $100 y su tasa de crecimiento es del 5%, el siguiente flujo de caja seguiría esta fórmula: (Último flujo de caja: CF ₀) (1 + g) = Flujo de caja en el siguiente periodo (CF ₁). “G” representa una tasa constante de crecimiento en el flujo de caja a lo largo del tiempo.

CF ₁ = CF ₀ (1 + g)

$105 = $100 (1.05)

La fórmula para un crecimiento-perpetuidad es: (Flujo de caja _{siguiente periodo} ) ÷ (Tasa de descuento — Tasa de crecimiento). Simbólicamente, esto puede expresarse como:

PV = CF ₁ ÷ (r — g )

En el ejemplo anterior (donde r = 0.10), si la tasa de crecimiento hubiera sido del 5%, el valor presente sería (suponiendo aquí que el siguiente CF es de $105, es decir, [$100] [1.05] = $ 105):

$105 ÷ (.10 — .05) = $2,100

Observe que para que esta fórmula funcione, “g ” no puede ser igual o superior a “r”. Matemáticamente, si g excede r obtendríamos un denominador negativo, resultando en un valor presente negativo, lo cual no tiene sentido. Sin embargo, una justificación matemática, si bien es necesaria, no es suficiente para justificar esta relación. Debe haber una explicación financiera.

Uno, teóricamente, obtiene algún rendimiento positivo —“ r” — por invertir en un activo sin riesgo ^[1]; de lo contrario, no uno invertiría en absoluto. Incluso sin riesgo (¡y sin crecimiento!) , hay un retorno positivo. Por lo tanto r > g. A medida que las tasas de crecimiento de g aumentan (de manera lineal), también lo hace el riesgo; las tasas de crecimiento más altas son más difíciles de lograr y por lo tanto son más riesgosas. R (“r”) debe superar g, como cuestión práctica, no matemática. Esto se representa en el diagrama a continuación.

Términos clave:

Crecimiento Negativo

Esta fórmula también puede ser útil para casos de crecimiento negativo. Dado que “g” sería negativo, en este caso, la fórmula requeriría que se agregue la tasa de crecimiento a la tasa de interés para determinar el valor actual.

Supongamos que el último flujo de caja (CF ₀ ) fue de $100, hay un flujo de efectivo nominal tasa de crecimiento de 5% negativo, y una tasa de descuento del 10%. ¿Cuál sería el valor actual?

[($100) (1 — (0.05)] ÷ [.10 — (-.05)] =

$95 ÷ .15 = $633.34

Por supuesto, el PV en el caso de crecimiento positivo supera con creces el resultado que observamos con crecimiento negativo. ¿No es así como debería ser?

Esta fórmula es aplicable a las acciones ordinarias, cuyos dividendos pueden crecer — positiva o negativamente.

Nota :

Al mirar solo esta gráfica se puede concluir que, en algún momento, r < g. Esto se debe a que la línea es más pronunciada que en un plano horizontal, por lo tanto, habría menos “subida” que “corrida”, llevando eventualmente a un crecimiento que supere la tasa de descuento, y produciendo un valor presente negativo. Si bien esto puede ser cierto si se limita el análisis solo a la gráfica, no puede ser correcto, de hecho, que el crecimiento del dividendo no se refleje en el retorno —que es también la tasa de descuento, y parte del denominador. A medida que suben los dividendos, también debe regresar. (Recuerda: descontar y componer son lo mismo; solo las flechas van en diferentes direcciones). Este caso anómalo y paradójico será discutido en profundidad cuando discutamos el “Modelo de Descuento por Dividendos”.

Mientras se escribe esto (2021), observamos un ambiente inusual en el que las tasas de interés en muchas partes del mundo son negativas.