19.2: Distribución de resultados para múltiples ensayos con tres posibles resultados

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Extendamos las ideas que hemos desarrollado para probabilidades binomiales al caso donde hay tres posibles resultados para cualquier ensayo dado. Para ser específicos, supongamos que tenemos un objeto del tamaño de una moneda en forma de cono circular derecho truncado, cuyas caras circulares son paralelas entre sí. Las caras circulares tienen diferentes diámetros. Cuando lanzamos tal objeto, permitiendo que aterrice sobre una superficie dura y lisa, puede terminar descansando sobre la gran cara circular (\(\boldsymbol{H}\)eads), la cara circular pequeña (\(\boldsymbol{T}\)ails) o sobre la superficie cónica (\(\boldsymbol{C}\)un lado). Que las probabilidades de estos resultados en un solo lanzamiento sean\(P_H\),\(P_T\), y\(P_C\), respectivamente. En general, esperamos que estas probabilidades sean distintas entre sí; aunque, por supuesto, requerimos\(1=\left(P_H+P_T+P_C\right)\).

1024px-Croppedcone.svg.png — Figura 1: Un cono circular derecho truncado (CC BY-SA Unported; Dirk Hünniger vía Wikipedia).

Siguiendo nuestro desarrollo para el caso binomial, queremos escribir una ecuación para la suma de probabilidad total después de\(n\) lanzar. Dejar\(n_H\),\(n_T\), y\(n_C\) ser el número de\(H\)\(T\), y\(C\) resultados exhibidos en los\(n_H+n_T+n_C=n\) ensayos. Dejamos que los coeficientes de probabilidad sean\(C\left(n_H,n_T,n_C\right)\). La probabilidad de\(n_H\),\(n_T\),\(n_C\) resultados en los\(n\) ensayos es

\[C\left(n_H,n_T,n_C\right)P^{n_H}_HP^{n_T}_TP^{n_C}_C\]

y la probabilidad total es

\[1={\left(P_H+P_T+P_C\right)}^n=\sum_{n_H,n_T,n_C}{C\left(n_H,n_T,n_C\right)P^{n_H}_HP^{n_T}_TP^{n_C}_C}\]

donde la suma se va a llevar a cabo sobre todas las combinaciones de valores enteros para\(n_H\),\(n_T\), y\(n_C\), consistente con\(n_H+n_T+n_C=n\).

Para encontrar\(C\left(n_H,n_T,n_C\right)\), procedemos como antes. Suponemos que uno de los términos con\(n_H\) cabezas,\(n_T\) colas y\(n_C\) lados cónicos es

\[\left(P_{H,a}P_{H,b}\dots P_{H,f}\right)\left(P_{T,g}P_{T,h}\dots P_{T,m}\right)\left(P_{C,p}P_{C,q}\dots P_{C,z}\right)\]

donde hay\(n_H\) índices en el conjunto\(\{a,\ b,\ \dots ,\ f\}\),\(n_T\) índices en el conjunto\(\{g,\ h,\ \dots ,\ m\}\) e\(n_C\) índices en el conjunto\(\mathrm{\{}\) p, q,..., z\(\mathrm{\}}\). Hay\(n_H!\) formas de ordenar los resultados de las cabezas,\(n_T!\) formas de ordenar los resultados de las colas y\(n_C!\) formas de ordenar los resultados de los lados del cono. Entonces, hay formas\(n_H!n_T!n_C!\) posibles de ordenar\(n_H\) cabezas,\(n_T\) colas y\(n_C\) lados de cono. También habrá permutaciones\(n_H!n_T!n_C!\) indistinguibles de cualquier combinación (asignación particular) de\(n_H\) cabezas,\(n_T\) colas y\(n_C\) lados cónicos. Existen\(n!\) posibles permutaciones de factores de\(n\) probabilidad y combinaciones\(C\left(n_H,n_T,n_C\right)\) distinguibles con\(n_H\) cabezas,\(n_T\) colas y\(n_C\) lados cónicos. Como antes, tenemos

número total de permutaciones = (número de combinaciones distinguibles)\({}_{\ }\)\({}_{\times }\) (número de permutaciones indistinguibles para cada combinación distinguible)

para que

\[n!=n_H!n_T!n_C!C\left(n_H,n_T,n_C\right)\]

y por lo tanto,\[C\left(n_H,n_T,n_C\right)=\frac{n!}{n_H!n_T!n_C!}\]

Equivalentemente, podemos construir una suma de términos\(S\), en la que los términos son todas las\(n!\) permutaciones de\(P_{H,r}\) factores para\(n_H\) cabezas,\(P_{T,s}\) factores para\(n_T\) colas y\(P_{C,t}\) factores para\(n_C\) lados de cono. El valor de cada término en\(S\) será\(P^{n_H}_HP^{n_T}_TP^{n_C}_C\). Así, tenemos

\[S=n!P^{n_H}_HP^{n_T}_TP^{n_C}_C\]

\(S\)contendrá todos los resultados\(C\left(n_H,n_T,n_C\right)\) de combinaciones distinguibles de\(n_H\) cabezas,\(n_T\) colas y\(n_C\) conos-lados que dan lugar a términos\(P^{n_H}_HP^{n_T}_TP^{n_C}_C\) valorados. Además, también\(S\) se incluirán todas las permutaciones\(n_H!n_T!n_C!\) indistinguibles de cada uno\(P^{n_H}_HP^{n_T}_TP^{n_C}_C\) de estos términos valorados, y también tenemos

\[S=n_H!n_T!n_C!C\left(n_H,n_T,n_C\right)P^{n_H}_HP^{n_T}_TP^{n_C}_C\]

Equiparar estas dos expresiones para S nos da el número de términos\(P^{n_H}_HP^{n_T}_TP^{n_C}_C\) -valorados en el producto de probabilidad total,\(\ C\left(n_H,n_T,n_C\right)\). Es decir,

\[S=n!P^{n_H}_HP^{n_T}_TP^{n_C}_C=n_H!n_T!n_C!C\left(n_H,n_T,n_C\right)P^{n_H}_HP^{n_T}_TP^{n_C}_C\]

y, de nuevo,\[C\left(n_H,n_T,n_C\right)=\frac{n!}{n_H!n_T!n_C!}\]

En el caso especial de que\(P_H=P_T=P_C={1}/{3}\), todos los productos\(P^{n_H}_HP^{n_T}_TP^{n_C}_C\) tendrán el valor\({\left({1}/{3}\right)}^n\). Entonces la probabilidad de cualquier conjunto de resultados,\(\{n_H,n_T,n_C,\}\), es proporcional a\(C\left(n_H,n_T,n_C\right)\) con la constante de proporcionalidad\({\left({1}/{3}\right)}^n\).