32.5: Determinantes
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Considera reducir filas la matriz estándar de 2x2. Supongamos que\(a\) es distinto de cero.
\[\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix} \nonumber \]
\[\frac{1}{a} R_1 \rightarrow R_1, \;\;\; R_2-cR_1 \rightarrow R_2 \nonumber \]
\[\begin{pmatrix} 1 &\frac{b}{a} \\ c &d \end{pmatrix} \nonumber \]
\[\begin{pmatrix} 1 & \frac{b}{a} \\ 0 & d-\frac{cb}{a}\end{pmatrix} \nonumber \]
Ahora fíjate que no podemos hacer de la esquina inferior derecha un 1 si
\[d - \frac{cb}{a} = 0 \nonumber \]
o
\[ad - bc = 0. \nonumber \]
Llamamos\(ad - bc\) al determinante de la matriz 2 por 2
\[\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix} \nonumber \]
nos dice cuándo es posible remar reducir la matriz y encontrar una solución al sistema lineal.
El determinante de la matriz
\[\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 5 & 2 \end{pmatrix} \nonumber \]
es
\[3(2) - 1(5) = 6 - 5 = 1. \nonumber \]
Determinantes de 3 x 3 Matrices
Definimos el determinante de una matriz triangular
\[\begin{pmatrix} a &d &e \\ 0 &b &f \\ 0 &0 &c \end{pmatrix} \nonumber \]
por
\[\text{det} = abc. \nonumber \]
Observe que si multiplicamos una fila por una constante\(k\) entonces el nuevo determinante es\(k\) veces el viejo. A continuación enumeramos el efecto de las tres operaciones de fila.
El efecto de las tres operaciones básicas de fila sobre el determinante es el siguiente
- La multiplicación de una fila por una constante multiplica el determinante por esa constante.
- Al cambiar dos filas se cambia el signo del determinante.
- Reemplazar una fila por esa fila + un multiplicar de otra fila no tiene ningún efecto sobre el determinante.
Para encontrar el determinante de una matriz utilizamos las operaciones para hacer triangular la matriz y luego trabajar hacia atrás.
Encuentra el determinante de
\[\begin{pmatrix} 2 & 6 &10 \\ 2 &4 &-3 \\ 0 &4 &2 \end{pmatrix} \nonumber \]
Utilizamos operaciones de fila hasta que la matriz es triangular.
\[\dfrac{1}{2}R_1 \rightarrow R_1 \text{(Multiplies the determinant by } \dfrac{1}{2}) \nonumber \]
\[\begin{pmatrix} 1 & 3 &5 \\ 2 &4 &-3 \\ 0 &4 &2 \end{pmatrix} \nonumber \]
\[R_2 - 2R_1 \rightarrow R_2 \text{ (No effect on the determinant)} \nonumber \]
\[\begin{pmatrix} 1 & 3 &5 \\ 0 &-2 &-13 \\ 0 &4 &2 \end{pmatrix} \nonumber \]
Tenga en cuenta que no necesitamos poner a cero el número medio superior. Solo necesitamos poner a cero los números de abajo a la izquierda.
\[R_3 + 2R_2 \rightarrow R_3 \text{ (No effect on the determinant)}. \nonumber \]
\[\begin{pmatrix} 1 & 3 &5 \\ 0 &-2 &-13 \\ 0 &0 &-24 \end{pmatrix} \nonumber \]
Tenga en cuenta que no necesitamos hacer del número medio un 1.
El determinante de esta matriz es 48. Como esta matriz tiene\(\frac{1}{2}\) el determinante de la matriz original, el determinante de la matriz original tiene
\[\text{determinant} = 48(2) = 96. \nonumber \]
Inversa
Llamamos a la matriz cuadrada I con todos los 1's abajo la diagonal y ceros en todas partes la matriz de identidad. Tiene la propiedad única de que si\(A\) es una matriz cuadrada con las mismas dimensiones entonces
\[AI = IA = A. \nonumber \]
Definición
Si\(A\) es una matriz cuadrada entonces la inversa\(A^{-1}\) de\(A\) es la matriz única tal que
\[AA^{-1}=A^{-1}A=I. \nonumber \]
Let
\[A=\begin{pmatrix} 2 &5 \\ 1 &3 \end{pmatrix} \nonumber \]
entonces
\[A^{-1}= \begin{pmatrix} 3 &-5 \\ -1 &2 \end{pmatrix} \nonumber \]
¡Verifica esto!
Teorema: Existencia
La inversa de una matriz existe si y sólo si el determinante es distinto de cero.
Para encontrar la inversa de una matriz, escribimos una nueva matriz extendida con la identidad a la derecha. Entonces reducimos completamente la fila, la matriz resultante a la derecha será la matriz inversa.
\[\begin{pmatrix} 2 &-1 \\ 1 &-1 \end{pmatrix} \nonumber \]
Primero tenga en cuenta que el determinante de esta matriz es
\[-2 + 1 = -1 \nonumber \]
de ahí que exista la inversa. Ahora establecemos la matriz aumentada como
\[\begin{pmatrix}\begin{array}{cc|cc}2&-1&1&0 \\1&-1&0&1\end{array}\end{pmatrix} \nonumber \]
\[R_1 {\leftrightarrow} R_2 \nonumber \]
\[\begin{pmatrix}\begin{array}{cc|cc}1&-1&0&1 \\2&-1&1&0\end{array}\end{pmatrix} \nonumber \]
\[ R_2 - 2R_1 {\rightarrow} R_2 \nonumber \]
\[\begin{pmatrix}\begin{array}{cc|cc}1&-1&0&1 \\0&1&1&-2\end{array}\end{pmatrix} \nonumber \]
\[ R_1 + R_2 {\rightarrow} R_1 \nonumber \]
\[\begin{pmatrix}\begin{array}{cc|cc}1&0&1&-1 \\0&1&1&-2\end{array}\end{pmatrix} \nonumber \]
Observe que la parte izquierda es ahora la identidad. El lado derecho es el inverso. De ahí
\[A^{-1}= \begin{pmatrix} 1&-1 \\ 1&-2 \end{pmatrix} \nonumber \]
Resolver ecuaciones usando matrices
Supongamos que tenemos el sistema
\[2x - y = 3 \nonumber \]
\[ x - y = 4 \nonumber \]
Entonces podemos escribir esto en forma de matriz
\[Ax = b \nonumber \]
donde
\[A=\begin{pmatrix} 2&-1 \\ 1&-1 \end{pmatrix}, \;\;\; x= \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \;\;\; \text{and} \; b=\begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix} \nonumber \]
Podemos multiplicar ambos lados por\(A^{-1}\):
\[A^{-1}A x = A^{-1}b \nonumber \]
o
\[x = A^{-1}b \nonumber \]
Desde antes,
\[A^{-1}=\begin{pmatrix} 1&-1 \\ 1&-2 \end{pmatrix} \nonumber \]
De ahí que nuestra solución sea
\[\begin{pmatrix} -1&-5 \end{pmatrix} \nonumber \]
o
\[x = -1 \text{ and } y = 5 \nonumber \]