1.1: La radiación de cuerpo negro no puede explicarse clásicamente
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Un fenómeno experimental que no pudo explicarse adecuadamente por la física clásica fue la radiación de cuerpo negro. Entre los objetivos de esta sección se incluyen
- Familiarizar con radiadores de cuerpo negro
- Aplicar la Ley de Stefan-Boltzmann para estimar la salida de luz total de un radiador
- Aplicar la Ley de Desplazamiento de Wien para estimar la longitud de onda pico (o frecuencia) de la salida de un radiador de cuerpo negro
- Entender la Ley Rayleigh-Jeans y cómo no logra modelar adecuadamente la radiación de cuerpo negro
Toda la materia normal a temperaturas superiores al cero absoluto emite radiación electromagnética, que representa una conversión de la energía térmica interna de un cuerpo en energía electromagnética, y por lo tanto se llama radiación térmica. Por el contrario, toda la materia normal absorbe hasta cierto punto la radiación electromagnética. Un objeto que absorbe TODA la radiación que cae sobre él, en todas las longitudes de onda, se llama cuerpo negro. Cuando un cuerpo negro se encuentra a una temperatura uniforme, su emisión tiene una distribución de frecuencia característica que depende de la temperatura. Esta emisión se llama radiación de cuerpo negro.
Un cuerpo negro a temperatura ambiente aparece negro, ya que la mayor parte de la energía que irradia es infrarroja y no puede ser percibida por el ojo humano. Debido a que el ojo humano no puede percibir las ondas de luz a frecuencias más bajas, un cuerpo negro, visto en la oscuridad a la temperatura más baja apenas apenas apenas visible, aparece subjetivamente gris, a pesar de que su espectro físico objetivo alcanza su punto máximo en el rango infrarrojo. Cuando hace un poco más de calor, aparece de color rojo opaco. A medida que su temperatura aumenta aún más se vuelve amarilla, blanca y, en última instancia, azul-blanca.
La radiación de cuerpo negro tiene un espectro de frecuencia continuo característico que depende experimentalmente solo de la temperatura corporal. De hecho, podemos ser mucho más precisos:
Un cuerpo emite radiación a una temperatura y frecuencia dadas exactamente así como absorbe la misma radiación.
Esta afirmación fue probada por Gustav Kirchhoff: el punto esencial es que si en cambio suponemos que un cuerpo en particular puede absorber mejor de lo que emite, entonces en una habitación llena de objetos todos a la misma temperatura, absorberá mejor la radiación de los otros cuerpos de lo que irradia energía de vuelta a ellos. Esto significa que se calentará más, y el resto de la habitación se hará más frío, contradiciendo la segunda ley de la termodinámica. Así, un cuerpo debe emitir radiación exactamente así como absorbe la misma radiación a una temperatura y frecuencia dadas para no violar la segunda ley de la termodinámica.
Cualquier cuerpo a cualquier temperatura por encima del cero absoluto irradiará en cierta medida, la intensidad y distribución de frecuencia de la radiación dependiendo de la estructura detallada del cuerpo. Para comenzar a analizar la radiación de calor, necesitamos ser específicos sobre el cuerpo haciendo la radiación: el caso más simple posible es un cuerpo idealizado que es un absorbedor perfecto, y por lo tanto también (desde el argumento anterior) un emisor perfecto. Entonces, ¿cómo construimos un absorbedor perfecto en el laboratorio? En 1859 Kirchhoff tuvo una buena idea: un pequeño agujero en el costado de una caja grande es un excelente absorbedor, ya que cualquier radiación que pase por el agujero rebota por dentro, mucho absorbiéndose en cada rebote, y tiene pocas posibilidades de volver a salir. Entonces, podemos hacer esto a la inversa: tener un horno con un pequeño agujero en el costado, y presumiblemente la radiación que sale del agujero es una representación tan buena de un emisor perfecto como lo vamos a encontrar (Figura 1.1.2 ).
Para la década de 1890, las técnicas experimentales habían mejorado lo suficiente como para que fuera posible realizar mediciones bastante precisas de la distribución de energía de la radiación de cuerpo negro. En 1895, en la Universidad de Berlín, Wien y Lummer perforaron un pequeño agujero en el costado de un horno completamente cerrado, y comenzaron a medir la radiación que salía. El haz que salía del agujero se hizo pasar a través de una rejilla de difracción, que envió las diferentes longitudes de onda/frecuencias en diferentes direcciones, todas hacia una pantalla. Un detector se movió hacia arriba y hacia abajo a lo largo de la pantalla para encontrar cuánta energía radiante se estaba emitiendo en cada rango de frecuencia. Encontraron una curva de intensidad/frecuencia de radiación cercana a las distribuciones de la Figura 1.1.3 .
Al medir las curvas de emisión de cuerpos negros a diferentes temperaturas (Figura 1.1.3 ), también fueron capaces de construir dos importantes Leyes fenomenológicas (es decir, formuladas a partir de observaciones experimentales, no a partir de principios básicos de la naturaleza): Ley de Stefan-Boltzmann y Ley de Desplazamiento de Viena.
La radiación de un radiador de cuerpo negro es producida por la actividad térmica del material, no por la naturaleza del material, ni por cómo se excitó térmicamente. Algunos ejemplos de cuerpos negros incluyen bombillas incandescentes, estrellas y estufas calientes. La emisión aparece como un espectro continuo (Figura 1.1.3 ) con múltiples colores coexistentes. Sin embargo, no todos los radiadores son radiadores de cuerpo negro. Por ejemplo, la emisión de una bombilla de fluorescencia no es una. El siguiente espectro muestra la distribución de la luz de un tubo de luz fluorescente y es una mezcla de bandas discretas a diferentes longitudes de onda de luz en contraste con los espectros continuos en la Figura 1.1.3 para radiadores de cuerpo negro.
Las bombillas fluorescentes contienen una mezcla de gases inertes (generalmente argón y neón) junto con una gota de mercurio a baja presión. Una mezcla diferente de colores visibles se mezclan para producir una luz que nos aparece blanca con diferentes matices.
La Ley Stefan-Boltzmann
La primera conjetura cuantitativa basada en observaciones experimentales fue la Ley Stefan-Boltzmann (1879) que establece la potencia total (es decir, integrada sobre todas las frecuencias emisoras en la Figura 1.1.3 ) irradiada desde un metro cuadrado de superficie negra como va el cuarta potencia de la temperatura absoluta (Figura 1.1.4 ):
\[P = \sigma T^4 \label{Eq1} \]
donde
- \(P\)es la cantidad total de radiación emitida por un objeto por metro cuadrado (\(Watts/ m^{2}\))
- \(\sigma\)es una constante llamada constante Stefan-Boltzman (\(5.67 \times 10^{-8}\, Watts\; m^{-2} K^{-4}\))
- \(T\)es la temperatura absoluta del objeto (en K)
La Ley Stefan-Boltzmann se observa fácilmente comparando el valor integrado (es decir, bajo las curvas) de la distribución experimental de radiación de cuerpo negro en la Figura 1.1.3 a diferentes temperaturas. En 1884, Boltzmann derivó este\(T^4\) comportamiento de la teoría aplicando el razonamiento termodinámico clásico a una caja llena de radiación electromagnética, utilizando las ecuaciones de Maxwell para relacionar la presión con la densidad de energía. Es decir, la pequeña cantidad de energía que sale del agujero (Figura 1.1.2 ) tendría por supuesto la misma dependencia de temperatura que la intensidad de radiación en el interior.
La temperatura superficial del sol es de 5700 K.
- ¿Cuánta energía irradia el sol?
- Dado que la distancia a la tierra es de unos 200 radios solares, ¿cuál es la potencia máxima posible de una instalación de energía solar de un kilómetro cuadrado?
Solución
(a) Primero, calculamos el área del sol seguida del flujo (poder). El sol tiene un radio de\( 6.96 \times 10^{8} m \)
El área del sol es\( A = 4 \pi R^{2} \).
\[ \begin{align*} A &= 4 (3.1416)(6.96 \times 10^{8} m)^{2} \\[4pt] &= 6.08 \times 10^{18} m^2 \end{align*} \nonumber \]
El poder irradiado del sol (vía Ley Stefan-Boltzmann) es\(P = \sigma T^{4}\) (Ecuación\ ref {Eq1}).
\[ \begin{align*} P &= (5.67 \times 10^{-8}\, Watts\; m^{-2} K^{-4})(5700 K)^{4} \\[4pt] &= 5.98 \times 10^{7} Watts/m^2 \end{align*} \nonumber \]
Este valor es por metro cuadrado.
(b) Para calcular la potencia total irradiada por el sol es así:
\[ \begin{align*} P_{total} &= P A = (5.98 \times 10^{7} Watts/m^2)( 6.08 \times 10^{18} m^2) \\[4pt] &= 3.6 \times 10^{26} Watts \end{align*} \nonumber \]
Ley de desplazamiento de Viena
La segunda observación fenomenológica del experimento fue la Ley de Desplazamiento de Viena. La ley de Viena identifica la longitud de onda dominante (pico), o color, de la luz proveniente de un cuerpo a una temperatura dada. A medida que la temperatura del horno varía, también lo hace la frecuencia a la que la radiación emitida es más intensa (Figura 1.1.3 ). De hecho, esa frecuencia es directamente proporcional a la temperatura absoluta:
\[\nu_{max} \propto T \label{Eq2} \]
donde está la constante de proporcionalidad\(5.879 \times 10^{10} Hz/K\).
El propio Viena dedujo teóricamente esta ley en 1893, siguiendo el razonamiento termodinámico de Boltzmann. Anteriormente había sido observado, al menos semicuantitativamente, por un astrónomo estadounidense, Langley. Este cambio hacia arriba\(T\) es familiar para todos: cuando una plancha se calienta en un incendio (Figura 1.1.1 ), la primera radiación visible (alrededor de 900 K) es de color rojo intenso, la luz visible de menor frecuencia.\(\nu_{max}\) Un mayor aumento en\(T\) provoca que el color cambie a naranja luego amarillo, y finalmente azul a temperaturas muy altas (10,000 K o más) para lo cual el pico en intensidad de radiación se ha movido más allá de lo visible hacia el ultravioleta.
Otra representación de la Ley de Viena (Ecuación\(\ref{Eq2}\)) en términos de la longitud de onda máxima de la luz es
\[\lambda_{max} = \dfrac{b}{T} \label{Eq2a} \]
donde\(T\) es la temperatura absoluta en kelvin y\(b\) es una constante de proporcionalidad llamada constante de desplazamiento de Wien, igual a\(2.89 \times 10^{−3} m\, K\), o más convenientemente para obtener longitud de onda en micrómetros,\(b≈2900\; μm \cdot K\). Esta es una relación inversa entre longitud de onda y temperatura. Entonces, cuanto mayor sea la temperatura, más corta o menor es la longitud de onda de la radiación térmica. Cuanto menor sea la temperatura, mayor o mayor será la longitud de onda de la radiación térmica. Para la radiación visible, los objetos calientes emiten una luz más azul que los objetos fríos.
Si la temperatura corporal de la superficie es de 90 °F.
- ¿Cuánta energía radiante\(W\, m^{-2}\) emitiría tu cuerpo?
- ¿Cuál es la longitud de onda máxima de la radiación emitida?
- ¿Cuál es la energía radiante total emitida por tu cuerpo en Watts? Nota: El hombre humano adulto promedio tiene una superficie corporal de aproximadamente 1.9\(m^2\) y la superficie corporal promedio para una mujer es de aproximadamente 1.6\(m^2\).
Solución
(a) 90 °F es 305 K. Utilizamos la Ley Stefan-Boltzmann (Ecuación\ ref {Eq1}). La cantidad total de radiación emitida será\( P = \sigma T^4 \).
\[ \begin{align*} P &= (5.67 \times 10^{-8}\, Watts\; m^{-2} K^{-4})(305 K)^4 \\[4pt] &= 491 W\, m^{-2} \end{align*} \nonumber \]
La longitud de onda máxima de la radiación emitida se encuentra usando la Ley de Viena:
\[ \begin{align*} \lambda_{max} &= \frac{ 2.898 \times 10^{-3} m \cdot K}{T} \\[4pt] &= \frac{ 2.898 \times 10^{-3} m \cdot K}{305 K} \\[4pt] &= 9.5 \times 10^{-6} m = 9.5 \mu m\end{align*} \nonumber \]
La densidad total de energía radiante en Watts es:
\[ \begin{align*} \text{Energy}_{\text{male}} &= (491 W\, m^{-2})(1.9 m^{2}) = 933 W \\[4pt] \text{Energy}_{\text{female}} &= (491 W\, m^{-2})(1.6 m^{2}) = 786 W \end{align*} \nonumber \]
Por ejemplo, si el Sol tiene una temperatura superficial de 5700 K, ¿cuál es la longitud de onda de máxima intensidad de la radiación solar?
Solución
Si sustituimos 5700 K por\(T\) en Ecuación\(\ref{Eq2a}\), tenemos
\[\begin{align*} λ_{max} &= \dfrac{0.0029}{5700} \\[4pt] &= 5.1 \times 10^{-7} \, m \end{align*} \nonumber \]
Sabiendo que la luz violeta tiene una longitud de onda de unos\(4.0 \times 10^{-7}\)\(5.6 \times 10^{-7}\) metros, amarillo unos metros, y rojo unos\(6.6 \times 10^{-7}\) metros, ¿qué podemos decir del color de la radiación máxima del Sol? La longitud de onda máxima de la radiación del Sol se encuentra en una longitud de onda ligeramente más corta que el color amarillo, por lo que es un amarillo ligeramente verdoso. Para ver este tinte verdoso al Sol, tendrías que mirarlo desde el espacio. Resulta que la atmósfera de la Tierra dispersa algunas de las ondas más cortas de luz solar, lo que desplaza su longitud de onda máxima a amarillo puro.
Recuerde que la radiación térmica siempre abarca un amplio rango de longitudes de onda (Figura 1.1.2 ) y la Ecuación\ ref {EQ2a} solo especifica la única longitud de onda que es el pico del espectro. Entonces aunque el Sol aparece de color blanco amarillento, cuando dispersas la luz solar con un prisma ves radiación con todos los colores del arco iris. El amarillo solo representa una longitud de onda característica de la emisión.
- ¿A qué longitud de onda emite el sol la mayor parte de su radiación si tiene una temperatura de 5.778 K?
- ¿A qué longitud de onda emite la tierra la mayor parte de su radiación si tiene una temperatura de 288 K?
- Contestar a
-
500 nm
- Respuesta b
-
10.0 micrones
La Ley Rayleigh-Jeans
Lord Rayleigh y J. H. Jeans desarrollaron una ecuación que explicaba la radiación del cuerpo negro a bajas frecuencias. La ecuación que parecía expresar la radiación de cuerpo negro se construyó sobre todos los supuestos conocidos de la física en ese momento. La gran suposición que Rayleigh y Jean implicaron fue que cantidades infinitesimales de energía se agregaban continuamente al sistema cuando se aumentaba la frecuencia. La física clásica asumió que la energía emitida por las oscilaciones atómicas podría tener cualquier valor continuo. Esto era cierto para cualquier cosa que se había estudiado hasta ese momento, incluyendo cosas como aceleración, posición o energía. Su resultante Ley Rayleigh-Jeans fue
\[ \begin{align} d\rho \left( \nu ,T \right) &= \rho_{\nu} \left( T \right) d\nu \\[4pt] &= \dfrac{8 \pi k_B T}{c^3} \nu^2 d\nu \label{Eq3} \end{align} \]
Los datos experimentales realizados en la caja negra mostraron resultados ligeramente diferentes a los esperados por la ley Rayleigh-Jeans (Figura 1.1.5 ). La ley había sido estudiada y ampliamente aceptada por muchos físicos de la época, pero los resultados experimentales no mintieron, algo era diferente entre lo que se teorizaba y lo que realmente sucede. Los resultados experimentales mostraron una curva tipo campana, pero de acuerdo con la ley Rayleigh-Jeans la frecuencia divergió a medida que se acercaba a la región ultravioleta (Ecuación\(\ref{Eq3}\)). Ehrenfest posteriormente denominó a esto la “catástrofe ultravioleta”. Es importante enfatizar que la ecuación\(\ref{Eq3}\) es un resultado clásico: las únicas entradas son la dinámica clásica y la teoría electromagnética de Maxwell.
La radiación se entiende como una distribución continua de amplitud vs longitud de onda o, equivalentemente, amplitud vs. frecuencia (Figura 1.1.5 ). Según la ley Rayleigh-Jeans, la intensidad a una frecuencia\(\nu\) y temperatura específicas es
\[\rho(\nu,T) = \dfrac{8\pi k_bT\nu^2}{c^3} \text{.} \nonumber \]
Sin embargo, en la práctica, nos interesan más los intervalos de frecuencia. Una frecuencia exacta es el límite de una secuencia de intervalos cada vez más pequeños. Si hacemos la suposición de que, para un intervalo suficientemente pequeño,\(ρ(\nu,T)\) no varía, obtenemos su definición para el diferencial\(dρ(ν,T)\) en la Ecuación\ ref {Eq3}:
El supuesto es justo debido a la continuidad de\(ρ(\nu,T)\). Esta es la aproximación de una integral en un intervalo muy pequeño\(d\nu\) por la altura de un punto dentro de este intervalo (\(\frac{8\pi k_bT\nu^2}{c^3}\)) multiplicado por su longitud (\(d\nu\)). Entonces, si sumamos una cantidad infinita de pequeños intervalos como el anterior obtenemos una integral. La radiación total entre\(\nu_1\) y\(\nu_2\) será:
\[ \begin{align*} \int_{\nu_1}^{\nu_2}\operatorname{d}\!\rho(\nu,T) &= \int_{\nu_1}^{\nu_2}\rho(\nu, T)\operatorname{d}\!\nu \\[4pt] &= \int_{\nu_1}^{\nu_2}\frac{8\pi k_bT\nu^2}{c^3}\operatorname{d}\!\nu \\[4pt] &= 8 \pi k_b T \frac{v_2^3 - v_1^3}{3 c^3}\text{.} \end{align*} \nonumber \]
Observe que\(ρ(\nu,T)\) es cuadrático en\(\nu\).
¿Cuál es el resplandor espectral total de un radiador que sigue la ley Rayleigh-Jeans para su espectro de emisión?
Solución
El resplandor espectral total\(\rho_{tot}(T)\) es la emisión combinada sobre todas las longitudes de onda posibles (o equivalentemente, frecuencias), que es una integral sobre la distribución relevante (Ecuación\ ref {Eq3} para la Ley Rayleigh-Jeans).
\[ \begin{align*} \rho_{tot}(T) &= \int_0^\infty d\rho \left( \nu ,T \right) \\[4pt] &= \int_0^\infty \dfrac{8 \pi k_B T}{c^3} \nu^2 d\nu \end{align*} \nonumber \]
pero la integral
\[\int_0^\infty x^2\mathrm{d}x \nonumber \]
no converge. Peor aún, es infinito,
\[ \lim_{k\to\infty}\int_0^k x^2\mathrm{d}x = \infty \nonumber \]
De ahí que la ley de Rayleigh-Jeans derivada clásicamente predice que el resplandor de un cuerpo negro es infinito. Dado que la luminosidad es potencia por ángulo y unidad de área, esto también implica que la potencia total y de ahí la energía que emite un emisor de cuerpo negro es infinita, lo cual es evidentemente absurdo. A esto se le llama la catástrofe ultravioleta porque la predicción absurda es causada por la ley clásica que no predice correctamente el comportamiento a altas frecuencias/longitudes de onda pequeñas (Figura 1.1.5 ).
Colaboradores y Atribuciones
Michael Fowler (Beams Professor, Department of Physics, University of Virginia)
Adapted from "Quantum States of Atoms and Molecules" by David M. Hanson, Erica Harvey, Robert Sweeney, Theresa Julia Zielinski
Paul Flowers (University of North Carolina - Pembroke), Klaus Theopold (University of Delaware) and Richard Langley (Stephen F. Austin State University) with contributing authors. Textbook content produced by OpenStax College is licensed under a Creative Commons Attribution License 4.0 license. Download for free at http://cnx.org/contents/85abf193-2bd...a7ac8df6@9.110).
- ACuriousMind (StackExchange)