1.10.14: Gibbs Energies- Hidratos de Sal

Se prepara una solución acuosa utilizando\(mathrm{n}_{\mathrm{j}}\) moles de sal\(\mathrm{MX}\) y\(\mathrm{n}_{1}\) moles de agua. Las propiedades del sistema se contabilizan utilizando una de las dos descripciones posibles.

Descripción I

El soluto\(j\) comprende una molalidad MX de sal 1:1\(\mathrm{m}(\mathrm{MX})\left[=\mathrm{n}(\mathrm{MX}) / \mathrm{w}_{1}\right.\) donde\(\mathrm{w}_{1}\) está la masa de agua]. Los potenciales químicos de un solo ion, se definen de la siguiente manera

\ [\ begin {alineado}
&\ mu\ left (\ mathrm {M} ^ {+}\ derecha) =\ izquierda [\ parcial\ mathrm {G}/\ parcial\ mathrm {n}\ izquierda (\ mathrm {M} ^ {+}\ derecha)\ derecha] _ {\ mathrm {T},\ mathrm {p},\ mathrm {n} _ {1},\ mathrm {n}\ izquierda (\ mathrm {x} ^ {-}\ derecha)}\\
&\ mu\ izquierda (\ mathrm {X} ^ {-}\ derecha) =\ izquierda [\ parcial\ mathrm {G}/\ parcial\ mathrm {n}\ izquierda (\ mathrm {X} ^ {-}\ derecha)\ derecha] _ {\ mathrm {T},\ mathrm {p},\ mathrm {n} _ {1},\ mathrm {n}\ izquierda (\ mathrm {M} ^ {+}\ derecha)}
\ final {alineado}\]

Entonces la energía total de Gibbs (a fijo\(\mathrm{T}\) y\(\mathrm{p}\)) viene dada por la ecuación (b). \(\mathrm{G}(\mathrm{aq} ; \mathrm{I})=\mathrm{n}_{1} \, \mu_{1}(\mathrm{aq})\)

\ [\ begin {aligned}
&+\ mathrm {n} _ {\ mathrm {j}}\,\ izquierda\ {\ mu^ {\ #}\ izquierda (\ mathrm {M} ^ {+};\ mathrm {aq}\ derecha) +\ mathrm {R}\,\ mathrm {T}\,\ ln\ izquierda [\ mathrm {m}\ izquierda (\ mathrm {m}\ izquierda (\ mathrm {t}\ mathrm {M} ^ {+}\ derecha)\,\ gamma_ {+} (\ mathrm {I})/\ mathrm {m} ^ {0}\ derecha]\ derecha\}\\
&+\ mathrm {n} _ {\ mathrm {j}}\ izquierda\ {\ mu^ {\ #}\ izquierda (\ mathrm {X} ^ {-};\ mathrm {aq}\ derecha) +\ mathrm {R}\,\ mathrm {T}\,\ ln\ izquierda [\ mathrm {m}\ izquierda (\ mathrm {X} ^ {-}\ derecha)\,\ gamma_ {-} (\ mathrm {I})/\ mathrm {m} ^ {0}\ derecha]\ derecha\}
\ final {alineado}\]

Descripción II

Según esta descripción cada mol de catión es hidratado por\(\mathrm{h}_{\mathrm{m}}\left(\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}\right)\) moles de agua y cada mol de anión es hidratado por\(\mathrm{h}_{\mathrm{x}}\left(\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}\right)\) moles de agua. Por lo tanto, los potenciales químicos de iones individuales se definen de la siguiente manera.

\[\mu\left(\mathrm{M}^{+} \, \mathrm{h}_{\mathrm{m}} \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right)=\left\lfloor\partial \mathrm{G} / \partial \mathrm{n}\left(\mathrm{M}^{+} \, \mathrm{h}_{\mathrm{m}} \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right)\right\rfloor\]

en constante\(\mathrm{T}\),\(\mathrm{p}\),\(\mathrm{n}\left(\mathrm{X}^{-} \, \mathrm{h}_{\mathrm{x}} \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right),\left[\mathrm{n}_{1}-\mathrm{n}_{\mathrm{j}} \,\left(\mathrm{h}_{\mathrm{m}}+\mathrm{h}_{\mathrm{x}}\right)\right]\left(\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right)\) y,

\[\mathrm{m}\left(\mathrm{X}^{-} \, \mathrm{h}_{\mathrm{x}} \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right)=\mathrm{n}_{\mathrm{j}} / \mathrm{M}_{1} \,\left[\mathrm{n}_{1}-\left(\mathrm{h}_{\mathrm{m}}+\mathrm{h}_{\mathrm{x}}\right) \, \mathrm{n}_{\mathrm{j}}\right]\]

en constante\(\mathrm{T}\),\(\mathrm{p}\),\(\mathrm{n}\left(\mathrm{M}^{+} \, \mathrm{h}_{\mathrm{m}} \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right),\left[\mathrm{n}_{1}-\mathrm{n}_{\mathrm{j}} \,\left(\mathrm{h}_{\mathrm{m}}+\mathrm{h}_{\mathrm{x}}\right)\right]\left(\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right)\) Entonces,

\[\mathrm{m}\left(\mathrm{X}^{-} \, \mathrm{h}_{\mathrm{x}} \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right)=\mathrm{n}_{\mathrm{j}} / \mathrm{M}_{1} \,\left[\mathrm{n}_{1}-\left(\mathrm{h}_{\mathrm{m}}+\mathrm{h}_{\mathrm{x}}\right) \, \mathrm{n}_{\mathrm{j}}\right]\]

\[\mathrm{m}\left(\mathrm{M}^{+} \, \mathrm{h}_{\mathrm{m}} \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right)=\mathrm{n}_{\mathrm{j}} / \mathrm{M}_{1} \,\left[\mathrm{n}_{1}-\left(\mathrm{h}_{\mathrm{m}}+\mathrm{h}_{\mathrm{x}}\right) \, \mathrm{n}_{\mathrm{j}}\right]\]

De ahí que la energía (equilibrio) de Gibbs (al definirse\(\mathrm{T}\) y\(\mathrm{p}\)) viene dada por la siguiente ecuación.

\ [\ begin {alineado}
&\ mathrm {G} (\ mathrm {aq}) =\ izquierda [\ mathrm {n} _ {1} -\ mathrm {n} _ {\ mathrm {j}}\,\ izquierda (\ mathrm {h} _ {\ mathrm {m}} +\ mathrm {h} _ {\ mathrm {x}}\ derecha)\ derecha]\,\ mu_ {1} (\ mathrm {aq})\\
&\ quad+\ mathrm {n} _ {\ mathrm {j}}\,\ left [\ mu^ {\ prime\ prime}\ left (\ mathrm {M} ^ {+}\,\ mathrm {h } _ {\ mathrm {m}}\ mathrm {H} _ {2}\ mathrm {O}\ derecha) +\ mathrm {R}\,\ mathrm {T}\,\ ln\ izquierda\ {\ mathrm {m}\ izquierda (\ mathrm {M} ^ {+}\,\ mathrm {h} _ {\ mathrm {m}}\ mathrm {H} _ {2}\ mathrm {O}\ derecha)\,\ gamma_ {+} (\ mathrm {II})/\ mathrm {m} ^ {0}\ derecha\}\ derecha]\\
&+\ mathrm {n} _ {\ mathrm {j}}\,\ izquierda [\ mu^ {\ mathrm {y}}\ izquierda (\ mathrm {X} ^ {-}\,\ mathrm {h} _ {\ mathrm {x}}\ mathrm {H} _ {2}\ mathrm {O}\ derecho)\ derecho. \\
&\ izquierda. \ quad+\ mathrm {R}\,\ mathrm {T}\,\ ln\ izquierda\ {\ mathrm {m}\ left (\ mathrm {X} ^ {-}\,\ mathrm {h} _ {\ mathrm {x}}\ mathrm {H} _ {2}\ mathrm {O}\ derecha)\,\ gamma_ {-}\ text {(II)}/\ mathrm {m} ^ {0}\ derecho\}\ derecho]
\ final {alineado}\]

Pero las energías de Gibbs definidas por las ecuaciones (b) y (g) son idénticas (en equilibrio a las definidas\(\mathrm{T}\) y\(\mathrm{p}\)). Por lo tanto [1],

\ [\ begin {alineado}
&\ mu^ {\ prime\ prime}\ izquierda (\ mathrm {M} ^ {+};\ mathrm {aq}\ derecha) +\ mu^ {\ prime\ prime}\ izquierda (\ mathrm {X} ^ {-};\ mathrm {aq}\ derecha) +2\,\ mathrm {R}\,\ mathrm {T}\,\ ln\ left [1-\ mathrm {M} _ {1}\,\ mathrm {m} _ {\ mathrm {j}}\,\ left (\ mathrm {h} _ {\ mathrm {m}} +\ mathrm {h} _ {\ mathrm {X}}\ derecha)\ derecha]\\
&+\ mathrm {R}\,\ mathrm {T}\,\ ln\ izquierda\ {\ gamma_ {+} (\ mathrm {I})\,\ gamma_ {-} (\ mathrm {I})\ derecha\}\\
&=-\ izquierda (h_ {m} +h_ {X}\ derecha)\,\ izquierda\ {mu\ _ {1} ^ {*} (\ ell) -2\,\ phi\, R\, T\, M_ {1}\, m_ {j}\ derecha\}\\
&+\ mu^ {\ prime\ prime}\ izquierda (\ mathrm {M} ^ {+}\, \ mathrm {h} _ {\ mathrm {m}}\ mathrm {H} _ {2}\ mathrm {O};\ mathrm {aq}\ derecha) +\ mu^ {\ prime\ prime}\ izquierda (\ mathrm {X} ^ {-}\,\ mathrm {h} _ {\ mathrm {X}}\ mathrm {H} _ {2}\ mathrm {O};\ mathrm {aq}\ derecha)\\
&+\ mathrm {R}\,\ mathrm {T}\,\ ln\ izquierda\ {\ gamma_ {+}\ text {(II)}\,\ gamma_ {-}\ texto {(II)}\ derecha\}
\ end {alineado}\]

Utilizamos esta última ecuación para explorar lo que sucede en el límite que se\(\mathrm{n}_{j}\) aproxima a cero. Así,\(\operatorname{limit}\left(\mathrm{n}_{\mathrm{j}} \rightarrow 0\right) \gamma_{+}(\mathrm{I})=1 ; \gamma_{-}(\mathrm{I})=1 ; \gamma_{+}(\mathrm{II})=1 ; \gamma_{-}(\mathrm{II})=1 ; \mathrm{m}_{\mathrm{j}}=0\) por lo tanto,

\ [\ begin {alineado}
&\ mu^ {\ #}\ izquierda (\ mathrm {M} ^ {+};\ mathrm {aq}\ derecha) +\ mu^ {\ #}\ izquierda (\ mathrm {X} ^ {-};\ mathrm {aq}\ derecha) =\\
&\ mu^ {\ #}\ izquierda (\ mathrm {M} ^ {+}\,\ mathrm {h} _ {\ mathrm {m}}\ mathrm {H} _ {2}\ mathrm {O};\ mathrm {aq}\ derecha) +\ mu^ {\ #}\ izquierda (\ mathrm {X} ^ {-}\,\ mathrm {h} _ {\ mathrm {x}}\ mathrm {H} _ {2}\ mathrm {O};\ mathrm {aq}\ derecha)\\
&- izquierda (\ mathrm {h} _ {\ mathrm {m}} +\ mathrm {h} _ {\ mathrm {x}}\ derecha)\,\ mu_ {1} {} ^ {*} (\ ell)
\ end alineado}\]

Se obtiene una ecuación que une los potenciales químicos iónicos. Por lo tanto,

\ [\ begin {array} {r}
\ ln\ gamma_ {+} (\ mathrm {I}) +\ ln\ gamma_ {-} (\ mathrm {I}) =2\,\ phi\,\ mathrm {M} _ _ {1}\,\ mathrm {m} _ {\ mathrm {j}}\,\ left (\ mathrm {h} _ _ {mathrm {m}} +\ mathrm {h} _ {\ mathrm {x}}\ derecha)\\
-2\,\ ln\ izquierda [1-\ mathrm {M} _ {1}\,\ mathrm {m} _ {\ mathrm {j}}\,\ izquierda (\ mathrm {h} _ _ {\ mathrm {m} } +\ mathrm {h} _ {\ mathrm {X}}\ derecha)\ derecha]\\
+\ ln _ {+}\ gamma_ {+} (\ mathrm {II}) +\ ln\ gamma_ {-} (\ mathrm {II})
\ end {array}\]

Luego en soluciones diluidas,

\ [\ begin {array} {r}
\ ln\ gamma_ {+} (\ mathrm {I}) +\ ln\ gamma_ {-} (\ mathrm {I}) =2\, (\ phi+1)\,\ mathrm {M} _ {1}\,\ mathrm {m} _ _ {\ mathrm {j}}\,\ left (\ mathrm {h} _ {\ mathrm {m}} +\ mathrm {h} _ {\ mathrm {x}}\ derecha)\\
+\ ln\ gamma_ {+} (\ mathrm {II}) +\ ln\ gamma_ {-} (\ mathrm {II})
\ end {array}\]

Pero\(\ln \gamma_{+}(\mathrm{I})+\ln \gamma_{-}(\mathrm{I})=2 \, \ln \gamma_{\pm}(\mathrm{I})\) entonces,\(2 \, \ln \gamma_{\pm}(\mathrm{I})=2 \,(\phi+1) \, \mathrm{M}_{1} \, \mathrm{m}_{\mathrm{j}} \,\left(\mathrm{h}_{\mathrm{m}}+\mathrm{h}_{\mathrm{x}}\right)+2 \, \ln \gamma_{\pm}(\mathrm{II})\)

Identificamos relaciones entre los coeficientes de actividad de iones individuales en un análisis extra-termodinámico. Así, a partir de la ecuación (k),

\[\ln \gamma_{+}(\mathrm{II})=\ln \gamma_{+}(\mathrm{I})-2 \,(\phi+1) \, \mathrm{M}_{1} \, \mathrm{m}_{\mathrm{j}} \, \mathrm{h}_{\mathrm{m}}\]

\[\ln \gamma_{-}(\mathrm{II})=\ln \gamma_{-}(\mathrm{I})-2 \,(\phi+1) \, \mathrm{M}_{1} \, \mathrm{m}_{\mathrm{j}} \, \mathrm{h}_{\mathrm{x}}\]

Es de destacar que en estos términos la solución puede ser ideal usando la descripción I donde\(\gamma_{\pm} = 1.0\) pero no ideal usando la descripción II. Sin embargo, estas ecuaciones muestran cómo el coeficiente de actividad del ión hidratado (descripción II) se relaciona con el coeficiente de actividad del ion simple (descripción I).

Nota al pie

[1] A partir de las ecuaciones (b) y (g), (dividiendo por\(\mathrm{n}_{j}\))

\ [\ begin {alineada}
&\ izquierda [\ mu^ {n}\ izquierda (\ mathrm {M} ^ {+};\ mathrm {aq}\ derecha) +\ mathrm {R}\,\ mathrm {T}\,\ ln\ izquierda\ {\ mathrm {m}\ izquierda (\ mathrm {M} ^ {+};\ mathrm {I}\ derecha)\,\ gamma_ {+} (\ mathrm {I})/\ mathrm {m} ^ {0}\ derecha\}\ derecha]\\
&+\ izquierda [\ mu^ {\ prime\ prime}\ izquierda (\ mathrm {X} ^ {-};\ mathrm {aq}\ derecha) +\ mathrm {R}\,\ mathrm {T}\,\ ln\ izquierda\ {\ mathrm {m}\ izquierda (\ mathrm {X} ^ {-};\ mathrm {I}\ derecha)\,\ gamma_ {-} (\ mathrm {I})/\ mathrm {m} ^ {0}\ derecha\} derecha\] =\\
&-\ izquierda (h_ {m} +h_ {x}\ derecha)\,\ mu_ {1} (a q) +\\
&+\ izquierda [\ mu^ {\ prime\ prime}\ izquierda (\ mathrm {M} ^ {+}\,\ mathrm {h} _ {\ mathrm {m}}\ mathrm {H} _ {2}\ mathrm {O};\ mathrm {aq}\ derecha) +\ mathrm {R}\,\ mathrm {T}\,\ ln\ izquierda\ {\ mathrm {m}\ izquierda (\ mathrm {M} ^ {+}\,\ mathrm {h} _ _ {\ mathrm {m}\ mathrm {H} _ {2}\ mathrm {O}\ derecha)\,\ gamma_ {+}\ text {(II)}/\ mathrm {m} ^ {0}\ derecha\}\ derecha]\\
&+\ izquierda [\ mu^ {\ prime\ prime}\ izquierda (\ mathrm {X } ^ {-}\,\ mathrm {h} _ {\ mathrm {x}}\ mathrm {H} _ _ {2}\ mathrm {O}\ derecha) +\ mathrm {R}\,\ mathrm {T}\,\ ln\ izquierda\ {\ mathrm {m}\ izquierda (\ mathrm {X} ^ {-}\,\ mathrm {h} _ {mathrm {x}}\ mathrm {H} _ {2}\ mathrm {O}\ derecha)\,\ gamma_ {-} (\ mathrm {II})/\ mathrm {m} ^ {0}\ derecha\}\ derecha]
\ end {alineada}\]

Entonces

\ [\ begin {alineado}
&\ text {es}\ izquierda [\ mu^ {*}\ izquierda (\ mathrm {M} ^ {+};\ mathrm {aq}\ derecha) +\ mathrm {R}\,\ mathrm {T}\,\ ln\ izquierda\ {\ mathrm {m}\ izquierda (\ mathrm {M} ^ {+};\ mathrm {I}\ derecha)\,\ gamma_ {+} (\ mathrm {I})/\ mathrm {m} ^ {0}\ derecha\}\ derecha]\\
&+\ izquierda [\ mu^ {*}\ izquierda (\ mathrm {X} ^ {-};\ mathrm {aq}\ derecha) +\ mathrm {R}\,\ mathrm {T}\,\ ln\ izquierda\ {\ mathrm {m}\ izquierda (\ mathrm {X} ^ {-};\ mathrm {I}\ derecha)\,\ gamma_ {-} (\ mathrm {I})/\ mathrm {m} ^ {0}\ derecha\} derecha\] =\\
&-\ izquierda (\ mathrm {h} _ {\ mathrm {m}} +\ mathrm {h} _ {\ mathrm {X}}\ derecha)\,\ izquierda\ {\ mu_ {1} ^ {*} (\ ell) -2\,\ phi\,\ mathrm {R}\,\ mathrm {T }\,\ mathrm {M} _ {1}\,\ mathrm {m} _ {\ mathrm {j}}\ derecha\}\\
&+\ izquierda [\ mu^ {*}\ izquierda (\ mathrm {M} ^ {+}\,\ mathrm {h} _ {\ mathrm {m}}\ mathrm {H} _ {2}\ mathrm {O};\ mathrm {aq}\ derecha) +\ mathrm {R}\,\ mathrm {T}\,\ ln\ izquierda\ {\ mathrm {m}\ left (\ mathrm {M} ^ {+}\,\ mathrm {h} _ {\ mathrm {m}}\ mathrm {H} _ _ {2}\ mathrm {O}\ derecha )\,\ gamma_ {+} (\ mathrm {II})/\ mathrm {m} ^ {0}\ derecha\}\ derecha]\\
&+\ izquierda [\ mu^ {\ prime\ prime}\ izquierda (\ mathrm {X} ^ {-}\,\ mathrm {h} _ {\ mathrm {x}}\ mathrm {H} _ {2}\ mathrm rm {O}\ derecha) +\ mathrm {R}\,\ mathrm {T}\,\ ln\ izquierda\ {\ mathrm {m}\ izquierda (\ mathrm {X} ^ {-}\,\ mathrm {h} _ {\ mathrm {x}}\ mathrm {H} _ _ {2}\ mathrm {O}\ derecha)\,\ gamma_ {-} (\ mathrm {II})/\ mathrm {m} ^ {0}\ derecha\}\ derecha]
\ end {alineada}\]

O,

\ [\ begin {alineada}
& {\ izquierda [\ mu^ {\ prime\ prime}\ izquierda (\ mathrm {M} ^ {+};\ mathrm {aq}\ derecha) +\ mu^ {\ #}\ izquierda (\ mathrm {X} ^ {-};\ mathrm {aq}\ derecha)\ derecha)\ derecha.} \\
&+\ mathrm {R}\,\ mathrm {T}\,\ ln\ izquierda\ {\ mathrm {m} (\ mathrm {M} ^ {+};\ mathrm {I})\,\ mathrm {m}\ left (\ mathrm {X} ^ {-} ;(\ mathrm {I})/\ left (\ mathrm {M} ^ ^ {+ ^};\ mathrm {II}\ derecha)\,\ mathrm {m}\ izquierda (\ mathrm {X} ^ {-};\ mathrm {II}\ derecha\}\ derecha. \ derecho. \\
&\ mathrm {R}\,\ mathrm {T}\,\ ln\ izquierda\ {\ gamma_ {+} (\ mathrm {I})\,\ gamma_ {-} (\ mathrm {I})\ derecha\}\\
&=-\ izquierda (\ mathrm {h} _ _ {\ mathrm {m}} +\ mathrm {h} _\ mathrm {X}}\ derecha)\,\ izquierda\ {\ mu_ {1} ^ {*} (\ ell) -2\,\ phi\,\ mathrm {R}\,\ mathrm {T}\,\ mathrm {M} _ {1}\,\ mathrm {m} _ {\ mathrm {j}} \ derecha\}\\
&+\ mu^ {*}\ izquierda (\ mathrm {M} ^ {+}\,\ mathrm {h} _ {\ mathrm {m}}\ izquierda (\ mathrm {H} _ _ {2}\ mathrm {O}\ derecha);\ mathrm {aq}\ derecha) +\ mu^ {\ #}\ izquierda (\ mathrm {X} ^ ^ {-}\,\ mathrm {h} _ {\ mathrm {X}}\ izquierda (\ mathrm {H} _ {2}\ mathrm {O}\ derecha);\ mathrm {aq}\ derecha)\\
&+\ mathrm {R}\,\ mathrm {T}\, \ ln\ izquierda\ {\ gamma_ {+} (\ mathrm {II})\,\ gamma_ {-} (\ mathrm {II})\ derecha\}
\ final {alineado}\]

Utilizando la definición de\(\mu^{\prime \prime}\left(\mathrm{M}^{+} ; \mathrm{I}\right)\) y\(\mu^{\prime \prime}\left(\mathrm{X}^{-} ; \mathrm{I}\right)\) y ecuaciones e) y f) para la descripción (II),

\ [\ begin {alineado}
&\ frac {\ mathrm {m}\ left (\ mathrm {M} ^ {+};\ mathrm {I}\ right)\,\ mathrm {m}\ left (\ mathrm {X} ^ {-};\ mathrm {I}\ right)} {\ mathrm {m}\ left (\ mathrm {M} ^ {+};\ mathrm {II}\ derecha)\,\ mathrm {m}\ izquierda (\ mathrm {X} ^ {-};\ mathrm {II}\ derecha)} =\\
&\ frac {\ mathrm {n} _ _ {\ mathrm {j}}} {\ mathrm {M} _ {1}\,\ mathrm {n} _ {1}}\,\ frac {\ mathrm {M} _ {1}\,\ left [\ mathrm {n} _ {1} -\ izquierda (\ mathrm {h} _ {\ mathrm {m}} +\ mathrm {h} _ {\ mathrm {X}}\ derecha)\,\ mathrm {n} _ {\ mathrm {j}}\ derecha]} {\ mathrm {n} _ {\ mathrm {j}}}\,\ frac {\ mathrm {n} _ {\ mathrm {j}}} {\ mathrm {M} _ {1}\,\ mathrm {n} _ _ {1}}\,\ frac {\ mathrm {M} {1}\,\ izquierda [\ mathrm {n} _ {1 } -\ izquierda (\ mathrm {h} _ {\ mathrm {m}} +\ mathrm {h} _ {\ mathrm {X}}\ derecha)\,\ mathrm {n} _ {\ mathrm {j}}\ derecha]} {\ mathrm {n} _ {\ mathrm {j}}}
\ final {alineado}\]

Por lo tanto,

\[\frac{\mathrm{m}\left(\mathrm{M}^{+} ; \mathrm{I}\right) \, \mathrm{m}\left(\mathrm{X}^{-} ; \mathrm{I}\right)}{\mathrm{m}\left(\mathrm{M}^{+} ; \mathrm{II}\right) \, \mathrm{m}\left(\mathrm{X}^{-} ; \mathrm{II}\right)}=\left[1-\left(\mathrm{h}_{\mathrm{m}}+\mathrm{h}_{\mathrm{X}}\right) \, \mathrm{M}_{1} \, \mathrm{m}_{\mathrm{j}}\right]^{2}\]

Por lo tanto,

\ [\ begin {alineado}
&\ mu^ {\ #\ prime}\ izquierda (\ mathrm {M} ^ {+};\ mathrm {aq}\ derecha) +\ mu^ {\ #\ prime}\ izquierda (\ mathrm {X} ^ {-};\ mathrm {aq}\ derecha) +2\,\ phi\,\ mathrm {R}\,\ mathrm {T}\,\ ln\ izquierda [1-\ mathrm {M} _ {1}\,\ mathrm {m} _ {\ mathrm {j}}\,\ left (\ mathrm {h} _ {\ mathrm {m}} +\ mathrm {h} _ {\ mathrm {X}}\ derecha)\ derecha]\\
&\ quad+\ mathrm {R}\,\ mathrm {T}\,\ ln\ izquierda\ {\ gamma_ {+} (\ mathrm {I})\,\ gamma_ {-} (\ mathrm {yo})\ derecha\}\\
&=-\ izquierda (\ mathrm {h} _ {\ mathrm {m}} +\ mathrm {h} _ {\ mathrm {X}}\ derecha)\,\ izquierda\ {\ mu_ {1} ^ {*} (\ ell) -2\,\ phi\,\ mathrm {R}\,\ mathrm {T}\,\ mathrm {M} _ {1}\,\ mathrm {m} _ {\ mathrm {j}}\ derecha\}\\
&\ quad+\ mu^ {\ # *}\ izquierda (\ mathrm {M} ^ {+};\ mathrm {h} _ {\ mathrm {m}}\ mathrm {H} _ {2}\ mathrm {O};\ mathrm {aq}\ derecha) +\ mu^ {\ #\ #} izquierda\ (\ mathrm {X} ^ {-};\ mathrm {h} _ {\ mathrm {X}}\ mathrm {H} _ {2}\ mathrm {O};\ mathrm {aq}\ derecha) +\ mathrm {R}\,\ mathrm {T}\,\ ln\ izquierda\ {\ gamma_ {+} (\ mathrm {II})\,\ gamma_ {-} (\ mathrm {II})\ derecha\}
\ final {alineado}\]