1.8: Movimiento Rotacional para una Molécula Diatómica Rígida

Una molécula diatómica con longitud de enlace fija R que gira en ausencia de cualquier potencial externo se describe mediante la siguiente ecuación de Schrödinger:

\[ \dfrac{\hbar^2}{2\mu} \left[ \dfrac{1}{R^2 \sin\theta} \dfrac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \dfrac{\partial}{\partial \theta} \right) + \dfrac{1}{R^2 \sin^2 \theta} \dfrac{\partial^2}{\partial \phi^2} \right] \psi = E\psi \]

o

\[ \dfrac{L^2\psi}{2\mu R^2} = E \psi. \]

Los ángulos\(\theta\) y\(\phi\) describen la orientación del eje de la molécula diatómica con respecto a un sistema de coordenadas fijado en laboratorio, y\ (
\ mu\) es la masa reducida de la molécula diatómica

\[ \mu = \dfrac{m_1m_2}{m_1 + m_2} .\]

Se puede ver que los operadores diferenciales son exactamente los mismos que los que surgieron en el caso del átomo de hidrógeno y, como se discutió anteriormente, estos operadores\(\theta :\ \text{and} :\ \phi\) diferenciales son idénticos al operador de momento\(L^2\) angular cuyas propiedades generales se analizan en el Apéndice G. Por lo tanto, los mismos armónicos esféricos que sirvieron como partes angulares de la función ondulada en el caso anterior ahora sirven como toda la función de onda para el llamado rotor rígido:\( \psi = Y_{J,M}(\theta, \phi) \). Como se detalla más adelante en este texto, los valores propios correspondientes a cada una de tales funciones propias se dan como:

\[ E_J = \hbar^2 \dfrac{J(J+1)}{(2\mu R^2)} = BJ(J+1) \]

y son independientes de M. Así, cada nivel de energía está etiquetado por J y es 2J+1 veces degenerado (porque M va de -J a J). La llamada constante rotacional B\(\left( \text{ defined as } \dfrac{\hbar^2}{2\mu R^2} \right) \) depende de la longitud del enlace de la molécula y de la masa reducida. Las separaciones entre los niveles rotacionales sucesivos (que son de relevancia espectroscópica porque las reglas de selección de momento angular a menudo restringen\(\Delta\) J a 1,0, y -1) vienen dadas por

\[ \Delta E = B(J+1)(J+2) - BJ(J+1) = 2B(J+1). \]

Estos espaciamientos de energía son relevantes para la espectroscopia de microondas que sondea los niveles de energía rotacional de las moléculas.

Esta ecuación de Schrödinger se relaciona con la rotación de moléculas poliatómicas diatómicas y lineales. También surge al tratar los movimientos angulares de electrones en cualquier potencial esféricamente simétrico.

Resumen

El rotor rígido proporciona la aproximación más comúnmente empleada a las energías rotacionales y las funciones de onda de las moléculas lineales. Como se presentó anteriormente, el modelo restringe la longitud de unión para ser fija. El movimiento vibracional de la molécula da lugar a cambios en los\(R\) que luego se reflejan en cambios en los niveles de energía rotacional. El acoplamiento entre movimiento rotacional y vibracional da lugar a\(B\) constantes rotacionales que dependen del estado vibracional así como acoplamientos dinámicos, llamados distorsiones centrífugas, que hacen que la energía rovibracional total de la molécula dependa de los números cuánticos rotacionales y vibracionales de una manera no separable

Colaboradores y Atribuciones

• Jack Simons (Henry Eyring Scientist and Professor of Chemistry, U. Utah) Telluride Schools on Theoretical Chemistry and  Jeff A. Nichols (Oak Ridge National Laboratory)