1.10: Algunas ideas desde la lógica formal

La lógica formal trata de las relaciones entre proposiciones, donde una proposición es cualquier declaración de (presunto) hecho. Cualquier proposición puede expresarse como una oración ordinaria en inglés, aunque puede ser más conveniente usar símbolos matemáticos o alguna otra notación. Las siguientes son todas las proposiciones:

• Albert Einstein ha fallecido.
• Tulsa está en Oklahoma.
• Dos más dos equivale a cuatro.
• \(2+2=4\)
• \(\int{x^2dx=x+1}\)

Una proposición no tiene por qué ser cierta. El último de estos ejemplos es una falsa proposición. Representamos una proposición arbitraria por cualquier símbolo conveniente, generalmente una letra del alfabeto. Así, podríamos estipular que “\(p\)” representa cualquiera de las proposiciones anteriores. Una vez que hemos asociado un símbolo a una proposición particular, el símbolo mismo es tomado para representar una aseveración de que la proposición es verdadera. Es un axioma de la lógica ordinaria que cualquier proposición debe ser verdadera o falsa. Si asociamos el símbolo “\(p\)” con una proposición en particular, escribimos “\(\sim p\)” para representar la afirmación: “La proposición representada por el símbolo '\(p\)' es falsa”. \(\sim p\)se llama la negación de p. Podemos usar la negación de\(p\),\(\sim p\), para afirmar el axioma de que una proposición debe ser verdadera o falsa. Para ello, escribimos: O bien\(p\) o\(\sim p\) es cierto. Podemos escribir esto como la proposición “\(p\)o\(\sim p\)”. La negación de la negación de\(p\) es una aseveración que\(p\) es verdadera; es decir,\(\sim \ \sim \ p\ =\ p\).

La lógica se ocupa de las relaciones entre las proposiciones. Una relación importante es la de implicación. Si una proposición,\(q\), se deriva lógicamente de otra proposición,\(p\), decimos que\(q\) está implícita por\(p\). Equivalentemente, decimos que proposición\(p\) implica proposición\(q\). La flecha de doble eje,\(\mathrm{\Rightarrow }\), se utiliza para simbolizar esta relación. Escribimos “\(p\Rightarrow q\)” para significar, “Esa proposición\(p\) es verdadera implica que la proposición\(q\) es verdadera”. Normalmente leemos esto de manera más tersa, diciendo, “\(p\)implica”\(q\). Por supuesto, “\(p\Rightarrow q\)” es en sí misma una proposición; afirma la verdad de una relación lógica particular entre proposiciones\(p\) y\(q\).

Por ejemplo,\(p\) sea la proposición, “La figura A es un cuadrado”. \(q\)Sea la proposición, “La Figura A es un rectángulo”. Entonces, escribiendo la proposición,\(p\Rightarrow q\), tenemos: La figura A es un cuadrado implica que la figura A es un rectángulo. Esto es, por supuesto, una implicación válida; para este ejemplo, la proposición\(p\Rightarrow q\) es cierta. Por razones que quedarán claras en breve,\(p\Rightarrow q\) se llama el condicional de\(p\) y\(q\). La proposición a menudo\(p\) se llama condición suficiente, mientras que la proposición\(q\) se llama condición necesaria. Es decir, la verdad de\(p\) es suficiente para establecer la verdad de\(q\).

\[\text{sufficient condition}\, \mathrm{\Rightarrow} \, \text{necessary condition}\]

Ahora bien, si la proposición\(p\Rightarrow q\) es verdadera, y la proposición también\(q\) es cierta, ¿podemos inferir que esa proposición\(p\) es verdadera? ¡Ciertamente no podemos! En el ejemplo que acabamos de considerar, el hecho de que la figura A sea un rectángulo no prueba que la figura A sea un cuadrado. Llamamos\(q\Rightarrow p\) lo contrario de\(p\Rightarrow q\). El condicional de\(p\) y\(q\) puede ser cierto mientras que lo contrario es falso. Por supuesto, puede suceder que ambas\(p\Rightarrow q\) y\(q\Rightarrow p\) sean ciertas. A menudo escribimos “\(p\Leftrightarrow q\)” para expresar esta relación de implicación mutua. Nosotros decimos eso, “\(p\)implica\(q\) y a la inversa”.

¿Y si\(p\Rightarrow q\), y\(q\) es falso? Es decir,\(\sim q\) es verdad. En este caso, ¡\(p\)debe ser falso! Si\(\sim q\) es cierto, también debe ser eso\(\sim p\) es cierto. Usando nuestra notación, podemos expresar este hecho como

\[(p\Rightarrow q\, \text{and} \sim q) \Rightarrow \sim p\]

Equivalentemente, podemos escribir

\[(p\Rightarrow q) \mathrm{\Leftrightarrow } (\sim q\Rightarrow \sim p)\]

Es decir,\(p\Rightarrow q\) y\(\sim q\Rightarrow \sim p\) son proposiciones equivalentes; si una es verdadera, la otra debe ser verdadera. \(\sim q\Rightarrow \sim p\)se llama el contrapositivo de\(p\Rightarrow q\). La equivalencia de lo condicional y su contrapositivo es un teorema que puede probarse rigurosamente en una formulación axiomática de lógica. En nuestro razonamiento posterior sobre los principios termodinámicos, utilizamos la equivalencia de lo condicional y lo contrapositivo de\(p\) y\(q\).

La equivalencia de lo condicional,\(p\Rightarrow q\), y lo contrapositivo\(\sim q\Rightarrow \sim p\),, es la razón que\(q\) se denomina condición necesaria. Si\(p\Rightarrow q\), es necesario que\(q\) sea verdad\(p\) para que sea verdad. (Si la figura A va a ser un cuadrado, debe ser un rectángulo.)

También está íntimamente relacionado con la prueba por contradicción. Supongamos que sabemos\(p\) que es verdad. Si, asumiendo que eso\(q\) es falso (\(\sim q\)es verdad), podemos demostrar válidamente que también\(p\) debe ser falso\((\sim q\mathrm{\Rightarrow }\sim p\), así que eso\(\sim p\) es cierto), tenemos la contradicción que\(p\) es a la vez verdadera y falsa (\(p\)y\(\sim p\)). Ya que\(p\) no puede ser tanto verdadero como falso, debe ser falso que q sea falso (\(\sim \sim q=q\)). De otra manera, la equivalencia de lo condicional y lo contrapositivo conduce no sólo a (\(p\)y\(\sim p\)) sino también a (\(q\)y\(\sim q\)).

\[\sim q \mathrm{\Rightarrow } \sim p\]

implica

\[p \mathrm{\Rightarrow } q.\]

En resumen, como sabemos que p es verdad, nuestra suposición que\(q\) es falsa, junto con la implicación válida\(\sim q\mathrm{\Rightarrow }\sim p\), lleva a la conclusión que\(q\) es verdadera, que contradice nuestra suposición original, de manera que la suposición es falsa, y\(q\) es verdadera.