5.1: Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden

Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden es mucho más complejo que resolver ODEs de primer orden. Acabamos de ver que existe un método general para resolver cualquier ODE lineal de 1er orden. Desafortunadamente, esto no es cierto para las ODE de orden superior. Sin embargo, podemos resolver ODEs de orden superior si los coeficientes son constantes:

\[y''(x)+ k_1 y'(x) + k_2 y(x)+k_3=0 \nonumber\]

Se dice que la ecuación anterior es homogénea si\(k_3=0\):

\[\label{eq:2ndorder} y''(x)+ k_1 y'(x) + k_2 y(x)=0\]

Es posible resolver ODEs no homogéneos, pero en este curso nos concentraremos en los casos homogéneos. Las ecuaciones lineales de segundo orden ocurren en muchas aplicaciones importantes. Por ejemplo, el movimiento de una masa en un resorte, y cualquier otro sistema oscilante simple, se describe mediante una ecuación de la forma

\[m\frac{d^2u}{dt^2}+\gamma\frac{du}{dt}+k u=F(t) \nonumber\]

Analizaremos qué significan las diferentes partes de esta ecuación en los ejemplos. La ecuación anterior es homogénea si\(F(t)=0\).

Analicemos la Ecuación\ ref {eq:2ndorder}, que es lineal y homogénea. Los parámetros\(m\),\(\gamma\) y\(k\) representan cantidades físicas que no dependen del valor de\(x\), y por lo tanto la ecuación tiene coeficientes constantes.Esta ecuación será satisfecha por una función cuyas derivadas son múltiplos de sí misma. Esta es la única forma en que obtendremos cero después de agregar un múltiplo de la función más un múltiplo de su primera derivada más un múltiplo de la segunda derivada. Puede que tengas la tentación de decir que\(\sin(x)\) satisface este requisito, pero su primera derivada es\(\cos{x}\), por lo que no se cancelará con el término seno cuando se sumen. Las únicas funciones que satisfacen este requisito son las funciones expnenciales\(e^{\alpha x}\), con primera y segunda derivadas\(\alpha e^{\alpha x}\) y\(\alpha^2e^{\alpha x}\) respectivamente. Entonces, supongamos que la respuesta que estamos buscando es una función exponencial\(y(x)=e^{\alpha x}\), y volvamos a enchufar estas expresiones en la ecuación\ ref {eq:2ndorder}:

\[\alpha^2e^{\alpha x}+ k_1 \alpha e^{\alpha x} + k_2 e^{\alpha x}=0 \nonumber\]

\[e^{\alpha x}\left(\alpha^2+ k_1 \alpha + k_2 \right)=0 \nonumber\]

Te encima de la ecuación nos dice que cualquiera\(e^{\alpha x}\) o\(\left(\alpha^2+ k_1 \alpha + k_2 \right)\) son cero. En el primer caso, esto significaría que\(x\) es más o menos infinito (dependiendo de si\(\alpha\) es negativo o positivo). Pero esto es demasiado restrictivo porque queremos encontrar una solución que sea función de\(x\), por lo que no queremos imponer restricciones a nuestra variable independiente. Por lo tanto, consideramos

\[\left(\alpha^2+ k_1 \alpha + k_2 \right)=0 \nonumber\]

Esta es una ecuación cuadrática en\(\alpha\), a la que llamaremos la ecuación auxiliar. Las dos raíces se encuentran a partir de:

\[\alpha_{1,2}=\frac{-k_1\pm \sqrt{k_{1}^{2}-4k_2}}{2} \nonumber\]

Esto da dos respuestas,\(\alpha_1\) y\(\alpha_2\), lo que significa que hay al menos dos funciones exponenciales diferentes que son soluciones de la ecuación diferencial:\(e^{\alpha_1 x}\) y\(e^{\alpha_2 x}\). Veremos que cualquier combinación lineal de estas dos funciones también es una solución, pero antes de continuar, veamos algunos ejemplos. Observe que el argumento de la raíz cuadrada puede ser positivo, negativo o cero, dependiendo de los valores relativos de\(k_1\) y\(k_2\). Esto significa que\(\alpha_{1,2}\) puede ser imaginario, y las soluciones pueden ser exponenciales complejas. Veamos las tres situaciones individualmente a través de ejemplos.

Caso I:\(k_1^2-4k_2>0\)

En este caso,\(\sqrt{k_{1}^{2}-4k_2}>0\), y por tanto\(\alpha_1\) y\(\alpha_2\) son tanto reales como diferentes.

Por ejemplo: Encontrar la solución de\(y''(x) -5y'(x) +4 y(x) = 0\) sujeto a condiciones iniciales\(y(0)=1\) y\(y'(0)=-1\).

Como discutimos anteriormente, asumiremos que la solución es\(y(x)=e^{\alpha x}\), y determinaremos qué valores de\(\alpha\) satisfacer esta ecuación diferencial particular. Vamos a reemplazar\(y(x), y'(x)\) y\(y''(x)\) en la ecuación diferencial:

\[\alpha^2e^{\alpha x}-5 \alpha e^{\alpha x} +4 e^{\alpha x}=0 \nonumber\]

\[e^{\alpha x}\left(\alpha^2-5 \alpha + 4 \right)=0 \nonumber\]

y con los argumentos que discutimos anteriormente:

\[\left(\alpha^2-5 \alpha +4 \right)=0 \nonumber\]

\[\alpha_{1,2}=\frac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)}^{2}-4\times 4}{2} \nonumber\]

de la que obtenemos\(\alpha_1=1\) y\(\alpha_2=4\). Por lo tanto,\(e^{x}\) y\(e^{4x}\) son ambas soluciones a la ecuación diferencial. Demostremos que esto es cierto. Si\(y(x) = e^{4x}\), entonces\(y'(x) = 4e^{4x}\) y\(y''(x) = 16e^{4x}\). Sustituyendo estas expresiones en la ecuación diferencial obtenemos

\[y''(x) - 5y'(x) + 4y(x) = 16e^{4x}-5\times 4e^{4x}+4\times e^{4x}=0 \nonumber\]

satisface tan\(y(x) = e^{4x}\) claramente la ecuación diferencial. Puedes hacer lo mismo\(y(x) = e^{x}\) y demostrar que también es una solución.

Sin embargo, ninguna de estas soluciones satisface ambas condiciones iniciales, por lo que claramente no estamos terminados. Encontramos dos soluciones independientes a la ecuación diferencial, y ahora vamos a afirmar que cualquier combinación lineal de estas dos soluciones independientes (\(c_1 y_1(x)+c_2 y_2(x)\)) también es una solución. Matemáticamente, esto significa que si\(y_1(x)\) y\(y_2(x)\) son soluciones, entonces también\(c_1 y_1(x)+c_2 y_2(x)\) es una solución, donde\(c_1\) y\(c_2\) son constantes (es decir, no funciones de\(x\)). Volviendo a nuestro ejemplo, la afirmación es que\(c_1 e^{4x}+c_2 e^x\) es la solución general de esta ecuación diferencial. A ver si es verdad:

\[ \begin{aligned} y(x)=c_1 e^{4x}+c_2 e^x \\ y'(x)=4c_1 e^{4x}+c_2 e^x \\ y''(x)=16c_1 e^{4x}+c_2 e^x \end{aligned} \nonumber\]

Sustituyendo en la ecuación diferencial:

\[y''(x) - 5y'(x) + 4y(x) = 16c_1 e^{4x}+c_2 e^x-5\times \left(4c_1 e^{4x}+c_2 e^x\right)+4\times \left(c_1 e^{4x}+c_2 e^x\right)=0 \nonumber\]

así que acabamos de demostrar que la combinación lineal es también una solución, independientemente de los valores de\(c_1\) y\(c_2\). Es importante notar que nuestra solución general tiene ahora dos constantes arbitrarias, como se esperaba para una ecuación diferencial de segundo orden. Determinaremos estas constantes a partir de las condiciones iniciales para encontrar la solución particular.

La solución general es\(y(x)=c_1e^{4x}+c_2e^{x}\). Apliquemos la primera condición inicial:\(y(0)=1\).

\[y(0)=c_1+c_2=1 \nonumber\]

Esto da una relación entre\(c_1\) y\(c_2\). La segunda condición inicial es\(y'(0)=-1\).

\[y'(x)=4c_1e^{4x}+c_2e^x\rightarrow y'(0)=4c_1+c_2=-1 \nonumber\]

Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas que podemos resolver para obtener\(c_1=-2/3\) y\(c_2=5/3\).

La solución particular es entonces:

\[y(x)=-\frac{2}{3}e^{4x}+\frac{5}{3}e^x \nonumber\]

Caso II:\(k_1^2-4k_2<0\)

En este caso,\(k_{1}^{2}-4k_2<0\), entonces,\(\sqrt{k_{1}^{2}-4k_2}=i \sqrt{-k_{1}^{2}+4k_2}\) dónde\(\sqrt{-k_{1}^{2}+4k_2}\) está un número real. Por lo tanto, en este caso,

\[\alpha_{1,2}=\frac{-k_1\pm \sqrt{k_{1}^{2}-4k_2}}{2}=\frac{-k_1\pm i \sqrt{-k_{1}^{2}+4k_2}}{2} \nonumber\]

y luego las dos raíces\(\alpha_1\) y\(\alpha_2\) son conjugados complejos. Veamos cómo funciona con un ejemplo.

Determinar la solución de\(y''(x) - 3y'(x) + \frac{9}{2}y(x) = 0\) sujeto a las condiciones iniciales\(y(0)=1\) y\(y'(0)=-1\).

Siguiendo la misma metodología que discutimos para el ejemplo anterior, asumimos\(y(x)=e^{\alpha x}\), y usamos esta expresión en la ecuación diferencial para obtener una ecuación cuadrática en\(\alpha\):

\[\alpha_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{(-3)^{2}-4\times 9/2}}{2}=\frac{3\pm \sqrt{-9}}{2} \nonumber\]

Por lo tanto\(\alpha_2=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}i\),\(\alpha_1=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}i\) y, que son conjugados complejos. La solución general es:

\[ \begin{aligned} y(x)=c_1e^{(\frac{3}{2}+\frac{3}{2}i)x}+c_2e^{(\frac{3}{2}-\frac{3}{2}i)x} \\ y(x)=c_1e^{\frac{3}{2}x}e^{\frac{3}{2}i x}+c_2e^{\frac{3}{2}x}e^{-\frac{3}{2}i x} \\ y(x)=e^{\frac{3}{2}x}\left(c_1e^{\frac{3}{2}i x}+c_2e^{-\frac{3}{2}i x}\right) \end{aligned} \nonumber\]

Esta expresión se puede simplificar usando la fórmula de Euler:\(e^{\pm ix}=\cos(x) \pm i \sin{x}\) (Ecuación\(2.2.1\)).

\[y(x)=e^{\frac{3}{2}x}\left[c_1\left(\cos(\frac{3}{2}x)+i \sin(\frac{3}{2}x) \right)+c_2\left(\cos(\frac{3}{2}x)-i \sin(\frac{3}{2}x) \right)\right] \nonumber\]

Agrupar los senos y cosenos juntos:

\[y(x)=e^{\frac{3}{2}x}\left[\cos(\frac{3}{2}x)(c_1+c_2)+i \sin(\frac{3}{2}x)(c_1-c_2) \right] \nonumber\]

Renombrar las constantes\(c_1+c_2=a\) y\(i(c_1-c_2)=b\)

\[y(x)=e^{\frac{3}{2}x}\left[a\cos(\frac{3}{2}x)+b \sin(\frac{3}{2}x)\right] \nonumber\]

Nuestra solución general tiene dos constantes arbitrarias, como se esperaba de una ODE de segundo orden. Como es habitual, usaremos nuestras condiciones iniciales para determinar sus valores. La primera condición inicial es\(y(0)=1\)

\[\begin{array}{c c c} y(0)=a = 1 & (e^0=1, \cos(0)=1 & \text{and} & \sin(0)=0 ) \end{array} \nonumber\]

Hasta el momento, tenemos

\[y(x)=e^{\frac{3}{2}x}\left[\cos(\frac{3}{2}x)+b \sin(\frac{3}{2}x)\right] \nonumber\]

La segunda condición inicial es\(y'(0)=-1\)

\[y'(x)=e^{\frac{3}{2}x}\left[-\sin(\frac{3}{2}x)+b \cos(\frac{3}{2}x)\right]\frac{3}{2}+\frac{3}{2}e^{\frac{3}{2}x}\left[\cos(\frac{3}{2}x)+b \sin(\frac{3}{2}x)\right] \nonumber\]

\[y'(0)=\frac{3}{2}b +\frac{3}{2}=-1\rightarrow b=-\frac{5}{3} \nonumber\]

La solución particular es, por lo tanto:

\[y(x)=e^{\frac{3}{2}x}\left[\cos(\frac{3}{2}x)-\frac{5}{3} \sin(\frac{3}{2}x)\right] \nonumber\]

Observe que la función es real incluso cuando las raíces eran números complejos.

Caso III:\(k_1^2-4k_2=0\)

El último caso que analizaremos es cuándo\(k_1^2-4k_2=0\), que resulta en

\[\alpha_{1,2}=\frac{-k_1\pm \sqrt{k_{1}^{2}-4k_2}}{2}=\alpha_{1,2}=\frac{-k_1}{2} \nonumber\]

Por lo tanto, las dos raíces son reales, e idénticas. Esto quiere decir que\(e^{-k_1 x/2}\) es una solución, pero esto crea un problema porque necesitamos otra solución independiente para crear la solución general a partir de una combinación lineal, y solo tenemos una. La segunda solución se puede encontrar usando un método llamado reducción del orden. No vamos a discutir el método en detalle, aunque puedes ver cómo se usa en este caso al final del video http://tinyurl.com/mpl69ju. La aplicación del método de reducción de orden a esta ecuación diferencial da\((a+bx)e^{-k_1 x/2}\) como solución general. Las constantes\(a\) y\(b\) son constantes arbitrarias que determinaremos a partir de las condiciones inicial/límite. Observe que el término exponencial es el que encontramos usando el procedimiento 'estándar'. Veamos cómo funciona con un ejemplo.

Determinar la solución de\(y''(x) - 8y'(x) + 16y(x) = 0\) sujeto a condiciones iniciales\(y(0)=1\) y\(y'(0)= -1\).

Seguimos el procedimiento de los ejemplos anteriores y calculamos las dos raíces:

\[\alpha_{1,2}=\frac{-k_1\pm \sqrt{k_{1}^{2}-4k_2}}{2}=\frac{8\pm \sqrt{8^{2}-4\times 16}}{2}=4 \nonumber\]

Por lo tanto,\(e^{4x}\) es una solución, pero no tenemos otra para crear la combinación lineal que necesitamos. El método de reducción de orden da:

\[y(x)=(a+bx)e^{4 x} \nonumber\]

Dado que aceptamos el resultado del método de reducción del orden sin ver la derivación, al menos demostremos que esto es de hecho una solución. La primera y segunda derivadas son:

\[y'(x)=be^{4 x}+4(a+bx)e^{4x} \nonumber\]

\[y''(x)=4be^{4 x}+4be^{4x}+16(a+bx)e^{4x} \nonumber\]

Sustituyendo estas expresiones en\(y''(x)-8y'(x)+16y(x)=0\):

\[\left[4be^{4 x}+4be^{4x}+16(a+bx)e^{4x}\right]-8\left[be^{4 x}+4(a+bx)e^{4x}\right]+16\left[(a+bx)e^{4 x}\right]=0 \nonumber\]

Debido a que todos estos términos se cancelan para dar cero, la función\(y(x)=(a+bx)e^{4 x}\) es efectivamente una solución de la ecuación diferencial.

Volviendo a nuestro problema, necesitamos determinar\(a\) y a\(b\) partir de las condiciones iniciales. Empecemos con\(y(0)=1\):

\[y(0)=a=1 \nonumber\]

Hasta el momento, tenemos\(y(x)=(1+bx)e^{4 x}\), y por lo tanto\(y'(x)=be^{4 x}+4(1+bx)e^{4x}\). La otra condición inicial es\(y'(0)=-1\):

\[y'(0)=b+4=-1\rightarrow b=-5 \nonumber\]

La solución particular, por lo tanto, es\(y(x)=(1-5x)e^{4x}\)

Este video contiene un ejemplo de cada uno de los tres casos discutidos anteriormente así como la aplicación del método de reducción de orden al caso III. Recuerda que puedes hacer una pausa, rebobinar y avanzar rápidamente para que puedas ver los videos a tu propio ritmo. http://tinyurl.com/mpl69ju