14.15: Problemas

Problemas

1. Cuando expresamos la energía de un sistema en función de la entropía, el volumen y la composición, tenemos\(E=E\left(S,V,n_1,n_2,\dots ,\ n_{\omega }\right)\). Ya que\(S\) y\(V\) son variables extensas, tenemos\(\lambda E=E\left(\lambda S,\lambda V,{\lambda n}_1,\lambda n_2,\dots ,\ \lambda n_{\omega }\right)\). Encuentra\({\left({\partial \left(\lambda E\right)}/{\partial \lambda }\right)}_{SV}\). A partir de este resultado, muestran que\[G=\sum^{\omega }_{j=1}{{\mu }_jn_j}\]

2. Cuando expresamos la energía de un sistema en función de la presión, la temperatura y la composición, tenemos\(E=E\left(P,T,n_1,n_2,\dots ,\ n_{\omega }\right)\). Debido a que P y T son independientes de\(\lambda\),\(\lambda E=E\left(P,T,{\lambda n}_1,\lambda n_2,\dots ,\ \lambda n_{\omega }\right)\). Demostrar que

\[E=\sum^{\omega }_{j=1} \overline{E}_jn_j\]

3. De\(E\mathrm{=E}\left(P,T,n_{\mathrm{1}},n_{\mathrm{2}}\mathrm{,\dots ,\ }n_{\omega }\right)\) y el resultado en el problema 2, muestran que

\[\left[{\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)}_P + P{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_P\right]dT + \left[P{\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)}_T + T{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_P\right]dP = \sum^{\omega }_{j\mathrm{=1}}{n_j}d{\overline{E}}_j\]

Tenga en cuenta que a presión y temperatura constantes,

\[\sum^{\omega }_{j\mathrm{=1}}{n_j}d{\overline{E}}_j\mathrm{=0}\]

4. Si la presión y la temperatura son constantes,\(E=E\left(n_1,n_2,\dots ,\ n_{\omega }\right)\) y\(\lambda E=E\left({\lambda n}_1,\lambda n_2,\dots ,\ \lambda n_{\omega }\right)\). Demostrar que\(\sum^{\omega }_{j\mathrm{=1}}{n_j}d{\overline{E}}_j\mathrm{=0}\) se desprende de estas relaciones.

5. Una solución contiene\(n_1\) moles de componente 1,\(n_2\) moles de componente 2,\(n_3\) moles de componente 3, etc. Dejar\(n=n_1+n_2+n_3+...\) La fracción molar de componente\(j\) es\(x_j={n_j}/{n}\). Demuéstralo\[\left(\frac{\partial x_j}{\partial n_j}\right)=\frac{n-n_j}{n^2}\] y\(j\neq k\), para,\[\ \left(\frac{\partial x_j}{\partial n_k}\right)=\frac{-n_j}{n^2}\] ¿Qué son\[\left(\frac{\partial x_1}{\partial n_1}\right)\] y\[\left(\frac{\partial x_2}{\partial n_2}\right)\] si la solución tiene sólo dos componentes?

6. Para cualquier función estatal extensa,\(Y\left(P,T,n_1,n_2,\dots ,\ n_{\omega }\right)\), los argumentos desarrollados en este capítulo conducen, en constante\(P\) y\(\ T\), a las ecuaciones

\[Y=n_1{\overline{Y}}_1+n_2{\overline{Y}}_2+\dots +n_{\omega }{\overline{Y}}_{\omega }\]y\[0=n_1d{\overline{Y}}_1+n_2d{\overline{Y}}_2+\dots +n_{\omega }d{\overline{Y}}_{\omega }\]

Dónde\({\overline{Y}}_j\) está la cantidad molar parcial\({\left({\partial Y}/{\partial n_j}\right)}_{P,T,n_{m\neq j}}\).

a) Demostrar que\(0=x_1d{\overline{Y}}_1+x_2d{\overline{Y}}_2+\dots +x_{\omega }d{\overline{Y}}_{\omega }\)

b) Demostrar que\[0=n_1\left(\frac{\partial {\overline{Y}}_1}{\partial n_1}\right)+n_2\left(\frac{\partial {\overline{Y}}_2}{\partial n_2}\right)+\dots +n_{\omega }\left(\frac{\partial {\overline{Y}}_{\omega }}{\partial n_{\omega }}\right)\] c) Demostrar que\[0=x_1\left(\frac{\partial {\overline{Y}}_1}{\partial x_1}\right)+x_2\left(\frac{\partial {\overline{Y}}_2}{\partial x_2}\right)+\dots +x_{\omega }\left(\frac{\partial {\overline{Y}}_{\omega }}{\partial x_{\omega }}\right)\]

7. La entalpía de mezcla se mide en una serie de experimentos en los que el soluto sólido\(A\),, se disuelve para formar una solución acuosa. Estos datos de entalpía están bien representados por ecuaciones empíricas\({\Delta }_{mix}H={\alpha }_1\underline{m}+{\alpha }_2{\underline{m}}^2\),\({\alpha }_1={\beta }_{11}+{\beta }_{12}\left(T-273.15\right)\) y

\({\alpha }_2={\beta }_{21}+{\beta }_{22}\left(T-273.15\right)\)con\[{\beta }_{11}=10.0\ \mathrm{kJ}\ {\mathrm{molal}}^{-1}\]\[{\beta }_{12}=-0.14\ \mathrm{kJ}\ {\mathrm{molal}}^{-2}\ K^{-1}\]\[{\beta }_{21}=-3.00\ \mathrm{kJ}\ {\mathrm{molal}}^{-1}\]\[{\beta }_{22}=-0.040\ \mathrm{kJ}\ {\mathrm{molal}}^{-2}\ K^{-1}\] Find\({\overline{L}}_A\)\({\overline{L}}_{H_2O}\),\({\overline{J}}_A\),, y\({\overline{J}}_{H_2O}\) como funciones de\({\underline{m}}_A\) y\(T\). Encuentre\({\overline{L}}_A\),\({\overline{L}}_{H_2O}\),\({\overline{J}}_A\), y\({\overline{J}}_{H_2O}\) para una solución de un solo molal a 209 K. ¿Cuál es el valor de

\[{ \ln \frac{{\tilde{a}}_A\left(1\mathrm{\ molal},290\mathrm{\ K}\right)}{{\tilde{a}}_A\left(1\mathrm{\ molal},273.15\mathrm{\ K}\right)}\ }\]

Notas

\({}^{1}\)Podemos hacer otras suposiciones. Es posible describir un sistema no homogéneo como una colección de muchas regiones macroscópicas, aproximadamente homogéneas.