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1.14.27: Teorema de Euler

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    Este teorema surge de teorías relacionadas con ecuaciones diferenciales. El teorema encuentra muchas aplicaciones en la termodinámica. En particular es importante el teorema que se ocupa de las funciones homogéneas de primer grado. Este teorema se puede afirmar de la siguiente manera [1].

    \[\mathrm{f}(\mathrm{k} \, \mathrm{x}, \mathrm{k} \, \mathrm{y}, \mathrm{k} \, \mathrm{z})=\mathrm{k} \, \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) \label{a}\]

    A modo de ilustración consideramos un volumen de mezcla líquida\(\mathrm{V}\) preparada utilizando\(\mathrm{n}_{1}\) y\(\mathrm{n}_{2}\) moles de líquido 1 y 2. Si hubiéramos usado\(2 . \mathrm{n}_{1}\) y\(2 . \mathrm{n}_{2}\) moles de líquidos 1 y 2, entonces el volumen final habría sido\(2 . \mathrm{V}\). El teorema importante nos permite establecer las siguientes descripciones.

    Para un sistema que comprende sustancias\(\mathrm{i}\) químicas, se deduce que

    \[\mathrm{V}=\sum_{\mathrm{j}=1}^{\mathrm{j}=\mathrm{i}} \mathrm{n}_{\mathrm{j}} \, \mathrm{V}_{\mathrm{j}}\label{b}\]

    donde el volumen molar parcial

    \[\mathrm{V}_{\mathrm{j}}=\left(\frac{\partial \mathrm{V}}{\partial \mathrm{n}_{\mathrm{j}}}\right)_{\mathrm{T}, \mathrm{p}, \mathrm{n}(\mathrm{i} \neq \mathrm{j})} \label{c}\]

    Cabe señalar que algunas monografías termodinámicas, al citar la Ecuación\ ref {b}, incluyen la frase 'a temperatura y presión constantes'. Otras monografías no incluyen esta frase con el argumento de que la condición isobárica - isotérmica está incluida en la definición de la derivada parcial en la Ecuación\ ref {c}. En la práctica no se pierde nada al incluir esta frase simplemente para indicar que el análisis se refiere a las propiedades de los sistemas en el dominio\(\mathrm{T} – \mathrm{p}\) - composición.

    Un análisis similar en el contexto de las energías de Gibbs conduce a las siguientes dos ecuaciones y a la definición de potenciales químicos.

    \[G=\sum_{j=1}^{j=i} n_{j} \, \mu_{j} \label{d}\]

    donde el potencial químico

    \[\mu_{j}=\left(\frac{\partial G}{\partial n_{j}}\right)_{T, p, n(i \neq j)} \label{e}\]

    Notas al pie

    [1] R. J. Tykodi, J. Chem. Educ.,1982, 59 ,557.

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