1.2: Hipótesis cuántica utilizada para ley de radiación de cuerpo negro
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- Comprender cómo se cuantifica la energía en la radiación de cuerpo negro
A finales del siglo XIX, muchos físicos pensaban que su disciplina estaba bien encaminada a explicar la mayoría de los fenómenos naturales. Podrían calcular los movimientos de objetos materiales utilizando las leyes de Newton de la mecánica clásica, y podrían describir las propiedades de la energía radiante usando relaciones matemáticas conocidas como ecuaciones de Maxwell, desarrolladas en 1873 por James Clerk Maxwell, un físico escocés. El universo parecía ser un lugar sencillo y ordenado, que contenía materia, que consistía en partículas que tenían masa y cuya ubicación y movimiento podían describirse con precisión, y radiación electromagnética, que se veía como carente de masa y cuya posición exacta en el espacio no se podía fijar. Así, la materia y la energía se consideraron fenómenos distintos y no relacionados. Pronto, sin embargo, los científicos comenzaron a mirar más de cerca algunos fenómenos inconvenientes que no podían explicarse por las teorías disponibles en su momento.
Un fenómeno experimental que no pudo explicarse adecuadamente por la física clásica fue la radiación de cuerpo negro (Figura 1.2.1 ). Los intentos de explicar o calcular esta distribución espectral a partir de la teoría clásica fueron fallas completas. Una teoría desarrollada por Rayleigh y Jeans predijo que la intensidad debería ir al infinito a longitudes de onda cortas. Dado que la intensidad en realidad cae a cero en longitudes de onda cortas, el resultado Rayleigh-Jeans se llamó la catástrofe ultravioleta (Figura 1.2.1 línea discontinua). No hubo acuerdo entre teoría y experimento en la región ultravioleta del espectro de cuerpo negro.
Cuantificación de electrones en el radiador
En 1900, el físico alemán Max Planck (1858—1947) explicó la catástrofe ultravioleta al proponer que la energía de las ondas electromagnéticas se cuantifica más que continua. Esto significa que para cada temperatura, hay una intensidad máxima de radiación que se emite en un objeto de cuerpo negro, correspondiente a los picos de la Figura 1.2.1 , por lo que la intensidad no sigue una curva suave a medida que aumenta la temperatura, como predice la física clásica. Así, la energía podría ganarse o perderse solo en múltiplos integrales de alguna unidad de energía más pequeña, un cuántico (la unidad de energía más pequeña posible). La energía se puede ganar o perder sólo en múltiplos integrales de un cuántico.
Aunque la cuantificación puede parecer un concepto desconocido, la encontramos frecuentemente en la mecánica cuántica (de ahí el nombre). Por ejemplo, el dinero estadounidense es múltiplos integrales de centavos. De igual manera, los instrumentos musicales como un piano o una trompeta pueden producir sólo ciertas notas musicales, como C o F sharp. Debido a que estos instrumentos no pueden producir un rango continuo de frecuencias, sus frecuencias son cuantificadas. También es similar a subir y bajar una colina usando escalones de escalera discretos en lugar de poder moverse hacia arriba y hacia abajo en una pendiente continua. Tu energía potencial adquiere valores discretos a medida que avanzas de paso a paso. Incluso la carga eléctrica se cuantifica: un ion puede tener una carga de −1 o −2, pero no −1.33 cargas de electrones.
La cuantificación de la energía de Planck es descrita por su famosa ecuación:
\[ E=h \nu \label{Eq1.2.1} \]
donde la constante de proporcionalidad\(h\) se llama constante de Planck, una de las constantes fundamentales más conocidas en la ciencia
\[h=6.626070040(81) \times 10^{−34}\, J\cdot s \nonumber \]
Sin embargo, para nuestros fines, su valor a cuatro cifras significativas es suficiente:
\[h = 6.626 \times 10^{−34} \,J\cdot s \nonumber \]
A medida que aumenta la frecuencia de la radiación electromagnética, aumenta la magnitud del cuántico asociado de energía radiante. Al asumir que la energía puede ser emitida por un objeto solo en múltiplos integrales de\(hν\), Planck ideó una ecuación que se ajusta a los datos experimentales mostrados en la Figura 1.2.1 . Podemos entender cualitativamente la explicación de Planck sobre la catástrofe ultravioleta de la siguiente manera: A bajas temperaturas, se emite radiación con frecuencias relativamente bajas, correspondientes a cuantos de baja energía. A medida que aumenta la temperatura de un objeto, existe una mayor probabilidad de emitir radiación con frecuencias más altas, correspondiente a cuantos de mayor energía. A cualquier temperatura, sin embargo, es simplemente más probable que un objeto pierda energía al emitir una gran cantidad de cuantos de energía más baja que un único cuántico de muy alta energía que corresponde a la radiación ultravioleta. El resultado es un máximo en la gráfica de intensidad de radiación emitida versus longitud de onda, como se muestra en la Figura 1.2.1 , y un desplazamiento en la posición de la longitud de onda máxima a menor (mayor frecuencia) al aumentar la temperatura.
En el momento en que propuso su hipótesis radical, Planck no pudo explicar por qué deberían cuantificarse las energías. Inicialmente, su hipótesis explicaba solo un conjunto de datos experimentales: la radiación de cuerpo negro. Si se observara la cuantificación para un gran número de fenómenos diferentes, entonces la cuantificación se convertiría en una ley. Con el tiempo, se podría desarrollar una teoría para explicar esa ley. A medida que las cosas resultaron, la hipótesis de Planck fue la semilla de la que creció la física moderna.
Max Planck explica la distribución espectral de la radiación de cuerpo negro como resultado de oscilaciones de electrones. De manera similar, las oscilaciones de electrones en una antena producen ondas de radio. Max Planck se concentró en modelar las cargas oscilantes que deben existir en las paredes del horno, irradiando calor hacia adentro y, en equilibrio termodinámico, siendo impulsadas por el campo de radiación. Encontró que podía dar cuenta de la curva observada si requería que estos osciladores no irradiaran energía continuamente, como lo exigiría la teoría clásica, pero solo podían perder o ganar energía en trozos, llamados cuantos, de tamaño\(h\nu\), para un oscilador de frecuencia\(\nu\) (Ecuación\(\ref{Eq1.2.1} \)).
Con esa suposición, Planck calculó la siguiente fórmula para la densidad de energía de radiación dentro del horno:
\[ \begin{align} d\rho(\nu,T) &= \rho_\nu (T) d\nu \\[4pt] &= \dfrac {2 h \nu^3}{c^2} \cdot \dfrac {1 }{\exp \left( \dfrac {h\nu}{k_B T}\right)-1} d\nu \label{Eq2a} \end{align} \]
con
- \(\pi = 3.14159\)
- \(h\)=\(6.626 \times 10^{-34} J\cdot s\)
- \(c\)=\(3.00 \times 10^{8}\, m/s\)
- \(\nu\)=\(1/s\)
- \(k_B\)=\(1.38 \times 10^{-23} J/K\)
- \(T\)es temperatura absoluta (en Kelvin)
La densidad de energía de radiación de Planck (Ecuación\(\ref{Eq2a}\)) también se puede expresar en términos de longitud de onda\(\lambda\).
\[\rho (\lambda, T) d \lambda = \dfrac {2 hc^2}{\lambda ^5} \dfrac {1}{ \exp \left(\dfrac {hc}{\lambda k_B T} \right) - 1} d \lambda \label{Eq2b} \]
La ecuación de Planck (Ecuación\(\ref{Eq2b}\)) dio una excelente concordancia con las observaciones experimentales para todas las temperaturas (Figura 1.2.2 ).
Planck hizo muchas contribuciones sustanciales a la física teórica, pero su fama como físico descansa principalmente en su papel como creador de la teoría cuántica. Además de ser físico, Planck fue un talentoso pianista, quien en un momento consideró la música como una carrera. Durante la década de 1930, Planck sintió que era su deber permanecer en Alemania, a pesar de su abierta oposición a las políticas del gobierno nazi.
Uno de sus hijos fue ejecutado en 1944 por su parte en un intento infructuoso de asesinar a Hitler y los bombardeos durante las últimas semanas de la Segunda Guerra Mundial destruyeron la casa de Planck. Después de la Segunda Guerra Mundial, la principal organización de investigación científica alemana pasó a llamarse Sociedad Max Planck.
Utilice la ecuación\(\ref{Eq2b}\) para mostrar que las unidades de\(ρ(λ,T)\,dλ\) son las\(J/m^3\) esperadas para una densidad de energía.
El acuerdo casi perfecto de esta fórmula con experimentos precisos (por ejemplo, Figura 1.2.3 ), y la consiguiente necesidad de cuantización de energía, fue el avance más importante en la física en el siglo. Su curva de cuerpo negro fue completamente aceptada como la correcta: experimentos cada vez más precisos la confirmaron una y otra vez, sin embargo, la naturaleza radical de la suposición cuántica no se hundió. Planck no estaba demasiado molesto, tampoco lo creía, lo veía como una solución técnica que (esperaba) eventualmente resultaría innecesaria.
Parte del problema era que la ruta de Planck hacia la fórmula era larga, difícil e inverosímil, incluso hizo suposiciones contradictorias en diferentes etapas, como señaló Einstein más tarde. Sin embargo, ¡el resultado fue correcto de todos modos!
Las matemáticas implicaban que la energía emitida por un cuerpo negro no era continua, sino que se emitía a ciertas longitudes de onda específicas, en incrementos regulares. Si Planck asumió que la energía de la radiación de cuerpo negro estaba en la forma
\[E = nh \nu \nonumber \]
donde\(n\) es un entero, entonces podría explicar lo que representaban las matemáticas. Esto fue realmente difícil de aceptar para Planck, porque en su momento, no había razón para presumir que la energía solo debía irradiarse a frecuencias específicas. Nada en las leyes de Maxwell sugería tal cosa. Era como si las vibraciones de una masa al final de un resorte solo pudieran ocurrir a energías específicas. Imagínese la masa lentamente llegando a descansar debido a la fricción, pero no de manera continua. En cambio, la masa salta de una cantidad fija de energía a otra sin pasar por las energías intermedias.
Para utilizar una analogía diferente, es como si lo que siempre habíamos imaginado como planos inclinados lisos fueran, de hecho, una serie de pasos muy poco espaciados que sólo presentaban la ilusión de continuidad.
Resumen
El acuerdo entre la teoría de Planck y la observación experimental proporcionó una fuerte evidencia de que la energía del movimiento electrónico en la materia está cuantificada. En las dos secciones siguientes, veremos que la energía transportada por la luz también se cuantifica en unidades de\(h \bar {\nu}\). Estos paquetes de energía se llaman “fotones”.
Colaboradores y Atribuciones
Michael Fowler (Beams Professor, Department of Physics, University of Virginia)
Adapted from "Quantum States of Atoms and Molecules" by David M. Hanson, Erica Harvey, Robert Sweeney, Theresa Julia Zielinski