7.2: Descripción teórica de CW EPR

Esta sección se solapa con la Sección\(2.7\) de las notas de conferencias de RMN.

Spin paquete lineshape

Todos los giros en una muestra que tienen la misma frecuencia de resonancia forman un paquete de giro. A continuación también asumimos que todos los giros de un paquete de giro tienen los mismos tiempos de relajación longitudinal y transversal\(T_{1}\) y\(T_{2}\), respectivamente. Si el número de giros en el paquete de giro es suficientemente grande, podemos asignar un vector de magnetización al paquete de giro. La dinámica de este vector de magnetización con magnetización de equilibrio\(M_{0}\) durante la irradiación de microondas se describe mediante las ecuaciones de Bloch en el marco giratorio. En la espectroscopia EPR, es inusual utilizar la relación giromagnética. De ahí que denotemos la resonancia compensada por

\[\Omega_{S}=\frac{g \mu_{\mathrm{B}}}{\hbar} B_{0}-2 \pi \nu_{\mathrm{mw}}\]

donde\(\nu_{\mathrm{mw}}\) está la frecuencia de microondas en unidades de frecuencia. Las ecuaciones de Bloch de trama giratoria para los tres componentes del vector de magnetización pueden escribirse como

\[\begin{aligned} \frac{\mathrm{d} M_{x}}{\mathrm{~d} t} &=-\Omega_{S} M_{y}-\frac{M_{x}}{T_{2}} \\[4pt] \frac{\mathrm{d} M_{y}}{\mathrm{~d} t} &=\Omega_{S} M_{x}-\omega_{1} M_{z}-\frac{M_{y}}{T_{2}} \\[4pt] \frac{\mathrm{d} M_{z}}{\mathrm{~d} t} &=\omega_{1} M_{y}-\frac{M_{z}-M_{0}}{T_{1}} \end{aligned}\]

donde\(\omega_{1}=g_{\perp} \mu_{\mathrm{B}} B_{1} / \hbar\) es la amplitud del campo de microondas en unidades de frecuencia angular y\(g_{\perp}\) es el\(g\) valor medio en el plano perpendicular al campo magnético estático. La diferencia de signos aparente para los\(\omega_{1}\) términos\(\Omega_{S}\) y surge del diferente sentido de precesión de espín para espines electrónicos en comparación con espines nucleares con una relación giromagnética positiva.

Si el paquete de giro se irradia a frecuencia de microondas constante, potencia de microondas constante y campo magnético estático constante\(B_{0}\) durante un tiempo suficientemente largo (aproximadamente\(5 T_{1}\)), el vector de magnetización obtiene un estado estacionario. Aunque el campo estático es barrido en un experimento CW EPR, asumir un estado estacionario es una buena aproximación, ya que el barrido de campo suele ser lento en comparación con\(T_{2}\) y\(T_{1}\). Los barridos más rápidos corresponden al régimen de escaneo rápido que no se trata en esta clase magistral. En el estado estacionario, los lados izquierdos de las ecuaciones diferenciales (7.2) para los componentes del vector de magnetización deben ser todos cero,

\[\begin{aligned} 0 &=-\Omega_{S} M_{y}-\frac{M_{x}}{T_{2}} \\[4pt] 0 &=\Omega_{S} M_{x}-\omega_{1} M_{z}-\frac{M_{y}}{T_{2}} \\[4pt] 0 &=\omega_{1} M_{y}-\frac{M_{z}-M_{0}}{T_{1}} \cdot\langle\text { stationary state }\rangle \end{aligned}\]

Este sistema lineal de ecuaciones tiene la solución

\[\begin{aligned} M_{x} &=M_{0} \omega_{1} \frac{\Omega T_{2}^{2}}{1+\Omega^{2} T_{2}^{2}+\omega_{1}^{2} T_{1} T_{2}} \\[4pt] M_{y} &=-M_{0} \omega_{1} \frac{T_{2}}{1+\Omega^{2} T_{2}^{2}+\omega_{1}^{2} T_{1} T_{2}} \\[4pt] M_{z} &=M_{0} \frac{1+\Omega^{2} T_{2}^{2}}{1+\Omega^{2} T_{2}^{2}+\omega_{1}^{2} T_{1} T_{2}},\langle\text { stationary state }\rangle \end{aligned}\]

donde no\(M_{z}\) suele detectarse,\(M_{x}\) está en fase con la irradiación excitante de microondas y corresponde a la señal de dispersión, y\(M_{y}\) está desfasada con la irradiación excitante y corresponde a la línea de absorción. Las formas de línea no perturbadas se obtienen en el régimen lineal, donde el parámetro de saturación

\[S=\omega_{1}^{2} T_{1} T_{2}\]

cumple\(S \ll 1\). Se puede determinar fácilmente a partir de la Ec. (7.4) que en el régimen lineal\(M_{y}\) aumenta linealmente con el aumento\(\omega_{1}\), lo que corresponde a la proporcionalidad de la señal a la raíz cuadrada de la potencia de microondas. \(M_{z}\)está muy cerca de la magnetización de equilibrio. Dentro de este régimen, una\(6 \mathrm{~dB}\) disminución de la atenuación de microondas, es decir, un aumento de potencia en\(6 \mathrm{~dB}\), aumenta la amplitud de la señal en un factor de 2. La forma de línea no depende\(\omega_{1}\) en el régimen lineal. Por lo tanto, es una buena práctica medir a la mayor potencia de microondas que aún está bien dentro del régimen lineal, ya que esto corresponde a la máxima relación señal/ruido. Para mayor potencia la línea se ensancha.

Dentro del régimen lineal,\(M_{y}\) toma la forma de una línea de absorción lorentziana

\[M_{y}(\Omega)=M_{0} \omega_{1} T_{2} \frac{1}{1+\Omega^{2} T_{2}^{2}},\langle\text { linear regime }\rangle\]

con ancho de línea\(1 / T_{2}\) en unidades de frecuencia angular. El ancho de línea pico a pico de la primera derivada de la línea de absorción es\(\Gamma_{\mathrm{pp}}=2 / \sqrt{3} T_{2}\). Dado que los espectros\(\mathrm{CW}\) EPR se miden por barrido de campo magnético, necesitamos convertir a unidades de campo magnético,

\[\Gamma_{\text {pp,field sweep }}=\frac{2}{\sqrt{3} T_{2}} \cdot \frac{\hbar}{g \mu_{\mathrm{B}}}\]

El ancho de línea de un paquete giratorio se denomina ancho de línea homogéneo. Si\(T_{2}\) es lo mismo para todos los paquetes spin, este ancho de línea homogéneo es proporcional a\(1 / \mathrm{g}\), hecho que debe tenerse en cuenta en las simulaciones de lineshape para sistemas con gran\(g\) anisotropía. Para la mayoría de las muestras, el ensanchamiento adicional de la línea surge de acoplamientos hiperfinos no resueltos y, en estado sólido,\(g\) anisotropía. Por lo tanto, generalmente\(T_{2}\) no se puede obtener aplicando la Eq. (7.7) al ancho de línea pico a pico observado experimentalmente.

Saturación

Para una potencia de microondas mayor que en el régimen lineal, el ancho de línea pico a pico aumenta en un factor\(1+S\). Si es necesario detectar una señal débil con una relación señal/ruido máxima, es ventajoso aumentar la potencia más allá del régimen lineal, pero no necesariamente al nivel máximo disponible. Para irradiación muy fuerte\(S \gg 1\), se puede descuidar el término 1 en el denominador de las ecuaciones (7.4) para los componentes del vector de magnetización. La amplitud de resonancia de la línea de absorción viene dada por

\[M_{y}(\Omega=0)=M_{0} / \omega_{1} T_{1},\left\langle\omega_{1}^{2} T_{1} T_{2} \gg 1\right\rangle\]

es decir, es inversamente proporcional a\(\omega_{1}\). En este régimen, la amplitud disminuye con el aumento de la potencia de la irradiación de microondas.

Figura 7.5: Medición progresiva de la saturación en la proteína de membrana LHCII solubilizada en micelas detergentes en atmósfera de nitrógeno. El residuo V229 se mutó a cisteína y se marcó por espín mediante yodoacetamidoproxilo. Los puntos de datos experimentales (rojo) se obtuvieron a las atenuaciones de microondas de\(23,20,17,11\), y\(8 \mathrm{~dB}\) con una potencia total\((0 \mathrm{~dB})\) de\(200 \mathrm{~mW}\). El ajuste por la Ec. (7.9) (línea negra) proporciona\(P_{1 / 2}=3 \mathrm{~mW}\) y\(\epsilon=1.24\).

La información semicuantitativa sobre la relajación de espín se puede obtener mediante el experimento de saturación de potencia progresiva, donde el espectro EPR se mide en función de la potencia de microondas\(P_{\text {mw }}\). Por lo general, la amplitud pico a pico de la señal de grandes dimensiones en el espectro se representa en función de\(\sqrt{P_{\mathrm{mw}}}\). Tales curvas de saturación se pueden ajustar mediante la ecuación

\[A\left(P_{\mathrm{mw}}\right)=\frac{I \sqrt{P_{\mathrm{mw}}}}{\left[1+\left(2^{1 / \epsilon}-1\right) P_{\mathrm{mw}} / P_{1 / 2}\right]^{\epsilon}}\]

donde el parámetro de inhomogeneidad\(\epsilon\) toma el valor\(1.5\) en el límite homogéneo y\(0.5\) en el límite no homogéneo. Por lo general, no\(\epsilon\) se conoce de antemano y se trata como un parámetro de ajuste. Los otros parámetros de ajuste son\(I\), que es la pendiente del aumento de amplitud con la raíz cuadrada de la potencia de microondas en el régimen lineal, y\(P_{1 / 2}\), que es la potencia de media saturación. Más precisamente,\(P_{1 / 2}\) es el mw de potencia incidente donde\(A\) se reduce a la mitad de su valor insaturado. La Figura\(7.5\) muestra datos experimentales de una medición de saturación progresiva en el mutante V229C etiquetado con espín del complejo principal de recolección de luz vegetal LHCII solubilizado en micelas detergentes en una atmósfera de nitrógeno y un ajuste de estos datos por la Ec. (7.9).