9.11: Una Tercera Declaración de la Segunda Ley

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Consideremos otra afirmación alternativa frecuentemente citada de la segunda ley, que, para facilitar la referencia, llamamos a la declaración basada en la temperatura de la segunda ley:

La declaración basada en la temperatura de la segunda ley

La transferencia espontánea de calor de un cuerpo más frío a un cuerpo más cálido es imposible.

En la discusión que sigue, nos referimos a esta declaración como proposición\(\mathrm{TSL}\). Por “cuerpo”, simplemente nos referimos a cualquier sistema u objeto. Por la “transferencia espontánea de calor”, queremos decir que la transferencia de energía térmica puede iniciarse poniendo los dos cuerpos en contacto entre sí o permitiendo la transmisión de energía radiante entre ellos. Los alrededores no hacen trabajo y no intercambian calor con ninguno de los embalses; no hay cambio de ningún tipo en los alrededores.

Podemos demostrar que el enunciado basado en entropía y el enunciado basado en la temperatura de la segunda ley son equivalentes: Dada la definición de entropía, una implica la otra.

Comencemos por mostrar que el enunciado basado en entropía implica el enunciado basado en la temperatura de la segunda ley. Es decir, probamos\(\mathrm{SL}\Rightarrow \mathrm{TSL}\). Para ello, lo demostramos\(\sim \mathrm{TSL}\Rightarrow \sim \mathrm{SL}\). Es decir, suponemos que es posible la transferencia espontánea de calor de un cuerpo más frío a uno más cálido y demostramos que esto lleva a una contradicción de la afirmación basada en entropía de la segunda ley. Deje que la cantidad de calor recibida por el cuerpo más cálido sea\(dq_{warmer}>0\), y deje que las temperaturas de los cuerpos más cálidos y fríos sean\(T_{warmer}\) y\(T_{colder}\), respectivamente. Tenemos\(T_{warmer}-T_{colder}>\) 0. El cuerpo más frío recibe calor

\(dq_{colder}=-dq_{warmer}<0\). Hacemos que el incremento de calor sea tan pequeño que no haya un cambio significativo en la temperatura de ninguno de los dos cuerpos. No se producen otros cambios. Los dos cuerpos son las únicas partes del universo que se ven afectadas. Dejar que los cambios de entropía para los cuerpos más cálidos y fríos sean\(dS_{colder}\) y\(dS_{warmer}\), respectivamente.

Para encontrar\(dS_{colder}\) y\(dS_{warmer}\) debemos encontrar un camino reversible para efectuar los mismos cambios. Esto es sencillo. Podemos efectuar de manera idéntica el mismo cambio en el cuerpo más cálido transfiriendo calor,\(q_{warmer}>0\), a él a través del contacto con algún tercer cuerpo, cuya temperatura es infinitesimalmente mayor que\(T_{warmer}\). Este proceso es reversible, y el cambio de entropía lo es\(dS_{warmer}={dq_{warmer}}/{T_{warmer}}\). De igual manera, el cambio de entropía para el cuerpo más frío es\(dS_{colder}={dq_{colder}}/{T_{colder}=-{dq_{warmer}}/{T_{colder}}}\). De ello se deduce que

\[ \begin{aligned} dS_{universe} & =dS_{warmer}+dS_{colder} \\ ~ & =\frac{dq_{warmer}}{T_{warmer}}-\frac{dq_{warmer}}{T_{colder}} \\ ~ & =-dq_{warmer}\left(\frac{T_{warmer}-T_{colder}}{T_{warmer}T_{colder}}\right) \\ ~ & <0 \end{aligned}\]

No obstante, si\({dS}_{universe}<0\) por un proceso espontáneo, la segunda ley (\(\mathrm{SL}\)) debe ser falsa. Nosotros hemos demostrado que una violación a la declaración basada en la temperatura implica una violación a la declaración basada en entropía de la segunda ley:\(\sim \mathrm{TSL}\Rightarrow \sim \mathrm{SL}\), así que\(\mathrm{SL}\Rightarrow \mathrm{TSL}\).

Es igualmente fácil demostrar que el enunciado basado en la temperatura implica el enunciado basado en entropía de la segunda ley. Para ello, asumimos que la afirmación basada en entropía es falsa y demostramos que esto implica que la declaración basada en la temperatura debe ser falsa. Por los argumentos anteriores, el cambio de entropía que experimenta el universo durante el intercambio del incremento de calor es

\[{dS}_{universe}=-dq_{warmer}\left(\frac{T_{warmer}-T_{colder}}{T_{warmer}T_{colder}}\right)\]

Si la declaración basada en entropía de la segunda ley es falsa, entonces\({dS}_{universe}<0\). De ello se deduce que\(dq_{warmer}>0\); es decir, el proceso espontáneo transfiere calor del cuerpo más frío al más cálido. Esto contradice la afirmación basada en la temperatura. Es decir,\(\sim \mathrm{SL}\Rightarrow \sim \mathrm{TSL}\), así que\(\mathrm{TSL}\Rightarrow \mathrm{SL}\).