9.3: Conversión de datos de evolución dipolar a distribuciones de distancia

Expresión para la señal DEER

En la Sección 9.1.1 hemos visto que el eco se modula con\(\cos (d t)\). Por lo general, esto se aplica solo a una fracción\(\lambda\) del eco, porque el pulso de la bomba excita solo una fracción\(\lambda\) de todos los paquetes de espín del compañero de acoplamiento del giro del observador. Por lo tanto, la señal de eco para un par aislado de espines de electrones en una orientación fija\(\theta\) con respecto al campo magnético se describe mediante

\[F(t, r, \theta)=F(0)\{1-\lambda(\theta)[1-\cos (2 d(r, \theta) t)]\}\]

donde la dependencia\(d(\theta)\) viene dada por las ecuaciones (5.16) y (5.15). La dependencia\(\lambda(\theta)\) no puede expresarse en forma cerrada, pero a menudo\(\lambda\) se correlaciona tan débilmente con la\(\theta\) que puede asumirse como un parámetro empírico constante. En esta situación, la ecuación (9.1) se puede integrar sobre todas las orientaciones

\[F(t, r)=\int_{0}^{\pi / 2} F(t, r, \theta) \sin \theta \mathrm{d} \theta\]

El pulso de la bomba invierte no solo el compañero de acoplamiento del espín del observador en la misma molécula, sino también los espines electrónicos en otras moléculas remotas. Si estos giros vecinos se distribuyen homogéneamente en el espacio, el factor de fondo\(B(t)\) que surge de ellos asume la forma

\[B(t)=\exp \left(-\frac{2 \pi g^{2} \mu_{\mathrm{B}}^{2} \mu_{0} N_{\mathrm{A}}}{9 \sqrt{3} \hbar} \lambda^{\prime} c t\right)\]

donde la eficiencia de inversión promediada por orientación\(\lambda^{\prime}\) es la fracción de espines excitados por el pulso de la bomba,\(g\) es un\(g\) valor promedio y\(c\) es la concentración total de espines. Por razones sutiles,\(\lambda^{\prime}\) difiere significativamente de la profundidad empírica de modulación de dos espines\(\lambda\). Distribuciones homogéneas de giros vecinos que están casi confinados a un plano o una línea dan lugar a una función de fondo exponencial estirada\(B(t)=\exp \left[-(k t)^{D / 3}\right]\), donde\(D\) es una dimensión fraccionaria de la distribución que suele ser algo mayor que 2 o 1 para casi distribuciones planas o lineales, respectivamente. La señal total de DEER viene dada por

\[V(t, r)=F(t, r) B(t)\]

Si la distancia\(r\) se distribuye con densidad de probabilidad normalizada\(P(r)\left(\int_{0}^{\infty} P(r) \mathrm{d} r=1\right)\), el factor de forma\(F(t)\) necesita ser reemplazado por\(F_{P}(t)=\int_{0}^{\infty} P(r) F(t, r) \mathrm{d} r\).

Figura 9.3: Corrección de fondo en espectroscopia DEER. (a) Datos primarios\(V(t)\) (simulación) normalizados a\(V(0)\). La modulación dipolar decae hasta cierto tiempo\(t_{\mathrm{dec}}\). Una función de decaimiento exponencial (rojo) se ajusta a los datos en el rango\(t_{\mathrm{dec}} \leq t \leq t_{\max }\), donde\(t_{\max }<\tau_{2}\) es el tiempo máximo de evolución dipolar. Esta función de fondo\(b(t)\) es extrapolada al rango\(0 \leq t<t_{\mathrm{dec}}\) (ocre). b) El factor de forma\(F(t)\) se obtiene normalizando la función de fondo,\(B(t)=b(t) / b(0)\) y dividiendo los datos primarios normalizados\(V(t) / V(0)\) por\(B(t)\). Decae a un nivel constante\(1-\lambda\), donde\(\lambda\) está la profundidad de modulación. La curva roja es una simulación correspondiente a la distribución de distancia extraída por la regularización de Tikhonov con parámetro de regularización óptima\(\alpha\).

Corrección de fondo

La información sobre la distribución de distancia\(P(r)\) está contenida en\(F(t)\), de la cual se debe separar así\(B(t)\). A menudo, la distribución es suficientemente amplia para que las oscilaciones dipolares se desintegren en un tiempo\(t_{\mathrm{dec}}\) más corto que el tiempo máximo de evolución dipolar\(t_{\max }\) (Fig. 9.3 (a)). Para\(t_{\mathrm{dec}} \leq t \leq t_{\max }\), la señal primaria es dada entonces por\(b(t)=(1-\lambda) \exp \left[-(k t)^{D / 3}\right]\) más ruido. La expresión for\(b(t)\) se ajusta a los datos primarios en este rango (línea roja en la Fig. 9.3 (a)). En algunos casos, por ejemplo para las proteínas solubles, se puede suponer una distribución homogénea de moléculas en tres dimensiones, de manera que se\(D=3\) puede fijar. De lo contrario,\(D\) se trata como un parámetro de ajuste, como son\(k\) y\(\lambda\). La función de fondo\(B(t)\) se obtiene extrapolando\(b(t)\) al rango\(0 \leq t \leq t_{\mathrm{dec}}\) (línea ocre) y dividiéndola por\(b(0)=1-\lambda\). De acuerdo con la Ec. (9.4), el factor de forma\(F(t) / F(0)\) resulta dividiendo\(V(t) / V(0)\) por\(B(t)\). Para distribuciones de distancias estrechas, las oscilaciones en\(V(t) / V(0)\) pueden durar hasta el más largo alcanzable\(t_{\max }\). Esto no crea un problema si al menos la primera oscilación se completa mucho antes\(t_{\max }\). Todas las siguientes oscilaciones tienen una amplitud muy similar y no sesgan el ajuste de fondo. Como regla general, se\(B(t)\) puede obtener una buena estimación para ajustando los datos a\(t \geq t_{\max } / 2\) if\(d t_{\max } \geq 4 \pi\), es decir, si se pueden observar dos oscilaciones completas. Si el rastreo de datos es más corto que eso, el ajuste de fondo está plagado de incertidumbre. La corrección de fondo incorrecta puede suprimir largas distancias o crear picos artificiales a largas distancias.

Regularización de Tikhonov con restricción de no negatividad

Para extraer la distribución\(P(r)\) de distancia del factor de forma experimental\(F(t) / F(0)\), necesitamos eliminar la contribución constante y renormalizar a la función de evolución dipolar

\[D(t)=\frac{F(t) / F(0)-(1-\lambda)}{\lambda}\]

e invertir la ecuación integral\(D(t)=\int_{0}^{\infty} P(r) K(t, r) \mathrm{d} r\), donde el núcleo\(K(t, r)\) viene dado por

\[K(t, r)=\int_{0}^{1} \cos \left[\left(3 z^{2}-1\right) \omega_{\perp}(r) t\right] \mathrm{d} z\]

Aquí, hemos sustituido\(\cos \theta\) por\(z, \sin \theta \mathrm{d} \theta\) por\(-\mathrm{d} \cos \theta\) e invertido dirección de la integración, que compensó el negativo\(\operatorname{sign}\) en\(-\mathrm{d} \cos \theta\).

En la práctica,\(D(t)\) se digitaliza y se da como vector en tiempos de muestreo\(t_{i}\). De igual manera, es suficiente calcular\(P(r)\) como vector a distancias de muestreo\(r_{k}\). La ecuación integral se transforma así en una ecuación matricial

\[\vec{D}=\mathbf{K} \vec{P}\]

Desafortunadamente, esta ecuación matricial no se puede invertir fácilmente, ya que las filas del kernel no\(\mathbf{K}\) son ortogonales, es decir, el producto escalar de los vectores de función de evolución dipolar en diferentes no\(r_{k}\) es cero. La débil dependencia lineal de las filas hace que el problema esté mal planteado. Pequeñas desviaciones de lo experimental\(\vec{D}\) de lo “verdadero”\(\vec{D}_{\text {ideal }}\), por ejemplo debido al ruido, causan grandes\(\vec{P}\) desviaciones de la distribución de distancia verdadera. Este problema sólo puede resolverse tomando en cuenta información adicional.

Primero, lo sabemos, como densidad de probabilidad,\(P(r) \geq 0\) en absoluto\(r\). De ahí que podamos imponer una restricción de no negatividad sobre\(\vec{P}\). Resulta que esto no es suficiente para estabilizar la solución. El ruido puede ajustarse mediante distribuciones de distancia irregular con muchos picos estrechos, aunque sabemos que la distribución de distancia debe ser suave, ya que surge de una distribución continua de conformaciones moleculares. La regularización de Tikhonov impone una restricción de suavidad al minimizar

\[G_{\alpha}=\rho+\alpha \eta\]

donde

\[\rho=\|\mathbf{K} \vec{P}-\vec{D}\| \|^{2}\]

es la desviación cuadrática media entre datos experimentales y simulados y

\[\eta=\left\|\hat{L}^{(2)} \vec{P}\right\|^{2}\]

es la norma cuadrada de la segunda derivada, que puede calcularse a partir de\(\vec{P}\) multiplicar con el operador de la segunda derivada\(\hat{L}^{(2)}\). El parámetro de regularización</figcaption>\(\alpha\) determina el relativo <figure>\(1<figcaption>\)2</figure>

Figura 9.4: Regularización Tikhonov de los datos mostrados en la Fig. 9.3. (a) Curva L. El parámetro de regularización óptima corresponde a la esquina (círculo verde) y proporciona la simulación mostrada en la Fig. 9.3 (b) así como la distribución de distancia extraída mostrada como una línea negra en el panel (c) de la Figura actual. El círculo rojo marca un parámetro de regularización demasiado grande que conduce a un sobrealisamiento. (b) Factor de forma de entrada (negro) y simulación para el parámetro de regularización demasiado grande correspondiente al círculo rojo en la\(L\) curva. (c) Distribución teórica de distancia utilizada para simular un factor de forma sin ruido (verde) y distribución de distancia extraída del factor de forma ruidoso con parámetro de regularización óptimo correspondiente al círculo verde en la\(\mathrm{L}\) curva (negro). (d) (c) Distribución teórica de distancia utilizada para simular un factor de forma sin ruido (verde) y distribución de distancia extraída del factor de forma ruidoso con un parámetro de regularización demasiado grande correspondiente al círculo rojo en la\(\mathrm{L}\) curva (negro).

peso de la restricción de suavizado con respecto a la desviación cuadrática media entre datos experimentales y simulados. Una gráfica paramétrica de\(\log \eta\) versus\(\log \rho\) en función de\(\alpha\) es aproximadamente en forma de L (Fig. 9.4). Para muy pequeños\(\alpha\), la rugosidad\(\eta\) de la distribución de la distancia se puede disminuir fuertemente sin aumentar\(\rho\) mucho la desviación media cuadrada. Para grandes ya\(\alpha, \vec{P}\) es suave y un aumento adicional de\(\alpha\) conducirá solo a una pequeña disminución de la rugosidad\(\eta\), pero a un gran aumento en\(\rho\), ya que la distribución de distancia demasiado ensanchada ya no se ajusta a la dipolar oscilaciones. De ahí que, en un sentido matemático, el parámetro de regularización óptima corresponda a la esquina de la\(L\) curva. En este parámetro de regularización la distribución de distancia extraída (línea negra en la Fig. 9.4 (c)) es solo ligeramente más ancha que la distribución de distancia verdadera (línea verde) y el factor de forma simulado (línea roja en la Fig. 9.3 (b)) concuerda con el factor de forma experimental (línea negra), excepto el ruido blanco contribución. Si el parámetro de regularización es demasiado grande (círculo rojo en la Fig. 9.4 (a)), el factor de forma simulado se sobrehumedece (línea roja en la Fig. 9.4 (b)) y la distribución de distancia es irrealista amplia (línea negra en la Fig. 9.4 (d)). Para un parámetro de regularización demasiado pequeño, la distribución de distancia se divide de manera poco realista en varios picos estrechos y el factor de forma simulado se ajusta a parte del ruido (no mostrado). Este error no se puede discernir tan claramente en el factor de forma simulado como el sobreamortiguamiento puede ser discernido. El subalisamiento es evidente solo en la curva L.