10.9: Habilidades esenciales 5

Objetivos de aprendizaje

• Logaritmos naturales
• Cálculos mediante logaritmos naturales

Habilidades Esenciales 3 en la Sección 4.11, introdujo los logaritmos comunes, o base 10, y mostró cómo usar las propiedades de los exponentes para realizar cálculos logarítmicos. En esta sección, describimos logaritmos naturales, su relación con logaritmos comunes y cómo hacer cálculos con ellos usando las mismas propiedades de los exponentes.

Logaritmos naturales

Muchos fenómenos naturales exhiben una tasa exponencial de aumento o disminución. El crecimiento poblacional es un ejemplo de una tasa exponencial de incremento, mientras que el rendimiento de un corredor puede mostrar una disminución exponencial si las mejoras iniciales son sustancialmente mayores que las que ocurren en etapas posteriores del entrenamiento. Los cambios exponenciales se representan logarítmicamente por e ^x, donde e es un número irracional cuyo valor es aproximadamente 2.7183. El logaritmo natural, abreviado como ln, es la potencia x a la que se debe elevar e para obtener un número determinado. El logaritmo natural de e es 1 (ln e = 1).

Algunas relaciones importantes entre logaritmos de base 10 y logaritmos naturales son las siguientes:

10 ¹ = 10 = e ^2.303 ln e ^x = x ln 10 = ln (e ^2.303) = 2.303 log 10 = ln e = 1

Según estas relaciones, ln 10 = 2.303 y log 10 = 1. Porque multiplicar por 1 no cambia una igualdad,

ln 10 = 2.303 log 10

Sustituir cualquier valor y por 10 da

ln y = 2.303 log y

Otras relaciones importantes son las siguientes:

log A ^x = x log A ln e ^x = x ln e = x = e ^{ln x}

Ingresando un valor x, como 3.86, en tu calculadora y presionando la tecla “ln” da el valor de ln x, que es 1.35 para x = 3.86. Por el contrario, ingresar el valor 1.35 y presionar la tecla “e ^x” da una respuesta de 3.86. En algunas calculadoras, presionar [INV] y luego [ln x] equivale a presionar [e x]. De ahí

e ^ln3.86 = e ^1.35 = 3.86 ln (e ^3.86) = 3.86

Constructor de habilidades ES1

Calcular el logaritmo natural de cada número y expresar cada uno como una potencia de la base e.

1. 0.523
2. 1.63

Solución:

1. ln (0.523) = −0.648; e ^−0.648 = 0.523
2. ln (1.63) = 0.489; e ^0.489 = 1.63

Constructor de habilidades ES2

¿De qué número es cada valor el logaritmo natural?

1. 2.87
2. 0.030
3. −1.39

Solución:

1. ln x = 2.87; x = e ^2.87 = 17.6 = 18 a dos cifras significativas
2. ln x = 0.030; x = e ^0.030 = 1.03 = 1.0 a dos cifras significativas
3. ln x = −1.39; x = e ^−1.39 = 0.249 = 0.25

Cálculos con logaritmos naturales

Al igual que los logaritmos comunes, los logaritmos naturales utilizan las propiedades de los exponentes. Podemos comparar las propiedades de logaritmos comunes y naturales:

Operación	Forma exponencial	Logaritmo
Multiplicación	(10 ^a) (10 ^b) = 10 ^a ^+ ^b	log (ab) = log a + log b
	(e ^x) (e ^y) = e ^x ^+ ^y	ln (e ^x e ^y) = ln (e ^x) + ln (e ^y) = x + y
División	\[ \dfrac{10^{a}}{10^{b}}=10^{a-b} \notag \] \[ \dfrac{e^{a}}{e^{b}}=e^{a-b} \notag \]	\[ log \left (\dfrac{a}{b} \right )=log \; a - log \; b \notag \] \[ ln \left (\dfrac{x}{y} \right )=ln \; x - ln \; y \notag \] \[ ln \left (\dfrac{e^{x}}{e^{y}} \right )=ln\left ( e^{x} \right )-ln\left ( e^{y} \right ) = x-y \notag \]
Inverso		\[ log \left (\dfrac{1}{a} \right )=-log\left ( a \right ) \notag \] \[ ln \left (\dfrac{1}{x} \right )=-ln\left ( x \right ) \notag \]

El número de cifras significativas en un número es el mismo que el número de dígitos después del punto decimal en su logaritmo. Por ejemplo, el logaritmo natural de 18.45 es 2.9151, lo que significa que e ^2.9151 es igual a 18.45.

Constructor de habilidades ES3

Calcular el logaritmo natural de cada número.

1. 22 × 18.6
2. \( \dfrac{0.51}{2.67} \notag \)
3. 0.079 × 1.485
4. \( \dfrac{20.5}{0.026} \notag \)

Solución:

1. ln (22 × 18.6) = ln (22) + ln (18.6) = 3.09 + 2.923 = 6.01. Alternativamente, 22 × 18.6 = 410; ln (410) = 6.02.
2. \( ln\left ( \dfrac{0.51}{2.67} \right )=ln\left ( 0.51 \right )-ln\left ( 2.67 \right )=-0.67-0.982=-1.65 \notag \)ln (0.19) = −1.66.
3. ln (0.079 × 1.485) = ln (0.079) + ln (1.485) = −2.54 + 0.395 = −2.15. Alternativamente, 0.079 × 1.485 = 0.12; ln (0.12) = −2.12.
4. \( ln\left ( \dfrac{20.5}{0.026} \right )=ln\left ( 20.5 \right )-ln\left ( 0.026 \right )=3.0204-\left (-3.65 \right )=6.67 \notag \)ln (790) = 6.67.

Las respuestas obtenidas utilizando los dos métodos pueden diferir ligeramente debido a errores de redondeo.

Constructor de habilidades ES4

Calcular el logaritmo natural de cada número.

1. 34 × 16.5
2. 2.10/0.052
3. 0.402 × 3.930
4. 0.164/10.7

Solución:

1. 6.33
2. 3.70
3. 0.457
4. −4.178

Colaboradores

• Anonymous