14.1: Introducción a los vectores
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Un vector es una cantidad que tiene tanto una magnitud como una dirección, y como tales se utilizan para especificar la posición, velocidad e impulso de una partícula, o para especificar una fuerza. Los vectores generalmente se denotan con símbolos en negritas (por ejemplo\(\mathbf{u}\)) o con una flecha encima del símbolo (por ejemplo\(\vec{u}\)). Una tilde colocada encima o debajo del nombre del vector también se usa comúnmente en taquigrafía (\(\widetilde{u}\),\(\underset{\sim}{u}\)).
Si multiplicamos un número\(a\) por un vector\(\mathbf{v}\), obtenemos un nuevo vector que es paralelo al original pero con una longitud que es\(a\) por la longitud de\(\mathbf{v}\). Si\(a\) es\(a\mathbf{v}\) puntos negativos en la dirección opuesta a la\(\mathbf{v}\). Podemos expresar cualquier vector en términos de los llamados vectores unitarios. Estos vectores, los cuales son designados\(\hat{\mathbf{i}}\),\(\hat{\mathbf{j}}\) y\(\hat{\mathbf{k}}\), tienen unidad de longitud y punto a lo largo del positivo\(x, y\) y\(z\) eje del sistema de coordenadas cartesianas (Figura\(\PageIndex{1}\)). El símbolo\(\hat{\mathbf{i}}\) se lee “i-hat”. Los sombreros se utilizan para denotar que un vector tiene longitud unitaria.
La longitud de\(\mathbf{u}\) es su magnitud (o módulo), y generalmente se denota por\(u\):
\[\label{eq:vectors1} u=|u|=(u_x^2+u_y^2+u_z^2)^{1/2}\]
Si tenemos dos vectores\(\mathbf{u}=u_x\hat{\mathbf{i}}+u_y \hat{\mathbf{j}}+u_z \hat{\mathbf{k}}\) y\(\mathbf{v}=v_x \hat{\mathbf{i}}+v_y \hat{\mathbf{j}}+v_z \hat{\mathbf{k}}\), podemos agregarlos para obtener
\[\mathbf{u}+\mathbf{v}=(u_x+v_x)\hat{\mathbf{i}}+(u_y+v_y)\hat{\mathbf{j}}+(u_z+v_z)\hat{\mathbf{k}} \nonumber\]
o restarlos para obtener:
\[\mathbf{u}-\mathbf{v}=(u_x-v_x)\hat{\mathbf{i}}+(u_y-v_y)\hat{\mathbf{j}}+(u_z-v_z)\hat{\mathbf{k}} \nonumber\]
Cuando se trata de multiplicar, podemos realizar el producto de dos vectores de dos maneras distintas. El primero, que da como resultado un escalar (un número), se denomina producto escalar o producto punto. El segundo, que da como resultado un vector, se llama el producto vector (o cruz). Ambas son operaciones importantes en la química física.