15.7: Habilidades Esenciales 7

Objetivos de aprendizaje

• La fórmula cuadrática

Las secciones anteriores de Habilidades Esenciales introdujeron muchas de las operaciones matemáticas que necesitas para resolver problemas químicos. Ahora introducimos la fórmula cuadrática, una relación matemática que involucra sumas de poderes en una sola variable que necesitarás aplicar para resolver algunos de los problemas de este capítulo.

La fórmula cuadrática

Las expresiones matemáticas que involucran una suma de potencias en una o más variables (por ejemplo, x) multiplicadas por coeficientes (como a) se denominan polinomios. Los polinomios de una sola variable tienen la forma general

\[a_nx^n + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0 \tag{15.7.1} \]

La potencia más alta a la que se eleva la variable en un polinomio se llama su orden. Así, el polinomio que se muestra aquí es del orden n. Por ejemplo, si n fuera 3, el polinomio sería de tercer orden.

Una ecuación cuadrática es una ecuación polinómica de segundo orden en una sola variable x:

\[ax^2 + bx + c = 0 \tag{15.7.2} \]

Según el teorema fundamental del álgebra, una ecuación polinómica de segundo orden tiene dos soluciones —llamadas raíces — que se pueden encontrar usando un método llamado completar el cuadrado. En este método, resolvemos para x agregando primero − c a ambos lados de la ecuación cuadrática y luego dividimos ambos lados por a:

\[x^2+\dfrac{bx}{a} =−\dfrac{c}{a} \tag{15.7.3} \]

Podemos convertir el lado izquierdo de esta ecuación en un cuadrado perfecto sumando b ² /4 a ², que es igual a (b /2 a) ²:

Lado izquierdo:\[x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}=(x+\dfrac{b}{2a})^2 \tag{15.7.4} \]

Habiendo agregado un valor al lado izquierdo, ahora debemos agregar ese mismo valor, b ² ⁄ 4a ², al lado derecho:

\[(x+\dfrac{b}{2a})^2=−\dfrac{c}{a}+\dfrac{b^2}{4a^2} \tag{15.7.5} \]

El denominador común del lado derecho es de 4 a ². Reordenando el lado derecho, obtenemos lo siguiente:

\[(x+\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2−4ac}{4a^2} \tag{15.7.6} \]

Tomando la raíz cuadrada de ambos lados y resolviendo x,

\[x+\dfrac{b}{2a}= \dfrac{\pm \sqrt{b^2−4ac}}{2a} \tag{15.7.7} \]

\[x= \dfrac{−b \pm \sqrt{b^2−4ac}}{2a} \tag{15.7.8} \]

Esta ecuación, conocida como la fórmula cuadrática, tiene dos raíces:

\[x= \dfrac{−b + \sqrt{b^2−4ac}}{2a} \tag{15.7.9} \]

y

\[x= \dfrac{−b - \sqrt{b^2−4ac}}{2a} \tag{15.7.10} \]

Así podemos obtener las soluciones a una ecuación cuadrática sustituyendo los valores de los coeficientes (a, b, c) en la fórmula cuadrática.

Cuando aplicas la fórmula cuadrática para obtener soluciones a una ecuación cuadrática, es importante recordar que una de las dos soluciones puede no tener sentido o ninguna puede tener sentido. Puede haber momentos, por ejemplo, en que una solución negativa no sea razonable o cuando ambas soluciones requieran que se tome una raíz cuadrada de un número negativo. En tales casos, simplemente descartamos cualquier solución que no sea razonable y solo reportamos una solución que sea razonable. Skill Builder ES1 te da práctica usando la fórmula cuadrática.

Constructor de habilidades ES1

Usa la fórmula cuadrática para resolver x en cada ecuación. Reporta tus respuestas a tres cifras significativas.

1. x ² + 8 x − 5 = 0
2. 2 x ² − 6 x + 3 = 0
3. 3 x ² − 5 x − 4 = 6
4. 2 x (− x + 2) + 1 = 0
5. 3 x (2 x + 1) − 4 = 5

Solución:

1. \(9x=−8+82−4(1)(−5)√2(1)=0.583\)y\(x=−8−82−4(1)(−5)√2(1)=−8.58\)
2. \(x=−(−6)+(−62)−4(2)(3)√2(2)=2.37\)y\(x=−(−6)−(−62)−4(2)(3)√2(2)=0.634\)
3. \(x=−(−5)+(−52)−4(3)(−10)√2(3)=2.84\)y\(x=−(−5)−(−52)−4(3)(−10)√2(3)=−1.17\)
4. \(x=−4+42−4(−2)(1)√2(−2)=−0.225\)y\(x=−4−42−4(−2)(1)√2((−2))=2.22\)
5. \(x=−1+12−4(2)(−3)√2(2)=1.00\)y\(x=−1−12−4(2)(−3)√2(2)=1.50\)

Colaboradores

• Anonymous

Modificado por Joshua B. Halpern