14.2: El Producto Escalar

El producto escalar de los vectores\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\), también conocido como el producto punto o producto interno, se define como (observe el punto entre los símbolos que representan los vectores)

\[\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos \theta \nonumber\]

donde\(\theta\) está el ángulo entre los vectores. Observe que el producto punto es cero si los dos vectores son perpendiculares entre sí, y es igual al producto de sus valores absolutos si son paralelos. Es fácil demostrar que

\[\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z \nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Demostrar que los vectores

\[ \begin{align*} \mathbf{u_1} &=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\hat{\mathbf{i}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\hat{\mathbf{j}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\hat{\mathbf{k}} \\[4pt] \mathbf{u_2} &=\dfrac{1}{\sqrt{6}}\hat{\mathbf{i}}-\dfrac{2}{\sqrt{6}}\hat{\mathbf{j}}+\dfrac{1}{\sqrt{6}}\hat{\mathbf{k}} \\[4pt] \mathbf{u_3} &=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\hat{\mathbf{i}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\hat{\mathbf{k}} \end{align*} \nonumber\]

son de longitud unitaria y son mutuamente perpendiculares.

Solución

La longitud de los vectores son:

\[ \begin{align*} |\mathbf{u_1}|&=\left[\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2\right]^{1/2}=\left[\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\right]^{1/2}=1 \\[4pt] |\mathbf{u_2}| &=\left[\left(\dfrac{1}{\sqrt{6}}\right)^2+\left(-\dfrac{2}{\sqrt{6}}\right)^2+\left(\dfrac{1}{\sqrt{6}}\right)^2\right]^{1/2}=\left[\dfrac{1}{6}+\dfrac{4}{6}+\dfrac{1}{6}\right]^{1/2}=1 \\[4pt] |\mathbf{u_3}| &=\left[\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2\right]^{1/2}=\left[\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\right]^{1/2}=1 \end{align*} \nonumber\]

Para probar si dos vectores son perpendiculares, realizamos el producto punto:

\[ \begin{align*} \mathbf{u_1}\cdot \mathbf{u_2}&=\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\dfrac{1}{\sqrt{6}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\dfrac{2}{\sqrt{6}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\dfrac{1}{\sqrt{6}}\right)=0 \\[4pt] \mathbf{u_1}\cdot \mathbf{u_3} &=\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=0 \\[4pt] \mathbf{u_2}\cdot \mathbf{u_3} &=\left(-\dfrac{1}{\sqrt{6}}\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{6}}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=0 \end{align*} \nonumber\]

Por lo tanto, acabamos de demostrar que los tres pares son mutuamente perpendiculares, y los tres vectores tienen longitud unitaria. En otras palabras, estos vectores son los vectores\(\hat{\mathbf{i}}\),\(\hat{\mathbf{j}}\) y\(\hat{\mathbf{k}}\) rotados en el espacio.

Si el producto punto de dos vectores (de cualquier dimensión) es cero, decimos que los dos vectores son ortogonales. Si los vectores tienen longitud unitaria, decimos que están normalizados. Si dos vectores están ambos normalizados y son ortogonales, decimos que son ortonormales. El conjunto de vectores mostrados en el ejemplo anterior forman un conjunto ortonormal. [vectors:ortonormal] Estos conceptos también se aplican a vectores que contienen entradas complejas, pero ¿cómo realizamos el producto punto en este caso?

En general, el cuadrado del módulo de un vector es

\[|\mathbf{u}|^2=\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}=u_x^2+u_y^2+u_z^2. \nonumber\]

Sin embargo, esto no funciona correctamente para vectores complejos. El cuadrado de\(i\) es -1, lo que significa que corremos el riesgo de tener valores absolutos no positivos. Para abordar este problema, presentamos una versión más general del producto punto:

\[\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=u_x^*v_x+u_y^*v_y+u_z^*v_z, \nonumber\]

donde el “\(*\)” se refiere al conjugado complejo. Por lo tanto, para calcular el módulo de un vector\(\mathbf{u}\) que tiene entradas complejas, utilizamos su conjugado complejo:

\[|\mathbf{u}|^2=\mathbf{u}^*\cdot \mathbf{u} \nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Calculating the Modulus of a vector

Calcular el módulo del siguiente vector:

\[\mathbf{u}=\hat{\mathbf{i}}+i \hat{\mathbf{j}} \nonumber\]

Solución

\[|\mathbf{u}|^2=\mathbf{u}^*\cdot \mathbf{u}=(\hat{\mathbf{i}}-i \hat{\mathbf{j}})(\hat{\mathbf{i}}+i \hat{\mathbf{j}})=(1)(1)+(-i)(i)=2\rightarrow |\mathbf{u}|=\sqrt{2} \nonumber\]

Análogamente, si los vectores contienen entradas complejas, podemos probar si son ortogonales o no verificando el producto punto\(\mathbf{u}^*\cdot \mathbf{v}\).

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Confirming orthogonality

Determina si el siguiente par de vectores son ortogonales (¡no confundas el número irracional\(i\) con el vector unitario\(\hat{\mathbf{i}}\)!)

\[\mathbf{u}=\hat{\mathbf{i}}+(1-i)\hat{\mathbf{j}} \nonumber\]

y

\[\mathbf{v}=(1+i)\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}} \nonumber\]

Solución

\[\mathbf{u}^*\cdot \mathbf{v}=(\hat{\mathbf{i}}+(1+i)\hat{\mathbf{j}})((1+i)\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}})=(1)(1+i)+(1+i)(1)=2+2i\neq 0 \nonumber\]

Por lo tanto, los vectores no son ortogonales.