6.1: Introducción a las soluciones de ecuaciones diferenciales en series de potencia

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En el Capítulo 5 se discutió un método para resolver ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes. Muchas ecuaciones diferenciales importantes en la química física son ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden, pero no tienen coeficientes constantes. Los siguientes ejemplos son todas ecuaciones diferenciales importantes en las ciencias físicas:

Ecuación de hermitas:\[y''-2xy'+2ny=0 \nonumber\]
Ecuación de Laguerre:\[xy''+(1-x)y'+ny=0 \nonumber\]
Ecuación de Legendre:\[(1-x^2)y''-2xy'+l(l+1)y=0 \nonumber\]

Estas ecuaciones no tienen coeficientes constantes debido a que algunos de los términos se\(y''\) multiplican\(y, y'\) y son funciones de\(x\). Para resolver estas ecuaciones diferenciales, asumiremos que la solución,\(y(x)\), puede expresarse como una serie Maclaurin:

\[\label{eq:eq1}y(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^{n}=a_0+a_1 x + a_2 x^2...a_n x^n.\]

Este método nos dará una serie como solución, pero en este punto sabemos que una serie infinita es una forma de representar una función, por lo que no nos sorprenderemos demasiado. Por ejemplo, en lugar de obtener\(e^x\) como solución, obtendremos la serie\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n\), que por supuesto representa lo mismo. ¿Significa que necesitamos conocer todas las series para poder reconocer qué función está representada por la serie que obtuvimos como respuesta? En realidad no. Veremos que este método es útil cuando la solución se puede expresar sólo como una serie, pero no como una función conocida. Aunque este sea el caso, por simplicidad veremos cómo funciona el método con un problema cuya solución es una función conocida. Luego pasaremos a un problema cuya solución se puede expresar como una serie solamente.