19.6: La temperatura de un gas disminuye en una expansión adiabática reversible
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Podemos hacer el mismo argumento para el calor a lo largo de C. Si hacemos los tres procesos A y B+C solo en una pequeña medida podemos escribir:
Y ahora podemos integrar de\(V_1\) a\(V_2\) sobre el trabajo adiabático reversible a lo largo de B y de\(T_1\) a\(T_2\) para el calor isochórico reversible a lo largo de C. Para separar las variables necesitamos llevar la temperatura al lado derecho de la ecuación. :
Esta última expresión es válida para una expansión adiabática reversible de un gas ideal monatómico (digamos Argón) porque usamos la\(C_v\) expresión para tal sistema. Podemos usar la ley de gases\(PV=nRT\) para traducir esta expresión en una que relaciona presión y volumen ver Eq 19.23
Podemos demostrar matemáticamente que la temperatura de un gas disminuye durante una expansión adiabática. Asumiendo un gas ideal, la energía interna a lo largo de una trayectoria adiabática es:
\[\begin{split} d\bar{U}&= \delta q+\delta w \\ &= 0-Pd\bar{V}\\ &= -Pd\bar{V} \end{split} \nonumber \]
La capacidad calorífica de volumen constante se define como:
\[{\bar{C}}_V=\left(\frac{\partial\bar{U}}{\partial T}\right)_V \nonumber \]
Podemos reescribir esto para la energía interna:
\[d\bar{U}={\bar{C}}_VdT \nonumber \]
Combinando estas dos expresiones para la energía interna, obtenemos:
\[{\bar{C}}_VdT=-Pd\bar{V} \nonumber \]
Usando la ley de gas ideal para la presión de un gas ideal:
\[{\bar{C}}_VdT=-\frac{RT}{\bar{V}}d\bar{V} \nonumber \]
Separación de variables:
\[\frac{\bar{C}_V}{T}dT=-\frac{R}{\bar{V}}d\bar{V} \nonumber \]
Esta es una expresión para un camino ideal a lo largo de un camino reversible adiabático que relaciona la temperatura con el volumen. Para encontrar nuestro camino a lo largo de una superficie fotovoltaica para un gas ideal, podemos comenzar en la superficie de TV y convertirlo en una superficie fotovoltaica. Pasemos de (\(T_1,V_1\)) a (\(T_2,V_2\)).
\[\int_{T1}^{T_2}{\frac{\bar{C}_V}{T}dT=-\int_{\bar{V}_1}^{\bar{V}_2}{\frac{R}{\bar{V}}d\bar{V}}} \nonumber \]
\[\bar{C}_V\ln{\left(\frac{T_2}{T_1}\right)}=-R\ln{\left(\frac{{\bar{V}}_2}{{\bar{V}}_1}\right)}=R\ln{\left(\frac{{\bar{V}}_1}{{\bar{V}}_2}\right)} \nonumber \]
\[\ln{\left(\frac{T_2}{T_1}\right)}=\frac{R}{\bar{C}_V}\ln{\left(\frac{\bar{V}_1}{\bar{V}_2}\right)} \nonumber \]
\[\left(\frac{T_2}{T_1}\right)=\left(\frac{\bar{V}_1}{\bar{V}_2}\right)^{\frac{R}{\bar{C}_V}} \nonumber \]
Sabemos que:
\[R={\bar{C}}_P-{\bar{C}}_V \nonumber \]
\[\frac{R}{\bar{C}_V}=\frac{\bar{C}_P-\bar{C}_V}{\bar{C}_V}=\frac{\bar{C}_P}{\bar{C}_V}-1 \nonumber \]
\[\frac{R}{{\bar{C}}_V}=\gamma-1 \nonumber \]
Por lo tanto:
\[\left(\frac{T_2}{T_1}\right)=\left(\frac{\bar{V}_1}{\bar{V}_2}\right)^{\gamma-1} \nonumber \]
Esta expresión muestra que el volumen y la temperatura están inversamente relacionados. Es decir, a medida que el volumen aumenta de\(V_1\) a\(V_2\), la temperatura debe disminuir de\(T_1\) a\(T_2\).