1.12.24: Expansiones- Ecuaciones

Simplificamos el álgebra omitiendo los descriptores (aq) y (\(\ell\)) en las siguientes ecuaciones. El punto de partida es la siguiente ecuación.

\[\alpha_{S}-\alpha_{S}^{*}=\frac{\alpha_{S}}{\kappa_{S} \, \sigma} \,\left(\kappa_{S} \, \sigma-\kappa_{S}^{*} \, \sigma^{*}\right)-\frac{\alpha_{S}^{*}}{\alpha_{p}} \,\left(\alpha_{p}-\alpha_{p}^{*}\right)\]

Esta última ecuación es efectivamente una identidad. Así, de la ecuación (a)

\[\alpha_{S}-\alpha_{S}^{*}=\alpha_{S}-\frac{\alpha_{S}}{\kappa_{S} \, \sigma} \, \kappa_{S}^{*} \, \sigma^{*}-\alpha_{S}^{*}+\frac{\alpha_{S}^{*}}{\alpha_{p}} \, \alpha_{p}^{*}\]

Pero\(\alpha_{\mathrm{s}}=-\kappa_{\mathrm{s}} \, \sigma / \mathrm{T} \, \alpha_{\mathrm{p}}\) y\(\alpha_{\mathrm{p}}^{*} / \alpha_{\mathrm{s}}^{*}=-\kappa_{\mathrm{s}}^{*} \, \sigma^{*} / \mathrm{T}\)

Luego de (b),\(\alpha_{\mathrm{s}}-\alpha_{\mathrm{s}}^{*}=\alpha_{\mathrm{s}}-\alpha_{\mathrm{s}}^{*}+\frac{\kappa_{\mathrm{s}} \, \sigma}{\mathrm{T} \, \alpha_{\mathrm{p}} \, \kappa_{\mathrm{s}} \, \sigma} \, \kappa_{\mathrm{s}}^{*} \, \sigma^{*}-\frac{\kappa_{\mathrm{s}}^{*} \, \sigma^{*}}{\alpha_{\mathrm{p}} \, \mathrm{T}}\) o\(\alpha_{\mathrm{s}}-\alpha_{\mathrm{s}}^{*}=\alpha_{\mathrm{s}}-\alpha_{\mathrm{s}}^{*}\)

Pero como identidad,

\[\kappa_{\mathrm{S}} \, \sigma-\kappa_{\mathrm{S}}^{*} \, \sigma^{*}=\sigma \,\left(\kappa_{\mathrm{S}}-\kappa_{\mathrm{S}}^{*}\right)+\kappa_{\mathrm{S}}^{*} \,\left(\sigma-\sigma^{*}\right)\]

Luego de las ecuaciones (a) y (c),

\[\alpha_{\mathrm{s}}-\alpha_{\mathrm{s}}^{*}=\frac{\alpha_{\mathrm{s}}}{\kappa_{\mathrm{s}}} \,\left(\kappa_{\mathrm{s}}-\kappa_{\mathrm{s}}^{*}\right)+\frac{\alpha_{\mathrm{s}} \, \kappa_{\mathrm{s}}^{*}}{\kappa_{\mathrm{s}} \, \sigma} \,\left(\sigma-\sigma^{*}\right)-\frac{\alpha_{\mathrm{s}}^{*}}{\alpha_{\mathrm{p}}} \,\left(\alpha_{\mathrm{p}}-\alpha_{\mathrm{p}}^{*}\right)\]

Pero,

\[\phi\left(E_{\mathrm{S}} ; \operatorname{def}\right)=\left[\mathrm{c}_{\mathrm{j}}\right]^{-1} \,\left(\alpha_{\mathrm{s}}-\alpha_{\mathrm{s}}^{*}\right)+\alpha_{\mathrm{s}}^{*} \, \phi\left(\mathrm{V}_{\mathrm{j}}\right)\]

De ahí

\ [\ begin {alineado}
\ phi\ left (E_ {\ mathrm {s} j};\ nombreoperador {def}\ derecha) =&\ frac {\ alpha_ {\ mathrm {s}}} {\ kappa_ {\ mathrm {s}}\,\ left [\ mathrm {c} _ _ {\ mathrm {j}}\ derecha] ^ {-1}\,\ izquierda (\ kappa_ {\ mathrm {s}} -\ kappa_ {\ mathrm {s}} ^ {*}\ derecha) +\ frac {\ alpha_ {\ mathrm {s}}\,\ kappa_ {\ mathrm {s}} ^ {*}} {\ kappa_ {\ mathrm {s}}\,\ sigma}\,\ izquierda [\ mathrm {c} _ {\ mathrm {j}}\ derecha] ^ {-1}\,\ izquierda (\ sigma-\ sigma^ {*}\ derecha)\\
&-\ frac {\ alpha_ {\ mathrm {s}} ^ {*}} {\ alpha_ {\ mathrm {p}}\,\ izquierda [\ mathrm {c} _ {\ mathrm {j}}\ derecha] ^ {-1}\,\ izquierda (\ alpha_ {\ mathrm {p}} -\ alpha_ {\ mathrm {p}} ^ {*}\ derecha) +\ alpha_ {\ mathrm {s}} ^ {*}\,\ phi\ izquierda (\ mathrm {V} _ {\ mathrm {j}}\ derecha)
\ final {alineado}\]

Para capacidades de calor isobárico,

\[\phi\left(\mathrm{C}_{\mathrm{pj}}\right)=\left[\mathrm{c}_{\mathrm{j}}\right]^{-1} \,\left(\sigma-\sigma^{*}\right)+\sigma^{*} \, \phi\left(\mathrm{V}_{\mathrm{j}}\right)\]

También

\[\phi\left(K_{\mathrm{S}_{j}} ; \operatorname{def}\right)=\left[\mathrm{c}_{\mathrm{j}}\right]^{-1} \,\left(\kappa_{\mathrm{s}}-\kappa_{\mathrm{s}}^{*}\right)+\kappa_{\mathrm{s}}^{*} \, \phi\left(\mathrm{V}_{\mathrm{j}}\right)\]

De ahí

\ [\ begin {alineado}
\ phi\ left (\ mathrm {E} _ {\ mathrm {s} j};\ nombreoperador {def}\ derecha) =&\ frac {\ alpha_ {\ mathrm {s}}} {\ kappa_ {\ mathrm {s}}}\,\ left [\ phi\ left (\ mathrm {K} _ {\ mathrm {\ mathrm {s} j};\ nombreoperador {def}\ derecha) -\ kappa_ {\ mathrm {s}} ^ {*}\,\ phi\ izquierda (\ mathrm {V} _ _ {\ mathrm {j}}\ derecha)\ derecha] +\ frac {\ alpha_ {\ mathrm {s}}\,\ kappa_ {\ mathrm {s}} ^ {*}} {\ kappa_ {\ mathrm {s}}\,\ sigma}\,\ izquierda [\ phi\ izquierda (\ mathrm {C} _ _ {\ mathrm {pj}}\ derecha) -\ sigma^ {*}\,\ phi\ izquierda (\ mathrm {V} {\ mathrm {j}}\ derecha)\ derecha]\\
&-\ frac {\ alpha_ {\ mathrm {s}} ^ {*}} {\ alpha_ {\ mathrm {p}}}\,\ izquierda [\ phi\ izquierda (\ mathrm {E} _ _ {\ mathrm {pj}}\ derecha) -\ alfa _ {\ mathrm {p}} ^ {*}\,\ phi\ izquierda (\ mathrm {V} _ {\ mathrm {j}}\ derecha)\ derecha] +\ alpha_ {\ mathrm {s}} ^ {*}\,\ phi\ izquierda (\ mathrm {V} _ _ {\ mathrm {j}}\ derecha)
\ final {alineado}\]

Luego con un poco de reorganización,

\ [\ begin {alineado}
\ phi\ left (\ mathrm {E} _ _ {\ mathrm {s} j};\ nombreoperador {def}\ derecha) =&-\ frac {\ alpha_ {\ mathrm {s}} ^ {*}} {\ alpha_ {\ mathrm {p}}}\,\ phi\ left (\ mathrm {E} _ {\ mathrm {p} j}\ derecha) +\ frac {\ alpha_ {\ mathrm {s}}} {\ kappa_ {\ mathrm {s}}}\,\ phi\ izquierda (\ mathrm {K} _ {\ mathrm {s} j};\ nombreoperador {def}\ derecha ) +\ frac {\ alpha_ {\ mathrm {s}}\,\ kappa_ {\ mathrm {s}} ^ {*}} {\ kappa_ {\ mathrm {s}}\,\ sigma}\,\ phi\ izquierda (\ mathrm {C} _ _ {\ mathrm {pj}}\ derecha)\\
&+\ izquierda [\ alpha_ {\ mathrm {s}} ^ {*}\,\ left (1+\ frac {\ alpha_ {\ mathrm {p}} ^ {*}} {\ alpha_ {\ mathrm {p}}}\ derecha) -\ frac {\ alpha_ {\ mathrm {s}}\,\ kappa_ {\ mathrm {s}} ^ {*}} {\ kappa_ {\ mathrm {s}}}\,\ izquierda (1+\ frac {\ sigma^ {*}} {\ sigma}\ derecha)\ derecha]\,\ phi\ izquierda (\ mathrm {V} _ _ {\ mathrm {j}}\ derecha)
\ final {alineado}\]

De ahí que en el límite de la dilución infinita,\(\frac{\phi\left(\mathrm{E}_{\mathrm{Sj}} ; \operatorname{def}\right)^{\infty}}{\alpha_{\mathrm{S} 1}^{*}(\ell)}=-\frac{\phi\left(\mathrm{E}_{\mathrm{pj}}\right)^{\infty}}{\alpha_{\mathrm{p} 1}^{*}(\ell)}+\frac{\phi\left(\mathrm{K}_{\mathrm{s} j} ; \mathrm{def}\right)^{\infty}}{\kappa_{\mathrm{s} 1}^{*}(\ell)}+\frac{\phi\left(\mathrm{C}_{\mathrm{pj}}\right)^{\infty}}{\sigma_{1}^{*}(\ell)}\)