9.2: Diferenciales exactos e inexactos

Hasta el momento, discutimos cómo calcular el diferencial total de una función. Si se le da una función de más de una variable, puede calcular su diferencial total usando la definición de un diferencial total de una función\(u\): (\(du=\left(\frac{\partial u}{\partial x_1} \right)_{x_2...x_n} dx_1+\left( \frac{\partial u}{\partial x_2} \right)_{x_1, x_3...x_n} dx_2+...+\left( \frac{\partial u}{\partial x_n} \right)_{x_1...x_{n-1}} dx_n\)). Tendrás un término por cada variable independiente. ¿Y si se nos da un diferencial (e.g.

\[dz=(9x^2+6xy+y^2)dx+(3x^2+2xy)dy\]

ver Ejemplo 9.1) y se nos pide calcular la función cuyo diferencial total es\(dz\)? Esto básicamente está trabajando Ejemplo 9.1 al revés: conocemos el diferencial, y estamos buscando la función. Las cosas son un poco más complicadas que esto, porque no todos los diferenciales son los diferenciales totales de una función. Por ejemplo, por el ejemplo anterior sabemos que

\[dz=(9x^2+6xy+y^2)dx+(3x^2+2xy)dy\]

es el diferencial total de

\[z(x,y)=3x^3+3yx^2+xy^2.\]

Sin embargo, el diferencial no\(dz = xydx + x^2 dy\) es el diferencial total de ninguna función\(z(x,y)\). Puedes anotar cada función\(z(x,y)\) en este planeta, calcular sus diferenciales totales, y nunca verás\(dz = xydx + x^2 dy\) en tu lista.

Por lo tanto, la pregunta que estamos abordando es la siguiente: dado un diferencial, 1) ¿es el diferencial total de alguna función? 2) si es, ¿cuál función?

Para ilustrar la pregunta, digamos que se nos da el diferencial a continuación (fíjese que cambié a\(P, V,\) y\(T\), que son variables que encontrarás a menudo en la termodinámica):

\[\label{eq:diff6} dP=\frac{RT}{V-b}dT+\left[\frac{RT}{(V-b)^2}-\frac{a}{TV^2}\right]dV\]

La pregunta es si este es el diferencial total de una función\(P=P(T,V)\) (se nos dice eso\(a\) y\(b\) somos constantes, y ya sabemos que\(R\) es una constante). Por definición de diferencial total, si la función existe, su diferencial total será:

\[\label{eq:diff7} dP=\left (\frac{\partial P}{\partial T} \right )_{V} dT+\left (\frac{\partial P}{\partial V} \right )_{T} dV\]

Comparando la ecuación\ ref {eq:diff6} y\ ref {eq:diff7}, si la función existe, sus derivadas tendrán que ser:

\[\label{eq:diff8a} \left (\frac{\partial P}{\partial T} \right )_{V}=\frac{RT}{V-b}\]

\[\label{eq:diff8b} \left (\frac{\partial P}{\partial V} \right )_{T}=\left[\frac{RT}{(V-b)^2}-\frac{a}{TV^2}\right]\]

Si encontramos una función\(P=P(T,V)\) que satisfaga estas ecuaciones al mismo tiempo, sabemos que la Ecuación\ ref {eq:diff6} será su diferencial total.

A partir de la ecuación\ ref {eq:diff8a}, podemos calcular\(P\) integrando con respecto a\(T\) a la constante\(V\):

\[\label{eq:diff9} \int dP=\int \frac{RT}{V-b}dT\rightarrow P=\frac{R}{V-b}\frac{T^2}{2}+f(V)\]

donde incluimos una constante de integración (\(f(V)\)) que puede ser cualquier función de\(V\) (estamos integrando en constante\(V\)).

Para obtener una expresión para\(P(T,V)\), necesitamos\(f(V)\) averiguarlo para poder completar el lado derecho de la ecuación\ ref {eq:diff9}. Para ello, vamos a tomar la derivada de\(P\) (Ecuación\ ref {eq:diff9} con respecto a\(V\), y compararemos con la Ecuación\ ref {eq:diff8b}:

\[\label{eq:diff10} \left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_T=-\frac{RT^2}{2(V-b)^2}+\frac{df(V)}{dV}\]

Mirando la Ecuación\ ref {eq:diff8b} y\ ref {eq:diff10}, vemos que las dos expresiones no coinciden, independientemente de la función que elegimos para\(f(V)\). Esto significa que la Ecuación\ ref {eq:diff6} no representa el diferencial total de ninguna función\(P(V,T)\). A estos diferenciales los llamamos diferenciales inexactos. Si un diferencial es el diferencial total de una función, llamaremos al diferencial exacto.

Lo que hicimos hasta ahora es correcto, pero no es la forma más fácil de probar si un diferencial es exacto o inexacto. Hay, de hecho, una manera muy fácil de probar la exactitud. Derivaremos el procedimiento a continuación, pero en el futuro podremos usarlo sin derivarlo cada vez.

Dado el diferencial\(dz=f_1(x,y)dx+f_2(x,y)dy\), el diferencial es exacto si

\[\label{eq:test} \left(\frac{\partial f_1(x,y)}{\partial y} \right )_x=\left(\frac{\partial f_2(x,y)}{\partial x} \right )_y\]

Si la ecuación\ ref {eq:test} no se mantiene, el diferencial es inexacto. Por ejemplo, si\(dz=(9x^2+6xy+y^2)dx+(3x^2+2xy)dy\), las funciones\(f_1\) y\(f_2\) son\(f_1=9x^2+6xy+y^2\) y\(f_2=3x^2+2xy\). Para probar este diferencial, realizamos las derivadas parciales

\[\left(\frac{\partial f_1(x,y)}{\partial y} \right )_x =6x+2y\]

y

\[\left(\frac{\partial f_2(x,y)}{\partial x} \right )_y=6x+2y\]

Los dos derivados son iguales, y por lo tanto se dice que el diferencial es exacto.

Demostremos por qué funciona la prueba de Ecuación\ ref {eq:test}. Consideremos un diferencial de la forma\(dz=f_1(x,y)dx+f_2(x,y)dy\). Si el diferencial es exacto, es el diferencial total de una función\(z(x,y)\), y por lo tanto:

\[\label{eq:diff11} dz=f_1(x,y)dx+f_2(x,y)dy=\left (\frac{\partial z}{\partial x} \right )_{y} dx+\left (\frac{\partial z}{\partial y} \right )_{x} dy\]

Sabemos que las derivadas parciales mixtas de una función son independientes del orden en que se computan:

\[\left (\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x} \right )=\left (\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} \right ) \nonumber\]

De la ecuación\ ref {eq:diff11},

\[f_1(x,y)=\left (\frac{\partial z}{\partial x} \right )_{y} \rightarrow \left(\frac{\partial f_1(x,y)}{\partial y} \right )_x=\left (\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} \right ) \nonumber\]

\[f_2(x,y)=\left (\frac{\partial z}{\partial y} \right )_{x} \rightarrow \left(\frac{\partial f_2(x,y)}{\partial x} \right )_y=\left (\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x} \right ) \nonumber\]

Porque las derivadas parciales mixtas son las mismas, para un diferencial exacto:

\[\left(\frac{\partial f_1(x,y)}{\partial y} \right )_x=\left(\frac{\partial f_2(x,y)}{\partial x} \right )_y\]

Esta ecuación es cierta sólo para un diferencial exacto porque la derivamos asumiendo que la función\(z=z(x,y)\) existe, por lo que sus derivadas parciales mixtas son las mismas. Podemos usar esta relación para probar si un diferencial es exacto o inexacto. Si se mantiene la igualdad de la Ecuación\ ref {eq:test}, el diferencial es exacto. Si no se sostiene, es inexacto.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Pruebe si el siguiente diferencial es exacto o inexacto:

\[dz=\frac{1}{x^2}dx-\frac{y}{x^3}dy \nonumber\]

Solución

Para probar si\(dz\) es exacta o inexacta, comparamos las siguientes derivadas

\[\left(\frac{\partial (1/x^2)}{\partial y} \right )_x\overset{?}{=}\left(\frac{\partial (y/x^3)}{\partial x} \right )_y \nonumber\]

\[\left(\frac{\partial (1/x^2)}{\partial y} \right )_x=0 \nonumber\]

\[\left(\frac{\partial (y/x^3)}{\partial x} \right )_y=-3yx^{-4} \nonumber\]

Concluimos que\(dz\) es inexacto, y por lo tanto no existe ninguna función\(z(x,y)\) cuyo diferencial total sea\(dz\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Determinar si el siguiente diferencial es exacto o inexacto. Si es exacto, determine\(z=z(x,y)\).

\[dz=(2x+y)dx+(x+y)dy \nonumber\]

Solución

Para probar si\(dz\) es exacta o inexacta, comparamos las siguientes derivadas

\[\left(\frac{\partial (2x+y)}{\partial y} \right )_x\overset{?}{=}\left(\frac{\partial (x+y)}{\partial x} \right )_y \nonumber\]

Si esta igualdad se mantiene, el diferencial es exacto.

\[\left(\frac{\partial (2x+y)}{\partial y} \right )_x=1 \nonumber\]

\[\left(\frac{\partial (x+y)}{\partial x} \right )_y=1 \nonumber\]

Por lo tanto, el diferencial es exacto. Porque es exacto, es el diferencial total de una función\(z(x,y)\). El diferencial total de\(z(x,y)\) es, por definición,

\[dz=\left (\frac{\partial z}{\partial x} \right )_{y} dx+\left (\frac{\partial z}{\partial y} \right )_{x} dy \nonumber\]

Comparando esta expresión con el diferencial\(dz=(2x+y)dx+(x+y)dy\):

\[\left (\frac{\partial z}{\partial x} \right )_{y}=(2x+y)\]

\[\label{eq:examplea} \left (\frac{\partial z}{\partial y} \right )_{x}=(x+y)\]

Para encontrar\(z(x,y)\), podemos integrar la primera expresión parcialmente con respecto a\(x\) mantener\(y\) constante:

\[\int dz=z=\int (2x+y)dx=x^2+xy+f(y) \nonumber\]

Hasta ahora tenemos\[\label{eq:exampleb} z = x^2+xy+f(y)\]

así que necesitamos encontrar la función\(f(y)\) para completar la expresión anterior y terminar el problema. Para ello, tomaremos la derivada de\(z\) con respecto a\(y\), y compararemos con la ecuación\ ref {eq:ejemplea}. La derivada de la ecuación\ ref {eq:ejemplob} es:

\[\left (\frac{\partial z}{\partial y} \right )_{x}=x+\frac{df(y)}{dy} \nonumber\]

comparando con la ecuación\ ref {eq:examplea} notamos que\(\frac{df(y)}{dy}=y\), e integrando, obtenemos\(f(x)=y^2/2+c\)

Por lo tanto,\(dz=(2x+y)dx+(x+y)dy\) es el diferencial total de\(z=x^2+xy+y^2/2+c\).

Podemos verificar nuestro resultado trabajando el problema en la dirección opuesta. Si nos dan\(z=x^2+xy+y^2/2+c\) y se nos pide que calculemos su diferencial total, aplicaremos la definición:

\[dz=\left (\frac{\partial z}{\partial x} \right )_{y} dx+\left (\frac{\partial z}{\partial y} \right )_{x} dy \nonumber\]

y porque

\[\left (\frac{\partial z}{\partial x} \right )_{y} =y+2x \nonumber\]

y

\[+\left (\frac{\partial z}{\partial y} \right )_{x}=y+x \nonumber\]

escribiríamos\(dz=(2x+y)dx+(x+y)dy\), que es el diferencial que nos dieron en el problema.

Consulta dos ejemplos extra resueltos en este video: http://tinyurl.com/kq4qecu