4.E: Espectroscopia Electrónica de Tintes de Cianina (Ejercicios)

Q4.1

Escriba la ecuación de Schrödinger para una partícula en una caja bidimensional con barreras potenciales infinitas y lados adyacentes de longitud desigual (un rectángulo). Resolver la ecuación separando variables con una función de producto X (x) Y (y) para obtener las funciones de onda X (x) e Y (y) y los valores propios de energía. ¿Cuántos conjuntos diferentes de números cuánticos se necesitan para este caso? Dibuje un diagrama de nivel de energía para ilustrar la estructura del nivel de energía. ¿Qué pasa con los niveles de energía cuando la caja es cuadrada? Cuando dos o más estados tienen la misma energía, se dice que los estados y el nivel energético están degenerados. ¿Cuál es la energía de punto cero para un electrón en una caja cuadrada de 0.05 nm de longitud?

Q4.2

Un científico de materiales está tratando de fabricar un novedoso dispositivo electrónico construyendo una matriz bidimensional de pequeños cuadrados de átomos de plata. Cree que ha logrado producir una matriz con cada cuadrado consistente en una monocapa de 25 átomos. Usted es espectroscopista óptico y quiere probar esta conclusión. Utilice el modelo de partículas en caja para predecir la longitud de onda de la transición electrónica de energía más baja para estos puntos cuánticos. ¿Qué electrones quieres describir por el modelo particle-in-a-box, o crees que puedes aplicar este modelo a todos los electrones en plata y obtener una predicción razonable? ¿En qué región espectral se encuentra esta transición? ¿Qué instrumentación necesitarías para observar esta transición?

Q4.3

Modele los electrones pi del benceno adaptando el electrón en un modelo de caja. Considera que el benceno es un anillo de radio r y circunferencia 2πr. Se puede encontrar r usando la longitud de enlace del benceno (0.139 nm) y algo de trigonometría. Mostrar cómo el electrón en un anillo es análogo al electrón en una caja lineal. Derivar esta analogía pensando, no copiando de algún libro. ¿Cuál es la condición límite para el caso de la partícula en un anillo? Encuentra expresiones matemáticas para la energía y las funciones de onda. Dibuja un diagrama de nivel de energía. ¿Cuál es la razón física por la que los niveles de energía son degenerados por esta situación? Predecir la longitud de onda de la transición electrónica de menor energía para benceno. Compara tu predicción con el valor experimental (256 nm). ¿Qué visión obtiene de esta comparación?

Q4.4

Explique cómo y por qué los siguientes dos conjuntos de reglas de selección para la partícula-en-a-caja están relacionados entre sí: (1) Si Δn es par, la transición está prohibida; si Δn es impar, se permite la transición. (2) Si la transición es g a g o u a u, está prohibida; si la transición es g a u o u a g, es permitido.

Q4.5

El factor\(fi/(f^2-i^2)^2\) en la Ecuación (4-32) determina la intensidad relativa de las transiciones en el modelo de partículas en caja. Hacer gráficas de [\(fi/(f^2-i^2)^2\)] vs f para varios valores de i con f comenzando en i+1 y aumentando. ¿Qué conclusiones puedes sacar sobre los espectros de partículas en una caja a partir de tus parcelas?

Q4.6

Partiendo de la definición matemática de incertidumbre como la desviación estándar o raíz del cuadrado medio σ del promedio, mostrar evaluando las integrales de valor de expectativa apropiadas que

\[ \sigma _x = \frac {L}{2\pi n } \left ( \frac {\pi ^2 n^2}{3} -2 \right ) \text {and} \sigma _p = \frac {n \pi \hbar }{L} \]

para una partícula en una caja unidimensional de longitud L como se indica en el capítulo. Después demuéstrale que el producto\(\sigma _x \sigma _p \ge \frac {\hbar}{2}\).

Q4.7

Usa el procesador simbólico en Mathcad para ayudarte a llevar a cabo los pasos que van de la Ecuación (4-27) a la Ecuación (4-31). Consulte la Actividad 4.3 para una introducción al procesador simbólico.

Q4.8

Un electrón está confinado a un espacio unidimensional con barreras potenciales infinitas en x = 0 y x = L y una energía potencial constante entre 0 y L. El electrón se describe por la función de onda\(ψ(x) = N (Lx - x^2)\)

Al responder a las siguientes preguntas (de la a a la g), no dejes tus respuestas en forma de integrales, es decir, hacer las integrales. Nota:

\[ \text {Note} : \int x^n dx = \frac {1}{n + 1} x ^{n + 1} + C \text {for} x \ne 0 \]

1. Explique por qué esta función de onda debe normalizarse, y encontrar una expresión para N que normalice la función de onda.
2. Definir lo que se entiende por el valor de expectativa, y encontrar el valor de expectativa para la posición del electrón y el impulso del electrón.
3. Encuentra el valor esperado para la energía del electrón.
4. ¿Su valor de expectativa de energía es consistente con su valor de expectativa de impulso? Explicar.
5. ¿Cuál es la energía del estado n = 1 para el modelo unidimensional particle-in-a-box? ¿Cómo se compara la energía obtenida en (c) con este valor? Explique por qué estas dos energías deben tener tal relación entre sí.
6. ¿La función de onda,\(ψ(x) = N (Lx - x^2)\), para este electrón representa un estado estacionario del electrón?
7. ¿Cuál es la probabilidad de que el electrón se localice en x = L/3 en un intervalo de longitud L/100? Explica por qué esperas que esta probabilidad sea dependiente del tiempo o independiente del tiempo.

Q4.9

¿Cómo la elección de la energía potencial dentro de la caja para que sea —100 eV en lugar de 0 modifica la descripción de la partícula en una caja?

Template:Zielinski