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LibreTexts Español

7.21: Problemas

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    74290

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    1. ¿Cuáles de las siguientes expresiones diferenciales son exactas?

    a.\(df=ydx+xdy\)

    b.\(df=2xy^2dx+2x^2ydy\)

    c.\(df=2xydx+2x^2ydy\)

    d.\(df=\left[\left(1-xy\right)e^{-xy}\right]dx-\left[x^2e^{-xy}\right]dy\)

    e.\(df=\left({\mathrm{cos} x\ }{\mathrm{cos} y\ }\right)dx-\left({\mathrm{sin} x{\mathrm{sin} y\ }\ }\right)dy\)

    f.\(df=\left({\mathrm{cos} x\ }{\mathrm{cos} y\ }\right)dx-\left({\mathrm{sin} y\ }\right)dy\)

    2. Demostrar que\(df=e^{-y}dx-xe^{-y}dy\) es exacto. Encuentra\(f\left(x,y\right)\) integrando el\(dx\) término. Encuentra\(f\left(x,y\right)\) integrando el\(dy\) término.

    3. Un mármol de masa\(m\) es libre de moverse sobre una superficie cuya altura por encima del\(x,y\) plano es\(h=ax^2+by^2\).

    a. ¿Cuál es la energía potencial gravitacional del mármol expresada en función de\(x\) y\(y\),\(E\left(x,y\right)\)?

    b. La fuerza que experimenta el mármol debido a la gravedad es la función vectorial\[\mathop{f}\limits^{\rightharpoonup}\left(x,y\right)=-\mathrm{\nabla }E\left(x,y\right)=-{\left(\frac{\partial E}{\partial x}\right)}_y\mathop{i}\limits^{\rightharpoonup}-{\left(\frac{\partial E}{\partial y}\right)}_x\mathop{j}\limits^{\rightharpoonup}\] ¿Qué hay\(\mathop{f}\limits^{\rightharpoonup}\left(x,y\right)\) en esta superficie?

    c. ¿Cuál es el diferencial de\(E\)? ¿Es\(dE\) exacto o inexacto?

    d. La descripción vectorial de una ruta general,\(\left\{\left(x,y\right)\right\}\), es el vector de posición\(\mathop{r}\limits^{\rightharpoonup}=x\mathop{i}\limits^{\rightharpoonup}+y\mathop{j}\limits^{\rightharpoonup}\), y así\(d\mathop{r}\limits^{\rightharpoonup}=dx\mathop{\ i}\limits^{\rightharpoonup}+dy\ \mathop{j}\limits^{\rightharpoonup}\). Si empujamos el mármol hacia arriba por la superficie de punto\(\left(0,0,E\left(0,0\right)\right)\) a punto a\(\left(2,2,E\left(2,2\right)\right)\) lo largo del camino\(y=x\), expresamos\(d\mathop{r}\limits^{\rightharpoonup}\) como una función vectorial de\(dx\).

    e. Si empujamos el mármol a lo largo del camino en la parte d con una fuerza lo suficientemente grande como para superar la fuerza de la gravedad, ¿cuál es el incremento de trabajo\(dw\),, asociado a un incremento de movimiento,\(d\mathop{r}\limits^{\rightharpoonup}\)?

    f. ¿Cuánto trabajo debemos hacer si vamos a mover la canica de un punto\(\left(0,0,E\left(0,0\right)\right)\) a\(\left(2,2,E\left(2,2\right)\right)\) lo largo del camino en la parte d, utilizando la fuerza en la parte e? ¿Cuál es la relación entre esta cantidad de trabajo y el cambio en la energía del mármol durante este proceso?

    g. Supongamos que empujamos el mármol hacia arriba por la superficie de punto\(\left(0,0,E\left(0,0\right)\right)\) a punto a\(\left(2,2,E\left(2,2\right)\right)\) lo largo del camino\(y={x^2}/{2}\). ¿Cuál es la descripción vectorial de este camino?

    h. ¿Cuánto trabajo debemos hacer si vamos a mover el mármol de punto\(\left(0,0,E\left(0,0\right)\right)\) a punto a\(\left(2,2,E\left(2,2\right)\right)\) lo largo del camino en la parte g usando la fuerza en la parte b? Compara este resultado con tu resultado en la parte f. Explique.

    4. Considera el avión,\(f\left(x,y\right)=1-2x-3y\). ¿Qué es\(df\) para esta superficie? Evaluar\(\Delta f=f\left(1,1\right)-f\left(-1,-1\right)\) integrando\(df\) a lo largo de cada uno de los siguientes caminos:

    a.\(y=x\)

    b.\(y=x^3\)

    c.\(y=1+x-x^2\)

    d.\(y={\mathrm{sin} \left({\pi x}/{2}\right)\ }\)

    5. Una muestra\(\mathrm{2.00}\) molar de un gas ideal monatómico se expande reversible e isotérmicamente a\(\mathrm{350}\) K de\(\mathrm{5.82}\) L a\(\mathrm{58.20}\) L. ¿Cuánto trabajo se realiza en el gas? ¿Qué son\(q\)\(\Delta E\), y\(\Delta H\) para el gas en este proceso?

    6. Una muestra\(\mathrm{2.00}\) molar de un gas ideal monatómico se expande irreversiblemente de\(\mathrm{5.82}\)\(\mathrm{58.20}\) L a L a una presión aplicada constante igual a la presión final del gas. Las temperaturas inicial y final son\(\mathrm{350}\) K. ¿Cuánto trabajo se hace en el gas? ¿Qué son\(q\)\(\Delta E\), y\(\Delta H\) para el gas en este proceso? Comparar\(w\),\(\ q\),\(\Delta E\), y\(\Delta H\) para este proceso con las cantidades correspondientes para el proceso en problema 5. Comparar los estados inicial y final del gas con los estados correspondientes en problema 5.

    7. Una muestra\(\mathrm{2.00}\) molar de un gas ideal monatómico se expande reversible y adiabáticamente de\(\mathrm{5.82}\) L a\(\mathrm{58.20}\) L. La temperatura inicial es\(\mathrm{350}\) K. ¿Cuál es la temperatura final? ¿Cuáles son las presiones inicial y final? ¿Cuánto trabajo se hace en el gas? ¿Qué son\(q\)\(\Delta E\), y\(\Delta H\) para el gas en este proceso?

    8. La ecuación de estado para un “gas de esfera dura” es\(P\left(V-nb\right)=nRT\), donde\(n\) está el número de moles y\(b\) es el volumen molar de las esferas duras. ¿Cuánto trabajo se realiza en este gas cuando n moles de él se expanden de manera reversible e isotérmica de\(V_1\) a\(V_2\)?

    9. Estrictamente hablando, ¿puede ser isotérmica la expansión espontánea de un gas real? ¿Puede ser gratis? ¿Puede ser adiabático? ¿La expansión reversible de un gas puede ser isotérmica? ¿Puede ser gratis? ¿Puede ser adiabático?

    10. Considera una máquina que opera en un ciclo y convierte el calor en una mayor cantidad de trabajo. ¿Qué pasaría con la energía del universo si esta máquina pudiera funcionar a la inversa?

    11. Demostrar que el producto de presión y volumen tiene las unidades de energía.

    12. Dé un contraejemplo para probar que cada una de las siguientes proposiciones es falsa:

    a. Si\(X\) es una función de estado,\(\ X\) se conserva.

    b. Si\(X\) es una cantidad extensa que satisface\(X+\hat{X}=0\),\(X\) es una función de estado.

    Notas

    \(^{1}\)Dado que la temperatura del agua aumenta y el proceso va a ser reversible, debemos mantener la temperatura del reservorio térmico justo\(dT\) mayor que la del agua durante todo el proceso. Podemos lograr esto usando una cantidad de gas ideal como depósito de calor. Al comprimir reversiblemente el gas ideal, podemos entregar reversiblemente el calor requerido mientras mantenemos la temperatura requerida. Consideramos esta operación más adelante en la Sección 12.5.

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