21.3: Desintegración radiactiva

Objetivos de aprendizaje

• Reconocer modos comunes de desintegración radiactiva
• Identificar partículas y energías comunes involucradas en reacciones de desintegración nuclear
• Escribir y equilibrar ecuaciones de desintegración nuclear
• Calcular parámetros cinéticos para procesos de descomposición, incluida la vida media
• Describir técnicas comunes de datación radiométrica

Tras el descubrimiento algo fortuito de la radiactividad por Becquerel, muchos científicos destacados comenzaron a investigar este nuevo e intrigante fenómeno. Entre ellas se encontraban Marie Curie (la primera mujer en ganar un Premio Nobel, y la única persona en ganar dos Premios Nobel en diferentes ciencias: química y física), quien fue la primera en acuñar el término “radiactividad”, y Ernest Rutherford (de fama de experimento de lámina de oro), quien investigó y nombró a tres de los más comunes tipos de radiación. A principios del siglo XX se descubrieron muchas sustancias radiactivas, se investigaron y cuantificaron las propiedades de la radiación y se desarrolló una sólida comprensión de la radiación y la desintegración nuclear.

El cambio espontáneo de un nucleido inestable a otro es la desintegración radiactiva. El nucleido inestable se llama el nucleido padre; el nucleido que resulta de la decadencia se conoce como el nucleido hijo. El nucleido hijo puede ser estable, o puede decaer por sí mismo. La radiación producida durante la desintegración radiactiva es tal que el núclido hijo se encuentra más cerca de la banda de estabilidad que el núclido progenitor, por lo que la ubicación de un núclido con relación a la banda de estabilidad puede servir de guía para el tipo de descomposición que sufrirá (Figura\(\PageIndex{1}\)).

Figura\(\PageIndex{1}\): Un núcleo de uranio-238 (el nucleido progenitor) sufre una desintegración α para formar torio-234 (el nucleido hijo). La partícula alfa elimina dos protones (verde) y dos neutrones (grises) del núcleo de uranio-238.

Un diagrama muestra dos esferas compuestas por muchas esferas blancas y verdes más pequeñas conectadas por una flecha orientada hacia la derecha con otra flecha hacia abajo que sale de ella. La esfera izquierda, etiquetada como “Núcleo padre uranio guión 238” tiene dos esferas blancas y dos verdes que están cerca una de la otra y están delineadas en rojo. Estas dos esferas verdes y dos blancas se muestran cerca de la punta de la flecha hacia abajo y etiquetadas como “partícula alfa”. La esfera derecha, etiquetada como “Núcleo hija radón guión 234”, se ve igual que la izquierda, pero tiene un espacio para cuatro esferas más pequeñas delineadas con una línea punteada roja.

Aunque la desintegración radiactiva de un núcleo es demasiado pequeña para verla a simple vista, podemos ver indirectamente la desintegración radiactiva en un ambiente llamado cámara de nubes. Da clic aquí para conocer las cámaras de nubes y ver una interesante Demostración de Cámara Nube del Jefferson Lab.

Video\(\PageIndex{1}\): ¡Cómo construir una cámara de nubes!

Tipos de desintegración radiactiva

Los experimentos de Ernest Rutherford que involucraron la interacción de la radiación con un campo magnético o eléctrico (Figura\(\PageIndex{2}\)) le ayudaron a determinar que un tipo de radiación consistía en\(α\) partículas cargadas positivamente y relativamente masivas; un segundo tipo estaba compuesto por carga negativa y mucho menos \(β\)partículas masivas; y un tercero fue ondas electromagnéticas sin carga,\(γ\) rayos. Ahora sabemos que\(α\) las partículas son núcleos de helio de alta energía,\(β\) las partículas son electrones de alta energía y la\(γ\) radiación compone radiación electromagnética de alta energía. Clasificamos diferentes tipos de desintegración radiactiva por la radiación producida.

Figura\(\PageIndex{2}\): Las partículas alfa, que son atraídas hacia la placa negativa y desviadas en una cantidad relativamente pequeña, deben estar cargadas positivamente y relativamente masivas. Las partículas beta, que son atraídas hacia la placa positiva y desviadas una cantidad relativamente grande, deben estar cargadas negativamente y relativamente ligeras. Los rayos gamma, que no se ven afectados por el campo eléctrico, deben estar sin carga.

Se muestra un diagrama. Un cuadro gris en el lado izquierdo del diagrama etiquetado como “Bloque de plomo” tiene una cámara ahuecada en el centro en la que se coloca una muestra etiquetada como “Sustancia radiactiva”. Un haz azul viene de la muestra, fuera del bloque, y pasa a través de dos placas colocadas horizontalmente que están etiquetadas como “Placas cargadas eléctricamente”. La placa superior está etiquetada con un signo positivo mientras que la placa inferior está etiquetada con un signo negativo. Se muestra que el haz se rompe en tres haces a medida que pasa entre las placas; en orden de arriba a abajo, son rojos, etiquetados como “rayos beta”, púrpura etiquetados como “rayos gamma” y verdes etiquetados como “rayos alfa”. Las vigas se muestran para golpear una placa vertical etiquetada como “Placa fotográfica” en el extremo derecho del diagrama.

Alfa (\(α\)) decayes la emisión de una partícula α desde el núcleo. Por ejemplo, el polonio-210 sufre una desintegración α:

\[\ce{^{210}_{84}Po⟶ ^4_2He + ^{206}_{82}Pb} \hspace{40px}\ce{or}\hspace{40px} \ce{^{210}_{84}Po ⟶ ^4_2α + ^{206}_{82}Pb}\nonumber \]

La desintegración alfa ocurre principalmente en núcleos pesados (A > 200, Z > 83). Debido a que la pérdida de una partícula α da un nucleido hijo con un número de masa cuatro unidades más pequeño y un número atómico dos unidades más pequeñas que las del nucleido padre, el nucleido hijo tiene una relación n:p mayor que el nucleido padre. Si el nucleido progenitor que sufre decaimiento α se encuentra por debajo de la banda de estabilidad, el nucleido hijo estará más cerca de la banda.

La desintegración beta (β) es la emisión de un electrón desde un núcleo. El yodo-131 es un ejemplo de un nucleido que sufre una desintegración β:

\[\ce{^{131}_{53}I ⟶ ^0_{-1}e + ^{131}_{54}X} \hspace{40px}\ce{or}\hspace{40px} \ce{^{131}_{53}I ⟶ ^0_{-1}β + ^{131}_{54}Xe}\nonumber \]

La desintegración beta, que puede considerarse como la conversión de un neutrón en protón y una partícula β, se observa en nucleidos con una gran relación n:p. La partícula beta (electrón) emitida es del núcleo atómico y no es uno de los electrones que rodean el núcleo. Dichos núcleos se encuentran por encima de la banda de estabilidad. La emisión de un electrón no cambia el número de masa del nucleido pero sí aumenta el número de sus protones y disminuye el número de sus neutrones. En consecuencia, la relación n:p disminuye, y el nucleido hijo se encuentra más cerca de la banda de estabilidad que el nucleido progenitor.

La emisión gamma (emisión γ) se observa cuando se forma un nucleido en estado excitado y luego decae a su estado fundamental con la emisión de un rayo γ, un cuántico de radiación electromagnética de alta energía. La presencia de un núcleo en estado excitado a menudo se indica con un asterisco (*). El cobalto-60 emite radiación γ y se utiliza en muchas aplicaciones, incluyendo el tratamiento del cáncer:

\[\mathrm{^{60}_{27}Co^* ⟶\, ^0_0γ +\, ^{60}_{27}Co}\nonumber \]

No hay cambio en el número de masa o número atómico durante la emisión de un rayo γ a menos que la emisión γ acompañe a uno de los otros modos de decaimiento.

El ion positrón emiss (\(β^+\)decaimiento) es la emisión de un positrón desde el núcleo. Oxígeno-15 es un ejemplo de un nucleido que sufre emisión de positrones:

\[\ce{^{15}_8O ⟶ ^0_{+1}e + ^{15}_7N} \hspace{40px}\ce{or}\hspace{40px} \ce{^{15}_8O ⟶ ^0_{+1}β + ^{15}_7N}\nonumber \]

La emisión de positrones se observa para nucleidos en los que la relación n:p es baja. Estos nucleidos se encuentran por debajo de la banda de estabilidad. La desintegración de positrones es la conversión de un protón en un neutrón con la emisión de un positrón. La relación n:p aumenta, y el nucleido hijo se encuentra más cerca de la banda de estabilidad que el nucleido padre.

La captura de electrones ocurre cuando uno de los electrones internos de un átomo es capturado por el núcleo del átomo. Por ejemplo, el potasio-40 se somete a captura de electrones:

\[\ce{^{40}_{19}K + ^0_{-1}e ⟶ ^{40}_{18}Ar}\nonumber \]

La captura de electrones ocurre cuando un electrón de capa interna se combina con un protón y se convierte en un neutrón. La pérdida de un electrón de capa interna deja una vacante que será llenada por uno de los electrones externos. A medida que el electrón exterior cae en la vacante, emitirá energía. En la mayoría de los casos, la energía emitida será en forma de rayos X. Al igual que la emisión de positrones, la captura de electrones ocurre para núcleos “ricos en protones” que se encuentran por debajo de la banda de estabilidad. La captura de electrones tiene el mismo efecto en el núcleo que la emisión de positrones: El número atómico disminuye en uno y el número de masa no cambia. Esto aumenta la relación n:p, y el nucleido hijo se encuentra más cerca de la banda de estabilidad que el nucleido padre. Es difícil predecir si se produce la captura de electrones o la emisión de positrones. La elección se debe principalmente a factores cinéticos, siendo el que requiere la energía de activación más pequeña el que tiene más probabilidades de ocurrir. La figura\(\PageIndex{3}\) resume estos tipos de decaimiento, junto con sus ecuaciones y cambios en los números atómicos y másticos.

Figura\(\PageIndex{3}\): Esta tabla resume el tipo, la ecuación nuclear, la representación y cualquier cambio en la masa o los números atómicos para diversos tipos de desintegración.

Esta tabla tiene cuatro columnas y seis filas. La primera fila es una fila de encabezado y etiqueta a cada columna: “Tipo”, “Ecuación nuclear”, “Representación” y “Cambio en la masa/números atómicos”. Bajo la columna “Tipo” se encuentran los siguientes: “Decaimiento Alfa”, “Decaimiento Beta”, “Decaimiento Gamma”, “Emisión de positrones” y “Captura de electrones”. Bajo la columna “Ecuación nuclear” hay varias ecuaciones. Cada uno comienza con el superíndice A apilado sobre el subíndice Z X. Hay una gran brecha de espacio y luego las siguientes ecuaciones: “superíndice 4 apilado sobre el subíndice 2 He más superíndice A menos 4 apilado sobre el subíndice Z menos 2 Y”, “superíndice 0 apilado sobre subíndice negativo 1 e más superíndice A apilado sobre subíndice Z más 1 Y”, “superíndice 0 apilado sobre el subíndice 0 gamma minúscula más superíndice A apilado sobre el subíndice Z Y”, “superíndice 0 apilado sobre subíndice positivo 1 e más superíndice A apilado sobre el subíndice Y menos 1 Y” y “superíndice 0 apilado sobre subíndice negativo 1 e más superíndice A apilados sobre el subíndice Y menos 1 Y.” Bajo la columna “Representación” se encuentran los cinco diagramas. El primero muestra un cúmulo de esferas verdes y blancas. Se esboza una sección del racimo que contiene dos esferas blancas y dos verdes. Hay una flecha orientada hacia la derecha que apunta a un clúster similar al descrito anteriormente, pero falta la sección delineada. De la flecha otra flecha se ramifica y apunta hacia abajo. El pequeño racimo a dos esferas blancas y dos esferas verdes aparecen al final de la flecha. El siguiente diagrama muestra el mismo cúmulo de esferas blancas y verdes. Se esboza una esfera blanca. Hay una flecha orientada hacia la derecha a un cúmulo similar, pero falta la esfera blanca. Otra flecha se ramifica de la flecha principal y al final aparece una esfera roja con un signo negativo. El siguiente diagrama muestra el mismo cúmulo de esferas blancas y verdes. Toda la esfera está delineada y etiquetada como “estado nuclear excitado”. Hay una flecha orientada hacia la derecha que apunta al mismo cúmulo. No faltan esferas. Fuera de la flecha principal hay otra flecha que apunta a una flecha de garabato púrpura que a su vez apunta a una gamma minúscula. El siguiente diagrama muestra el mismo cúmulo de esferas blancas y verdes. Se esboza una esfera verde. Hay una flecha orientada hacia la derecha a un cúmulo similar, pero falta la esfera verde. Otra flecha se ramifica de la flecha principal y al final aparece una esfera roja con un signo positivo. El siguiente diagrama muestra el mismo cúmulo de esferas blancas y verdes. Se esboza una esfera verde. Hay una flecha orientada hacia la derecha a un cúmulo similar, pero falta la esfera verde. Otras dos flechas se ramifican de la flecha principal. El primero muestra una esfera dorada con un signo negativo uniéndose con la flecha orientada hacia la derecha. El secon apunta a una flecha de garabato azul etiquetada como “rayos X”. Bajo la columna “Cambio en masa/números atómicos” se encuentran los siguientes: “A: disminución en 4, Z: disminución en 2”, “A: sin cambios, Z: aumentado en 1”, “A: sin cambios, Z: sin cambios”, “A: sin cambios”, “A: sin cambios”, “A: sin cambios, Z: disminución en 1” y “A: sin cambios, Z: disminución en 1”.

Escaneo PET

Las tomografías por emisión de positrones (PET) utilizan radiación para diagnosticar y rastrear afecciones de salud y monitorear los tratamientos médicos al revelar cómo funcionan las partes del cuerpo de un paciente (Figura\(\PageIndex{4}\)). Para realizar una exploración por PET, se produce un radioisótopo emisor de positrones en un ciclotrón y luego se une a una sustancia que es utilizada por la parte del cuerpo que se investiga. Este compuesto “etiquetado”, o radiotrazador, se introduce luego en el paciente (inyectado vía IV o se respira como un gas), y cómo es utilizado por el tejido revela cómo funciona ese órgano u otra área del cuerpo.

Figura\(\PageIndex{4}\): Un escáner PET (a) utiliza radiación para proporcionar una imagen de cómo funciona parte del cuerpo de un paciente. Las exploraciones que produce pueden usarse para obtener imágenes de un cerebro sano (b) o pueden usarse para diagnosticar afecciones médicas como la enfermedad de Alzheimer (c). (crédito a: modificación de obra de Jens Maus)

Se muestran tres imágenes etiquetadas con “a”, “b” y “c”. La imagen a muestra una máquina con una abertura redonda conectada a una mesa de examen. La imagen b es una exploración médica de la parte superior de la cabeza de una persona y muestra grandes manchas de color amarillo y rojo y manchas más pequeñas de resaltado azul, verde y morado. La imagen c también muestra un escaneo médico de la parte superior de la cabeza de una persona, pero esta imagen es mayormente coloreada en azul y morado con manchas muy pequeñas de rojo y amarillo.

Por ejemplo, F-18 es producido por bombardeo de protones de ¹⁸ O\( (\ce{^{18}_8O + ^1_1p⟶ ^{18}_9F + ^1_0n})\) e incorporado a un análogo de glucosa llamado fludesoxiglucosa (FDG). La forma en que el cuerpo usa FDG proporciona información diagnóstica crítica; por ejemplo, dado que los cánceres usan la glucosa de manera diferente a los tejidos normales, FDG puede revelar cánceres. El ¹⁸ F emite positrones que interactúan con electrones cercanos, produciendo una ráfaga de radiación gamma. Esta energía es detectada por el escáner y convertida en una imagen detallada, tridimensional, a color que muestra cómo funciona esa parte del cuerpo del paciente. Diferentes niveles de radiación gamma producen diferentes cantidades de brillo y colores en la imagen, que luego pueden ser interpretados por un radiólogo para revelar lo que está sucediendo. Las TEP pueden detectar daño cardíaco y enfermedades cardíacas, ayudar a diagnosticar la enfermedad de Alzheimer, indicar la parte de un cerebro que se ve afectada por la epilepsia, revelar cáncer, mostrar en qué etapa se encuentra y cuánto se ha diseminado, y si los tratamientos son efectivos. A diferencia de las imágenes por resonancia magnética y los rayos X, que solo muestran cómo se ve algo, la gran ventaja de las exploraciones PET es que muestran cómo funciona algo. Las exploraciones por TEP ahora generalmente se realizan junto con una tomografía computarizada.

Serie de desintegración radiactiva

Los isótopos radiactivos naturales de los elementos más pesados caen en cadenas de desintegraciones sucesivas., o decae, y todas las especies en una cadena constituyen una familia radiactiva, o serie de desintegración radiactiva. Tres de estas series incluyen la mayoría de los elementos radiactivos naturalmente de la tabla periódica. Son la serie de uranio, la serie de actínidos y la serie de torio. La serie neptunium es una cuarta serie, que ya no es significativa en la tierra debido a la corta vida media de las especies involucradas. Cada serie se caracteriza por un padre (primer miembro) que tiene una vida media larga y una serie de nucleidos hijos que finalmente conducen a un producto final estable, es decir, un nucleido en la banda de estabilidad (Figura\(\PageIndex{5}\)). En las tres series, el producto final es un isótopo estable de plomo. La serie de neptunio, previamente pensada para terminar con bismuto-209, termina con talio-205.

Figura\(\PageIndex{5}\): El uranio-238 sufre una serie de desintegración radiactiva que consta de 14 etapas separadas antes de producir plomo estable 206. Esta serie consta de ocho\(α\) decae y seis\(β\) decae.

Se muestra una gráfica donde el eje x está etiquetado como “Número de neutrones, paréntesis abierto, n, paréntesis cerrado” y tiene valores de 122 a 148 en incrementos de 2. El eje y está etiquetado como “Número atómico” y tiene valores de 80 a 92 en incrementos de 1. En esta gráfica se utilizan dos tipos de flechas para conectar los puntos. Las flechas verdes se etiquetan como “desintegración alfa” mientras que las flechas rojas se etiquetan como “desintegración beta”. Comenzando en el punto “92, 146” que está etiquetado como “superíndice 238, U”, una flecha verde conecta este punto con el segundo punto “90, 144” que está etiquetado como “superíndice 234, T h”. Una flecha roja conecta esto al tercer punto “91, 143” que está etiquetado como “superíndice 234, P a” que está conectado al cuarto punto “92, 142” por una flecha roja y que está etiquetado como “superíndice 234, U.” Una flecha verde conduce al siguiente punto, “90, 140” el cual está etiquetado como “superíndice 230, T h” y está conectado por una flecha verde al sexto punto, “88, 138” el cual está etiquetado como “superíndice 226, R a” que a su vez está conectado por una flecha verde al séptimo punto “86, 136” que está etiquetado como “superíndice 222, Ra”. El octavo punto, en “84, 134” se etiqueta como “superíndice 218, P o” y tiene flechas verdes que conducen a él y alejándose de él hasta el noveno punto “82, 132” que se etiqueta como “superíndice 214, Pb” que está conectado por una flecha roja al décimo punto, “83, 131” que está etiquetado como “superíndice 214, B i”. Una flecha roja conduce al undécimo punto “84, 130” que está etiquetado como “superíndice 214, P o” y una flecha verde conduce al punto doceavo “82, 128” que está etiquetado como “superíndice 210, P b”. Una flecha roja conduce al decimotercer punto “83, 127” que está etiquetado como “superíndice 210, B i” y una flecha roja conduce al decimocuarto punto “84, 126” que está etiquetado como “superíndice 210, P o”. El punto final está etiquetado como “82, 124” y “superíndice 206, P b”.

Semividas radiactivas

La desintegración radiactiva sigue la cinética de primer orden. Dado que las reacciones de primer orden ya se han cubierto en detalle en el capítulo de cinética, ahora aplicaremos esos conceptos a las reacciones de desintegración nuclear. Cada nucleido radiactivo tiene una vida media característica constante (t _1/2), el tiempo requerido para que la mitad de los átomos en una muestra se descomponga. La vida media de un isótopo nos permite determinar cuánto tiempo estará disponible una muestra de un isótopo útil y cuánto tiempo debe almacenarse una muestra de un isótopo indeseable o peligroso antes de que descomponga a un nivel de radiación lo suficientemente bajo que ya no es un problema.

Por ejemplo, el cobalto-60, isótopo que emite rayos gamma utilizados para tratar el cáncer, tiene una vida media de 5.27 años (Figura\(\PageIndex{6}\)). En una fuente dada de cobalto-60, dado que la mitad de los\(\ce{^{60}_{27}Co}\) núcleos se descomponen cada 5.27 años, tanto la cantidad de material como la intensidad de la radiación emitida se cortan a la mitad cada 5.27 años. (Obsérvese que para una sustancia dada, la intensidad de radiación que produce es directamente proporcional a la tasa de descomposición de la sustancia y la cantidad de la sustancia.) Esto es como se esperaba para un proceso que sigue la cinética de primer orden. Por lo tanto, una fuente de cobalto-60 que se utiliza para el tratamiento del cáncer debe ser reemplazada regularmente para seguir siendo efectiva.

Figura\(\PageIndex{6}\): Para el cobalto-60, que tiene una vida media de 5.27 años, 50% permanece después de 5.27 años (una vida media), 25% permanece después de 10.54 años (dos semividas), 12.5% permanece después de 15.81 años (tres semividas), y así sucesivamente.

Se muestra una gráfica, titulada “C o guión 60 Decay”, donde el eje x se etiqueta como “C o guión 60 restante, paréntesis abierta, signo de porcentaje, paréntesis cerrada” y tiene valores de 0 a 100 en incrementos de 25. El eje y está etiquetado como “Número de vidas de medio guión” y tiene valores de 0 a 5 en incrementos de 1. El primer punto, en “0, 100” tiene un círculo lleno de pequeños puntos dibujados cerca de él con la etiqueta “10 g”. El segundo punto, en “1, 50” tiene un círculo más pequeño lleno de pequeños puntos dibujados cerca de él etiquetado como “5 g”. El tercer punto, en “2, 25” tiene un pequeño círculo lleno de pequeños puntos dibujados cerca de él con la etiqueta “2.5 g”. El cuarto punto, en “3, 12.5” tiene un círculo muy pequeño lleno de pequeños puntos dibujados cerca de él etiquetado como “1.25 g”. El último punto, en “4, 6.35” tiene un círculo minúsculo lleno de pequeños puntos dibujados cerca de él etiquetado.” 625 g.”

Dado que la desintegración nuclear sigue una cinética de primer orden, podemos adaptar las relaciones matemáticas utilizadas para las reacciones químicas de primer orden. Generalmente sustituimos el número de núcleos, N, por la concentración. Si la tasa se expresa en desintegraciones nucleares por segundo, nos referimos a ella como la actividad de la muestra radiactiva. La tasa de desintegración radiactiva es:

\[\text{decay rate} = \lambda N\nonumber \]

con\(\lambda\) es la constante de desintegración para el radioisótopo particular.

La constante de decaimiento\(\lambda\), que es la misma que una constante de velocidad discutida en el capítulo de cinética. Es posible expresar la constante de decaimiento en términos de la vida media, t _1/2:

\[λ=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}=\dfrac{0.693}{t_{1/2}} \hspace{40px}\ce{or}\hspace{40px} t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{λ}=\dfrac{0.693}{λ}\nonumber \]

Las ecuaciones de primer orden que relacionan cantidad, N y tiempo son:

\[N_t=N_0e^{−kt} \hspace{40px}\ce{or}\hspace{40px} t=−\dfrac{1}{λ}\ln\left(\dfrac{N_t}{N_0}\right)\nonumber \]

donde N ₀ es el número inicial de núcleos o moles del isótopo, y N _t es el número de núcleos/moles que quedan en el tiempo t. Ejemplo\(\PageIndex{1}\) aplica estos cálculos para encontrar las tasas de desintegración radiactiva para nucleidos específicos.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Rates of Radioactive Decay

\(\ce{^{60}_{27}Co}\)decae con una vida media de 5.27 años para producir\(\ce{^{60}_{28}Ni}\).

1. ¿Cuál es la constante de desintegración para la desintegración radiactiva del cobalto-60?
2. Calcular la fracción de una muestra del\(\ce{^{60}_{27}Co}\) isótopo que quedará después de 15 años.
3. ¿Cuánto tiempo tarda una muestra de\(\ce{^{60}_{27}Co}\) en desintegrarse en la medida en que sólo queda 2.0% de la cantidad original?

Solución

a) El valor de la constante de tasa viene dado por:

\[λ=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}=\mathrm{\dfrac{0.693}{5.27\:y}=0.132\:y^{−1}} \nonumber \]

b) La fracción de\(\ce{^{60}_{27}Co}\) eso queda después de que el tiempo t sea dado por\(\dfrac{N_t}{N_0}\). Reorganizar la relación de primer orden N _t = N ₀ e ^{— λt} para resolver para esta relación rinde:

\[\dfrac{N_t}{N_0}=e^{-λt}=e^\mathrm{-(0.132/y)(15.0/y)}=0.138 \nonumber \]

La fracción de\(\ce{^{60}_{27}Co}\) eso se mantendrá después de 15.0 años es 0.138. O dicho de otra manera, 13.8% de los\(\ce{^{60}_{27}Co}\) originalmente presentes quedarán después de 15 años.

(c) 2.00% de la cantidad original de\(\ce{^{60}_{27}Co}\) es igual a 0.0200 × N ₀. Sustituyendo esto en la ecuación por tiempo para la cinética de primer orden, tenemos:

\[t=−\dfrac{1}{λ}\ln\left(\dfrac{N_t}{N_0}\right)=−\dfrac{1}{0.132\:\ce y^{−1}}\ln\left(\dfrac{0.0200×N_0}{N_0}\right)=29.6\:\ce y \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

El radón-222,\(\ce{^{222}_{86}Rn}\), tiene una vida media de 3.823 días. ¿Cuánto tiempo tardará una muestra de radón-222 con una masa de 0.750 g para descomponerse en otros elementos, dejando solo 0.100 g de radón-222?

Responder

11.1 días

Debido a que cada nucleido tiene un número específico de nucleones, un equilibrio particular de repulsión y atracción, y su propio grado de estabilidad, las vidas medias de los nucleidos radiactivos varían ampliamente. Por ejemplo: la vida media de\(\ce{^{209}_{83}Bi}\) es 1.9 × 10 ¹⁹ años;\(\ce{^{239}_{94}Ra}\) es 24,000 años;\(\ce{^{222}_{86}Rn}\) es 3.82 días; y elemente-111 (Rg para roentgenium) es 1.5 × 10 ^—3 segundos. Las vidas medias de una serie de isótopos radiactivos importantes para la medicina se muestran en la Tabla\(\PageIndex{1}\), y otros se enumeran en el Apéndice N1.

Tabla\(\PageIndex{1}\): Vida media de isótopos radiactivos importantes para la medicina

Tipo	Modo Decaimiento	Vida media	Usos
F-18	β ^+ decaimiento	110. minutos	Escaneos PET
Co-60	β decaimiento, γ decaimiento	5.27 años	tratamiento del cáncer
Tc-99m ^1	decaimiento γ	8.01 horas	exploraciones de cerebro, pulmón, corazón, hueso
I-131	β decaimiento	8.02 días	exploraciones tiroideas y tratamiento
Tl-201	captura de electrones	73 horas	exploraciones cardíacas y arteriales; pruebas de esfuerzo cardíaco
La “m” en Tc-99m significa “metaestable”, lo que indica que se trata de un estado inestable y de alta energía de Tc-99. Los isótopos metaestables emiten\(γ\) radiación para deshacerse del exceso de energía y volverse (más) estables.

Datación radiométrica

Varios radioisótopos tienen semividas y otras propiedades que los hacen útiles con fines de “fechar” el origen de objetos como artefactos arqueológicos, anteriormente organismos vivos o formaciones geológicas. Este proceso es radiométrico y ha sido responsable de muchos descubrimientos científicos innovadores sobre la historia geológica de la tierra, la evolución de la vida y la historia de la civilización humana. Exploraremos algunos de los tipos más comunes de datación radiactiva y cómo funcionan los isótopos particulares para cada tipo.

Datación radiactiva usando carbono-14

La radiactividad del carbono-14 proporciona un método para fechar objetos que formaban parte de un organismo vivo. Este método de datación radiométrica, que también se llama datación por radiocarbono o datación por carbono-14, es preciso para fechar sustancias que contienen carbono que tienen hasta aproximadamente 30,000 años de antigüedad, y puede proporcionar fechas razonablemente precisas hasta un máximo de aproximadamente 50,000 años de antigüedad.

El carbono natural consta de tres isótopos:\(\ce{^{12}_6C}\), que constituye aproximadamente 99% del carbono en la tierra;\(\ce{^{13}_6C}\), aproximadamente 1% del total; y trazas de\(\ce{^{14}_6C}\). El carbono-14 se forma en la atmósfera superior por la reacción de los átomos de nitrógeno con los neutrones de los rayos cósmicos en el espacio:

\[\ce{^{14}_7N + ^1_0n⟶ ^{14}_6C + ^1_1H}\nonumber \]

Todos los isótopos de carbono reaccionan con el oxígeno para producir moléculas de CO ₂. La relación de\(\ce{^{14}_6CO2}\) a\(\ce{^{12}_6CO2}\) depende de la relación de\(\ce{^{14}_6CO}\) a\(\ce{^{12}_6CO}\) en la atmósfera. La abundancia natural\(\ce{^{14}_6CO}\) en la atmósfera es de aproximadamente 1 parte por billón; hasta hace poco, esto ha sido generalmente constante a lo largo del tiempo, ya que se ven muestras de gas que se encuentran atrapadas en el hielo. La incorporación de\(\ce{^{14}_6C ^{14}_6CO2}\) y\(\ce{^{12}_6CO2}\) dentro de las plantas es una parte regular del proceso de fotosíntesis, lo que significa que la\(\ce{^{14}_6C: ^{12}_6C}\) proporción que se encuentra en una planta viva es la misma que la\(\ce{^{14}_6C: ^{12}_6C}\) proporción en la atmósfera. Pero cuando la planta muere, ya no atrapa carbono a través de la fotosíntesis. Debido a que\(\ce{^{12}_6C}\) es un isótopo estable y no sufre desintegración radiactiva, su concentración en la planta no cambia. Sin embargo, el carbono-14 decae por emisión β con una vida media de 5730 años:

\[\ce{^{14}_6C⟶ ^{14}_7N + ^0_{-1}e}\nonumber \]

Así, la\(\ce{^{14}_6C: ^{12}_6C}\) proporción disminuye gradualmente después de la muerte de la planta. La disminución en la relación con el tiempo proporciona una medida del tiempo que ha transcurrido desde la muerte de la planta (u otro organismo que se comió la planta). La figura representa\(\PageIndex{7}\) visualmente este proceso.

Figura\(\PageIndex{7}\): Junto con el carbono-12 estable, el carbono-14 radiactivo es absorbido por plantas y animales, y permanece a un nivel constante dentro de ellos mientras están vivos. Después de la muerte, el C-14 decae y la relación C-14:C-12 en los restos disminuye. La comparación de esta relación con la relación C-14:C-12 en organismos vivos permite determinar cuánto tiempo hace que el organismo vivió (y murió).

Un diagrama muestra una vaca parada en el suelo junto a un árbol. En la parte superior izquierda del diagrama, donde se representa el cielo, se muestra una sola esfera blanca y está conectada por una flecha orientada hacia abajo a una esfera más grande compuesta por esferas verdes y blancas que está etiquetada como “superíndice 14, subíndice 7, N.” Esta estructura está conectada a otras tres estructuras por una flecha orientada hacia la derecha. Cada una de las tres a las que apunta está compuesta por esferas verdes y blancas y todas tienen flechas apuntando desde ellas al suelo. El primero de ellos está etiquetado como “Traza, superíndice 14, subíndice 6, C”, el segundo está etiquetado como “1 por ciento, superíndice 13, subíndice 6, C” y el último está etiquetado como “99 por ciento, superíndice 12, subíndice 6, C.” Dos flechas orientadas hacia abajo que se funden en una flecha conducen desde la vaca y el árbol hasta el suelo y se etiquetan como “organismo muere” y “superíndice 14, subíndice 6, C, comienza la descomposición”. Una flecha orientada hacia la derecha etiquetada en la parte superior como “Decaimiento” y en la parte inferior como “Tiempo” lleva de esto a una etiqueta de “superíndice 14, subíndice 6, C, barra diagonal, superíndice 12, subíndice 6, C, relación disminuida”. Cerca de la parte superior del árbol hay una flecha orientada hacia abajo con la etiqueta “superíndice 14, subíndice 6, C, barra diagonal, superíndice 12, subíndice 6, C, la relación es constante en los organismos vivos” que conduce a la última de las declaraciones inferiores.

Por ejemplo, con la vida media de\(\ce{^{14}_6C}\) ser de 5730 años, si la\(\ce{^{14}_6C : ^{12}_6C}\) proporción en un objeto de madera que se encuentra en una excavación arqueológica es la mitad de lo que es en un árbol vivo, esto indica que el objeto de madera tiene 5730 años de antigüedad. Se pueden obtener determinaciones de\(\ce{^{14}_6C : ^{12}_6C}\) proporciones de alta precisión a partir de muestras muy pequeñas (tan solo un miligramo) mediante el uso de un espectrómetro de masas.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Radiocarbon Dating

Un pequeño trozo de papel (producido a partir de materia vegetal anteriormente viva) tomado de los Rollos del Mar Muerto tiene una actividad de 10.8 desintegraciones por minuto por gramo de carbono. Si la actividad inicial de C-14 fue de 13.6 desintegraciones/min/g de C, estime la edad de los Rollos del Mar Muerto.

Solución

La tasa de desintegración (número de desintegraciones/minuto/gramo de carbono) es proporcional a la cantidad de C-14 radiactivo que queda en el papel, por lo que podemos sustituir las tasas por las cantidades, N, en la relación:

\[t=−\dfrac{1}{λ}\ln\left(\dfrac{N_t}{N_0}\right)⟶t=−\dfrac{1}{λ}\ln\left(\dfrac{\ce{Rate}_t}{\ce{Rate}_0}\right) \nonumber \]

donde el subíndice 0 representa el tiempo en que se cortaron las plantas para hacer el papel, y el subíndice t representa el tiempo actual.

La constante de decaimiento se puede determinar a partir de la semivida de C-14, 5730 años:

\[λ=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}=\mathrm{\dfrac{0.693}{5730\: y}=1.21×10^{−4}\:y^{−1}} \nonumber \]

Sustituyendo y resolviendo, contamos con:

\[t=−\dfrac{1}{λ}\ln\left(\dfrac{\ce{Rate}_t}{\ce{Rate}_0}\right)=\mathrm{−\dfrac{1}{1.21×10^{−4}\:y^{−1}}\ln\left(\dfrac{10.8\:dis/min/g\: C}{13.6\:dis/min/g\: C}\right)=1910\: y}\nonumber \]

Por lo tanto, los Rollos del Mar Muerto tienen aproximadamente 1900 años de antigüedad (Figura\(\PageIndex{8}\)).

Figura\(\PageIndex{8}\): La datación por carbono-14 ha demostrado que estas páginas de los Rollos del Mar Muerto fueron escritas o copiadas en papel hecho de plantas que murieron entre el 100 a.C y el 50 d.C.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Recientemente se han determinado fechas más precisas de los reinados de los antiguos faraones egipcios utilizando plantas que se conservaron en sus tumbas. Muestras de semillas y materia vegetal de la tumba del rey Tutankamón tienen una tasa de desintegración C-14 de 9.07 desintegraciones/min/g de C. ¿Cuánto tiempo hace que el reinado del rey Tut llegó a su fin?

Responder

hace cerca de 3350 años, o aproximadamente 1340 a.C.

Se han producido algunos cambios significativos y bien documentados en la\(\ce{^{14}_6C : ^{12}_6C}\) relación. La precisión de una aplicación directa de esta técnica depende de que la\(\ce{^{14}_6C : ^{12}_6C}\) proporción en una planta viva sea la misma ahora que en una época anterior, pero esto no siempre es válido. Debido a la creciente acumulación de moléculas de CO ₂ (en gran parte\(\ce{^{12}_6CO2}\)) en la atmósfera causada por la combustión de combustibles fósiles (en los que esencialmente todo el\(\ce{^{14}_6C}\) ha decaído), la relación de\(\ce{^{14}_6C : ^{12}_6C}\) en la atmósfera puede estar cambiando. Este aumento provocado por el hombre\(\ce{^{12}_6CO2}\) en la atmósfera hace que la\(\ce{^{14}_6C : ^{12}_6C}\) proporción disminuya, y esto a su vez afecta la proporción en los organismos actualmente vivos en la tierra. Afortunadamente, sin embargo, podemos utilizar otros datos, como la datación de árboles mediante el examen de anillos de crecimiento anuales, para calcular los factores de corrección. Con estos factores de corrección se pueden determinar fechas exactas. En general, la datación radiactiva solo funciona durante aproximadamente 10 semividas; por lo tanto, el límite para la datación por carbono-14 es de unos 57 mil años.

Datación radiactiva mediante nucleidos distintos del carbono-14

La datación radiactiva también puede utilizar otros nucleidos radiactivos con vidas medias más largas para fechar eventos más antiguos. Por ejemplo, el uranio-238 (que decae en una serie de escalones en plomo-206) se puede utilizar para establecer la edad de las rocas (y la edad aproximada de las rocas más antiguas de la tierra). Dado que el U-238 tiene una vida media de 4.5 mil millones de años, la mitad del U-238 original tarda esa cantidad de tiempo en descomponerse en Pb-206. En una muestra de roca que no contiene cantidades apreciables de Pb-208, el isótopo de plomo más abundante, podemos suponer que el plomo no estaba presente cuando se formó la roca. Por lo tanto, midiendo y analizando la relación de U-238:Pb-206, podemos determinar la edad de la roca. Esto supone que todo el plomo-206 presente vino de la descomposición del uranio-238. Si hay plomo-206 adicional presente, lo que se indica por la presencia de otros isótopos de plomo en la muestra, es necesario hacer un ajuste. Potasio-argón La datación utiliza un método similar. K-40 decae por emisión de positrones y captura de electrones para formar Ar-40 con una vida media de 1.25 mil millones de años. Si se tritura una muestra de roca y se mide la cantidad de gas Ar-40 que escapa, la determinación de la relación Ar-40:K-40 produce la edad de la roca. Otros métodos, como la datación rubidio-estroncio (Rb-87 decae en Sr-87 con una vida media de 48.800 millones de años), operan bajo el mismo principio. Para estimar el límite inferior para la edad de la tierra, los científicos determinan la edad de diversas rocas y minerales, asumiendo que la tierra es más antigua que las rocas y minerales más antiguos de su corteza. A partir de 2014, las rocas más antiguas conocidas en la tierra son los circones Jack Hills de Australia, encontrados por uranio-plomo que datan de casi 4.4 mil millones de años.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Radioactive Dating of Rocks

Una roca ígnea contiene 9.58 × 10 ^—5 g de U-238 y 2.51 × 10 ^—5 g de Pb-206, y cantidades mucho, mucho menores de Pb-208. Determinar el tiempo aproximado en el que se formó la roca.

Solución

La muestra de roca contiene muy poco Pb-208, el isótopo más común de plomo, por lo que podemos suponer con seguridad que todo el Pb-206 en la roca fue producido por la desintegración radiactiva de U-238. Cuando se formó la roca, contenía todo el U-238 actualmente en ella, más algunos U-238 que desde entonces han sufrido desintegración radiactiva.

La cantidad de U-238 actualmente en la roca es:

\[\mathrm{9.58×10^{−5}\cancel{g\: U}×\left( \dfrac{1\: mol\: U}{238\cancel{g\: U}}\right )=4.03×10^{−7}\:mol\: U}\nonumber \]

Porque cuando un mol de U-238 decae, produce un mol de Pb-206, la cantidad de U-238 que ha sufrido desintegración radiactiva desde que se formó la roca es:

\[\mathrm{2.51×10^{-5}\cancel{g\: Pb}×\left( \dfrac{1\cancel{mol\: Pb}}{206\cancel{g\: Pb}}\right )×\left(\dfrac{1\: mol\: U}{1\cancel{mol\: Pb}}\right)=1.22×10^{-7}\:mol\: U}\nonumber \]

La cantidad total de U-238 originalmente presente en la roca es por lo tanto:

\[\mathrm{4.03×10^{−7}\:mol+1.22×10^{−7}\:mol=5.25×10^{−7}\:mol\: U}\nonumber \]

La cantidad de tiempo que ha pasado desde la formación de la roca viene dada por:

\[t=−\dfrac{1}{λ}\ln\left(\dfrac{N_t}{N_0}\right)\nonumber \]

con N ₀ representando la cantidad original de U-238 y N _t representando la cantidad actual de U-238.

U-238 decae en Pb-206 con una semivida de 4.5 × 10 ⁹ y, por lo que la constante de decaimiento λ es:

\[λ=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}=\mathrm{\dfrac{0.693}{4.5×10^9\:y}=1.54×10^{−10}\:y^{−1}}\nonumber \]

Sustituyendo y resolviendo, contamos con:

\[t=\mathrm{−\dfrac{1}{1.54×10^{−10}\:y^{−1}}\ln\left(\dfrac{4.03×10^{−7}\cancel{mol\: U}}{5.25×10^{−7}\cancel{mol\: U}}\right)=1.7×10^9\:y}\nonumber \]

Por lo tanto, la roca tiene aproximadamente 1.7 mil millones de años.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Una muestra de roca contiene 6.14 × 10 ^—4 g de Rb-87 y 3.51 × 10 ^—5 g de Sr-87. Calcular la edad de la roca. (La vida media de la desintegración β de Rb-87 es 4.7 × 10 ¹⁰ y.)

Responder

3.7 × 10 ⁹ y

Resumen

Los núcleos que tienen relaciones n:p inestables experimentan desintegración radiactiva espontánea. Los tipos más comunes de radiactividad son la desintegración α, la desintegración β, la emisión γ, la emisión de positrones y la captura de electrones. Las reacciones nucleares también suelen involucrar rayos γ, y algunos núcleos se descomponen por captura de electrones. Cada uno de estos modos de descomposición conduce a la formación de un nuevo núcleo con una relación n:p más estable. Algunas sustancias sufren series de desintegración radiactiva, procediendo a través de múltiples desintegraciones antes de terminar en un isótopo estable. Todos los procesos de desintegración nuclear siguen una cinética de primer orden., y cada radioisótopo tiene su propia vida media característica, el tiempo que se requiere para que la mitad de sus átomos se descomponga. Debido a las grandes diferencias en la estabilidad entre los nucleidos, existe una gama muy amplia de semividas de sustancias radiactivas. Muchas de estas sustancias han encontrado aplicaciones útiles en el diagnóstico y tratamiento médico, determinando la edad de los objetos arqueológicos y geológicos, y más.

Ecuaciones Clave

• tasa de decaimiento = λN
• \(t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{λ}=\dfrac{0.693}{λ}\)

Glosario

desintegración alfa (α)

pérdida de una partícula alfa durante la desintegración radiactiva

decaimiento beta (β)

descomposición de un neutrón en un protón, que permanece en el núcleo, y un electrón, que se emite como una partícula beta

nuclide hija

nucleido producido por la desintegración radiactiva de otro nucleido; puede ser estable o puede desintegrarse aún más

captura de electrones

combinación de un electrón central con un protón para producir un neutrón dentro del núcleo

emisión gamma (γ)

decaimiento de un nucleido en estado excitado acompañado de emisión de un rayo gamma

vida media (t _1/2)

tiempo requerido para que la mitad de los átomos de una muestra radiactiva se desintegren

Nuclido padre

nucleido inestable que cambia espontáneamente en otro nucleido (hija)

emisión de positrones

(también, β ⁺ decaimiento) conversión de un protón en un neutrón, que permanece en el núcleo, y un positrón, que se emite

desintegración radiactiva

descomposición espontánea de un nucleido inestable en otro nucleido

serie de desintegración radiactiva

cadenas de desintegraciones sucesivas (desintegraciones radiactivas) que finalmente conducen a un producto final estable

datación por radiocarbono

medios altamente precisos de fechar objetos de 30,000—50,000 años de antigüedad que se derivaron de la materia que alguna vez estuvo; lograda calculando la proporción de\(\ce{^{14}_6C : ^{12}_6C}\) en el objeto vs. la relación de\(\ce{^{14}_6C : ^{12}_6C}\) en la atmósfera actual

datación radiométrica

uso de radioisótopos y sus propiedades para fechar la formación de objetos como artefactos arqueológicos, organismos anteriormente vivos o formaciones geológicas