19.3: Distribución de resultados para múltiples ensayos con muchos resultados posibles

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Ahora es fácil extender nuestros resultados a múltiples ensayos con cualquier número de resultados. Que los resultados sean\(A\),\(B\),\(C\),....,\(Z\), para lo cual las probabilidades en un solo juicio son\(P_A\),\(P_B\),\(P_C\),...\(P_Z\). De nuevo queremos escribir una ecuación para la probabilidad total después de\(n\) los ensayos. Dejamos\(n_A\),\(n_B\),\(n_C\),...\(n_Z\) ser el número de\(A\),,\(B\),...\(C\),\(Z\) resultados exhibidos en los\(n_A+n_B+n_C+...+n_Z=n\) ensayos. Si no nos importa el orden en que se obtienen los resultados, la probabilidad de,\(n_A\),\(n_B\),...\(n_C\),\(n_Z\) los resultados en los\(n\) ensayos es

\[C\left(n_A,n_B,n_C,\dots ,n_Z\right)P^{n_A}_AP^{n_B}_BP^{n_C}_C\dots P^{n_Z}_Z\]

y la suma de probabilidad total es

\[1={\left(P_A+P_B+P_C+\dots +P_Z\right)}^n=\sum_{n_I}{C\left(n_A,n_B,n_C,\dots ,n_Z\right)P^{n_A}_AP^{n_B}_BP^{n_C}_C\dots P^{n_Z}_Z}\]

donde la suma se va a llevar a cabo sobre todas las combinaciones de valores enteros para\(n_A\),\(n_B\),\(n_C\),...,\(n_Z\) consistentes con\(n_A+n_B+n_C+...+n_Z=n\).

Deje que uno de los términos para\(n_A\)\(A\) -resultados,\(n_B\)\(B\) -resultados,\(n_C\)\(C\) -resultados,...,\(n_Z\)\({}_{\ }\)\(Z\) -resultados, sea

\[\left(P_{A,a}P_{A,b}\dots P_{A,f}\right)\left(P_{B,g}P_{B,h}\dots P_{B,m}\right)\times \left(P_{C,p}P_{C,q}\dots P_{C,t}\right)\dots \left(P_{Z,u}P_{Z,v}\dots P_{Z,z}\right)\]

donde hay\(n_A\) índices en el conjunto\(\{a,\ b,\ \dots ,\ f\}\),\(n_B\) índices en el conjunto\(\{g,\ h,\ \dots ,\ m\}\),\(n_C\) índices en el conjunto\(\{p,\ q,\ \dots ,\ t\}\),..., e\(n_Z\) índices en el conjunto\(\{u,\ v,\ \dots ,\ z\}\). Hay\(n_A!\) formas de ordenar los\(A\) -resultados,\(n_B!\) formas de ordenar los\(B\) -resultados,\(n_C!\) formas de ordenar los\(C\) -resultados,..., y\(n_Z!\) formas de ordenar los\(Z\) -resultados. Entonces, hay\(n_A!n_B!n_C!\dots n_Z!\) formas de ordenar\(n_A\)\(A\) -resultados,\(n_B\)\(B\) -resultados,\(n_C\)\(C\) -resultados,..., y\(n_Z\)\(Z\) -resultados. Lo mismo ocurre con cualquier otra combinación distinguible; para cada combinación distinguible perteneciente al conjunto poblacional\(\{n_A\),\(n_B\),\(n_C\),...,\(n_Z\}\) hay permutaciones\(n_A!n_B!n_C!\dots n_Z!\) indistinguibles. Nuevamente, podemos expresar este resultado como la relación general:

número total de permutaciones = (número de combinaciones distinguibles)\({}_{\ }\)\({}_{\times }\) (número de permutaciones indistinguibles para cada combinación distinguible)

para que

\[n!=n_A!n_B!n_C!\dots n_Z!C\left(n_A,n_B,n_C,\dots ,n_Z\right)\]

y\[C\left(n_A,n_B,n_C,\dots ,n_Z\right)=\frac{n!}{n_A!n_B!n_C!\dots n_Z!}\]

Equivalentemente, podemos construir una suma,\(T\), en la que sumamos todas las\(n!\) permutaciones de\(P_{A,a}\) factores para\(n_A\)\(A\) -resultados,\(P_{B,b}\) factores para\(n_B\)\(B\) -resultados,\(P_{C,c}\) factores para\(n_C\)\(C\) -resultados,..., y \(P_{Z,z}\)factores para\(n_Z\)\(Z\) -resultados. El valor de cada término en\(T\) será\(P^{n_A}_AP^{n_B}_BP^{n_C}_C\dots P^{n_Z}_Z\). Así que tenemos

\[T=n!P^{n_A}_AP^{n_B}_BP^{n_C}_C\dots P^{n_Z}_Z\]

\(T\)contendrá todos\(C\left(n_A,n_B,n_C,\dots ,n_Z\right)\) los productos\(P^{n_A}_AP^{n_B}_BP^{n_C}_C\dots P^{n_Z}_Z\) -valuados (combinaciones distinguibles) que forman parte de la suma de probabilidad total. Además, también\(T\) se incluirán todas las permutaciones\(n_A!n_B!n_C!\dots n_Z!\) indistinguibles de cada uno\(P^{n_A}_AP^{n_B}_BP^{n_C}_C\dots P^{n_Z}_Z\) de estos productos valorados. Entonces también tenemos

\[T=n_A!n_B!n_C!\dots n_Z!C\left(n_A,n_B,n_C,\dots ,n_Z\right)\]\[\times P^{n_A}_AP^{n_B}_BP^{n_C}_C\dots P^{n_Z}_Z\]

Equiparar estas dos expresiones para nos\(\ T\) da el número de productos\(P^{n_A}_AP^{n_B}_BP^{n_C}_C\dots P^{n_Z}_Z\) -valuados

\[n!P^{n_A}_AP^{n_B}_BP^{n_C}_C\dots P^{n_Z}_Z=n_A!n_B!n_C!\dots n_Z!\]\[\times C\left(n_A,n_B,n_C,\dots ,n_Z\right)P^{n_A}_AP^{n_B}_BP^{n_C}_C\dots P^{n_Z}_Z\]

y por lo tanto,

\[C\left(n_A,n_B,n_C,\dots ,n_Z\right)=\frac{n!}{n_A!n_B!n_C!\dots n_Z!}\]

En el caso especial de que\(P_A=P_B=P_C=\dots =P_Z\), todos los productos\(P^{n_A}_AP^{n_B}_BP^{n_C}_C\dots P^{n_Z}_Z\) tengan el mismo valor. Entonces, la probabilidad de cualquier conjunto de resultados,\(\{n_A,n_B,n_C,\dots ,n_Z\}\), es proporcional a\(C\left(n_A,n_B,n_C,\dots ,n_Z\right)\).