1.1: Operadores

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Cada cantidad físicamente medible tiene un operador correspondiente. Los valores propios del operador indican los valores de la propiedad física correspondiente que se pueden observar

En mecánica cuántica, cualquier cantidad física medible experimentalmente F (por ejemplo, energía, momento dipolo, momento angular orbital, momento angular de giro, momento lineal, energía cinética) cuya expresión mecánica clásica se puede escribir en términos de las posiciones cartesianas {q\(_i\) } y momenta {p\(_i\)} de las partículas que componen el sistema de interés se le asigna un operador mecánico cuántico correspondiente F. Dado F en términos de la {q\(_i\)} y {p\(_i\)}, F se forma reemplazando p\(_j\) por\( -i\hbar\frac{\partial}{\partial q_{j}} \) y dejando q\(_j\) intacta. Por ejemplo, si

\[F=\sum\limits _{1=1}^N \left(\dfrac{p_1^2}{2m_1}+ \dfrac{1}{2}k(q_1-q_1^0)^2 + L(q_1-q_1^0)\right) \]

entonces

\[F = \sum\limits_{1=1}^N \left( \dfrac{-\hbar^2}{2m_1}\dfrac{\partial^2}{\partial q_1^2} + \dfrac{1}{2}k(q_1-q_1^0)^2 + L(q_1-q_1^0)\right) \]

El componente x del momento dipolar para una colección de partículas de N tiene

\[F = \sum\limits_{j=1}^N Z_jex_j\]

donde Z\(_j\) e es la carga sobre la\(^{th}\) partícula j.

El mapeo de F a F es sencillo solo en términos de coordenadas cartesianas. Mapear una función clásica F, dada en términos de coordenadas curvilíneas (aunque sean ortogonales), en su operador cuántico no es nada sencillo. Los lectores interesados son referidos al texto de Kemble sobre mecánica cuántica que trata este asunto en detalle. El mapeo siempre se puede hacer en términos de coordenadas cartesianas después de lo cual se puede realizar una transformación de las coordenadas resultantes y operadores diferenciales a un sistema curvilíneo. La transformación correspondiente del operador de energía cinética a coordenadas esféricas se trata en detalle en el Apéndice A. El texto de EWK también cubre este tema con considerable detalle.

La relación de estos operadores mecánicos cuánticos con la medición experimental se aclarará más adelante en este capítulo. Por ahora, basta decir que estos operadores definen ecuaciones cuyas soluciones determinan los valores de la propiedad física correspondiente que se pueden observar cuando se realiza una medición; sólo se pueden observar los valores así determinados. Esto debería sugerir los orígenes de la predicción de la mecánica cuántica de que algunas mediciones producirán valores discretos o cuantificados de ciertas variables (e.g., energía, momento angular, etc.).

Colaboradores y Atribuciones

Jack Simons (Henry Eyring Scientist and Professor of Chemistry, U. Utah) Telluride Schools on Theoretical Chemistry and Jeff A. Nichols (Oak Ridge National Laboratory)