4.5: ¿Cuál es el rendimiento de eso?

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Objetivos de aprendizaje

¿Qué es yield to maturity y para qué tipos de instrumentos financieros es relativamente fácil de calcular el yield to maturity?

Hasta el momento, hemos asumido o se nos ha dado una tasa de interés de mercado y luego se ha calculado el precio (PV) del instrumento. O, dado el PV y una tasa de interés, hemos calculado el FV. En ocasiones es útil hacer lo contrario, para calcular la tasa de interés, o rentar a vencimiento, si se dan el PV y el FV. Di que sabes que alguien pagó 750 dólares por un bono de cupón cero con un valor nominal de $1,000 que madurará exactamente en un año y quieres saber qué tasa de interés pagó. Sabes que PV = FV/ (1 + i). Resolviendo para i:

Multiplica cada lado de la ecuación por (1 + i): (1 + i) × P V = F V

Multiplica los términos en el lado izquierdo de la ecuación: P V + P V i = F V

Restar PV de cada lado de la ecuación: P V i = F V - P V

Divide cada lado de la ecuación por P V: i = (F V - P V)/P V

Entonces en este caso i = (1000 - 750)/750 = 250/750 = .3333, o 33.33 por ciento.

Puedes verificar tu trabajo invirtiendo el problema, es decir, preguntando cuánto pagarías hoy por $1,000 en un año si los intereses estaban en 33.33 por ciento: PV = 1000/ (1.3333333) = $750. ¡Voilà!

Detener y pensar en la caja

Supongamos que tiene $1,000 para invertir durante un año y dos formas de invertirlo (cada una igual en términos de riesgo y liquidez): un bono de descuento que vence en un año con un valor nominal de $1,000 por $912 o una cuenta bancaria al 6.35 por ciento compuesto anualmente. ¿Cuál deberías tomar?

Elija el bono, que arrojará 9.65 por ciento: (1000 − 912) /912 = .0965. Para maximizar su acarreo, invierta los $88 sobrantes de la compra del bono en la cuenta bancaria.

Calcular el rendimiento hasta el vencimiento de una deuda perpetua, una sin vencimiento o fecha de pago, como una Consol, renta de suelo, o hipoteca perpetua de solo interés, también es bastante fácil. El precio o PV de una perpetuidad es igual al pago anual —el único FV disponible de un instrumento que por definición nunca devolverá su principal— dividido por la tasa de interés vigente:

P V = F V/i (diezmalizado)

Entonces una renta terrestre de $1,000 que paga $50 al año (una tasa de cupón del 5 por ciento) valdría $1,000 si las tasas de interés fueran del 5 por ciento, menos si las tasas son más altas, más si son más bajas:

P V = 50/.05 = 1,000$

P V = 50/.10 = $500

P V = 50/.01 = 5,000$

El cálculo del rendimiento hasta el vencimiento de una perpetuidad, si se da el PV y el FV, se realiza fácilmente tomando la ecuación y resolviendo para i:

P V = F V/i

Multiplicar cada lado por i: P V i = F V

Dividido por P V: i = F V/P V

Por lo que el rendimiento a vencimiento de una renta de suelo que paga 60 dólares anuales y que actualmente se vende por 600 dólares sería del 10 por ciento: i = 60/600 = .10 = 10%.

Detener y pensar en la caja

Un contrato de renta de terrenos consumado en Filadelfia, Pensilvania, en 1756 todavía se está pagando hoy. Alguien pagó recientemente 455 dólares por el pago anual de 23.17 dólares. ¿Cuál es el rendimiento hasta el vencimiento de la renta del suelo? Si la tasa de interés sube al 10 por ciento, ¿cuánto valdrá la renta del suelo? ¿Y si el interés cae al 2 por ciento?

i = C/P así que i = 23.17/455 = 0.05092 = 5.09%; PV = 23.17/.1 = $231.70; PV = 23.17/.02 = $1,158.50.

Sin embargo, calcular el rendimiento hasta el vencimiento de los bonos de cupón y los préstamos de pago fijo es matemáticamente desagradable sin una computadora o tabla de bonos. En el pasado, la gente solía estimar el rendimiento hasta la madurez en tales instrumentos fingiendo que eran perpetuidades o participando en interpolación de prueba y error. En el primer método, se utiliza la ecuación de perpetuidad fácil anterior (i = FV/PV) para obtener una estimación rápida llamada rendimiento actual. Desafortunadamente, el rendimiento actual puede ser amplio de la marca, especialmente para los bonos con vencimientos inferiores a veinte años y los bonos cuyos precios están lejos de su valor nominal. ^[1] En el segundo método, uno vuelve al rendimiento hasta la madurez haciendo suposiciones sucesivas sobre i y conectándolos a la fórmula PV. No es divertido, pero eventualmente llegarás ahí. Por lo tanto, la mayoría de las personas hoy en día utilizan una calculadora financiera, una hoja de cálculo o una utilidad basada en la web en lugar de procesos erróneos (rendimiento actual) o laboriosos (interpolación) Debe poder calcular el rendimiento hasta el vencimiento de bonos de descuento a un año o perpetuidades a mano, o en el peor de los casos con la ayuda de una calculadora simple (no financiera). Aquí hay un poco de práctica.

EJERCIOS

Un bono de $100 pagadero en un año se vende por $97.56. ¿Cuál es el rendimiento hasta el vencimiento?
Sam promete pagarle a Joe 1.904 dólares en un año si Joe le da 1.498 dólares hoy. ¿Qué tasa de interés está pagando Sam y qué tasa de interés está ganando Joe?
Cada año, el gobierno de Estados Unidos paga a cierta tribu india 10 mil dólares y, en términos de su tratado con esa tribu, debe hacerlo para siempre. El señor Trump ofreció comprar el derecho a recibir esa transmisión por un pago único de 143,500 dólares. ¿Qué rendimiento a la madurez ofreció Trump a los indios?
¿Cuál es el rendimiento hasta el vencimiento de una Consol británica que paga 400 libras al año que se vendió por 27,653£?

LLAVE PARA TOMAR

El rendimiento hasta el vencimiento es la forma más precisa económicamente de medir las tasas de interés nominales.
Se calcula fácilmente para bonos de descuento a un año i = (FV-PV) /PV y perpetuidades i = C/PV donde C es el cupón o pago anual.

[1] El rendimiento actual es simplemente el rendimiento al vencimiento de una perpetuidad, por lo que cuanto más como perpetuidad sea un bono, mejor será el rendimiento actual aproximará su rendimiento al vencimiento. Cuanto más corto sea el vencimiento de un bono, menos parecido a un Consol es, por lo que menos precisa será la fórmula de rendimiento actual. De igual manera, el rendimiento actual funciona mejor cuanto más cerca está el precio de un bono a la par porque el rendimiento al vencimiento es igual a la tasa de cupón cuando el bono está a la par. A medida que el precio se desvía más de la par, menos bien el rendimiento actual puede aproximarse al rendimiento hasta el vencimiento.