1.1: Elementos de simetría y operaciones

Considere las propiedades de simetría de un objeto (por ejemplo, átomos de una molécula, conjunto de orbitales, vibraciones). La colección de objetos se conoce comúnmente como un conjunto de bases

• clasificar objetos del conjunto de bases en operaciones de simetría
• operaciones de simetría forman un grupo
• grupo definido matemáticamente y manipulado por la teoría de grupos

Definición: Operación de simetría

Una operación de simetría mueve un objeto a una orientación indistinguible

Definición: Elemento de simetría

Un elemento de simetría es un punto, línea o plano sobre el cual se realiza una operación de simetría

Hay cinco elementos de simetría en el espacio 3D, los cuales se definirán con relación al punto con coordenada (x ₁, y ₁, z ₁):

1. identidad, E

\[ E\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) \]

2. plano de reflexión, σ

3. inversión, i

\[\mathrm{i}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}, \mathrm{z}_{1}\right)=\left(-\mathrm{x}_{1},-\mathrm{y}_{1},-\mathrm{z}_{1}\right)\]

4. eje de rotación adecuado, C _n\( \text { (where }\left.\theta=\frac{2 \pi}{n}\right) \)

convención es una rotación del punto en sentido de las agujas del reloj

\[ \mathrm{C}_{2}(\mathrm{z})\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}, \mathrm{z}_{1}\right)=\left(-\mathrm{x}_{1},-\mathrm{y}_{1}, \mathrm{z}_{1}\right) \]

5. eje de rotación incorrecto, S _n

operación de dos pasos: C _n seguido de σ a través del plano a C _n

\[\mathrm{S}_{4}(\mathrm{z})\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}, \mathrm{z}_{1}\right)=\sigma(\mathrm{xy}) \mathrm{C}_{4}(\mathrm{z})\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}, \mathrm{z}_{1}\right)=\sigma(\mathrm{xy})\left(\mathrm{y}_{1},-\mathrm{x}_{1}, \mathrm{z}_{1}\right)=\left(\mathrm{y}_{1},-\mathrm{x}_{1}-\mathrm{z}_{1}\right) \]

Nota: la rotación de pt es en el sentido de las agujas del reloj; Corolario es que los ejes giran en sentido contrario a las agujas

En el ejemplo anterior, tomamos el producto directo de dos operadores:

\( \sigma_{\mathrm{h}} \cdot \mathrm{C}_{\mathrm{n}}=\mathrm{S}_{\mathrm{n}} \) Plano de espejo horizontal (normal a C n)

\(\text { for } n \text { even }: S_{n}^{n}=C_{n}^{n} \cdot \sigma_{h}^{n}=E \cdot E=E \) \ (\ comenzar {alineado} \ texto {para} n\ texto {impar:} & S_ {n} ^ {n} =C_ {n} ^ {n}\ cdot\ sigma_ {h} ^ {n} =E\ cdot\ sigma_ {h} =\ sigma_ {h}\\\ & S_ {n} ^ {2 n} =C_ {n} ^ {n} =C_ {n} ^ {n} 2 n}\ cdot\ sigma_ {h} ^ {2 n} =E\ cdot E=\ sigma_ {h} \ final {alineado}\) \( \text { for } \mathrm{m} \text { even: } \mathrm{S}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{m}}=\mathrm{C}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{m}} \cdot \sigma_{\mathrm{h}}^{\mathrm{m}}=\mathrm{C}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{m}} \) \( \text { for } m \text { odd: } \quad S_{n}^{m}=C_{n}^{m} \cdot \sigma_{h}^{m}=C_{n}^{m} \cdot \sigma_{h}=S_{n}^{m} \)

Las operaciones de simetría pueden representarse como matrices. Considera el vector\( \overline{\mathbf{v}} \)

1. identidad:\ (E\ begin {bmatrix}
x_1\\
y_1\\
z_1
\ end {bmatrix}
=
\ begin {bmatrix}
& &\\
&? &\\
& &
\ end {bmatrix}
\ begin {bmatrix}
x_1\\
y_1\\
z_1
\ end {bmatrix}
=
\ begin {bmatrix}
x_1\\
y_1\\
z_1
\ end {bmatrix}\)

matriz que satisface esta condición es:

\ (\ left [\ begin {array} {lll}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\ end {array}\ right]\)

\ (\ por lo tanto\ mathrm {E} =\ left [\ begin {array} {lll}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\ end {array}\ derecha]\)... E es siempre la matriz de unidades

2. reflexión:\ (\ sigma (\ mathrm {xy})\ left [\ begin {array} {l}
\ mathrm {x} _ {1}\
\ mathrm {y} _ {1}\
\ mathrm {z} _ {1}
\ end {array}\ derecha] =\ left [\ begin {array} {r}
\ mathrm {x} _ {1}\
\ mathrm rm {y} _ {1}\\
-\ mathrm {z} _ {1}
\ end {array}\ right]\ quad\ por lo tanto\ sigma (\ mathrm {xy}) =\ left [\ begin {array} {rrr}
1 & 0 & 0\\ 0 & 1 &
0\\ 0 &
0\ 0 & 0 & -1
\ end {array}\ right]\)

similarmente\ (\ text {similarmente}\ sigma (\ mathrm {xz}) =\ left [\ begin {array} {rrr}
1 & 0 & 0 &
0\\ 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\ end {array}\ derecha]\ text {y}\ sigma (\ mathrm {yz}) =\ left [\ begin {array} {rrr}
-1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\ end {array}\ right]\)

3. inversión:\ (\ mathrm {i}\ left [\ begin {array} {l}
\ mathrm {x} _ {1}\
\ mathrm {y} _ {1} _ {1}
\\ mathrm {z} _ {1}
\ end {array}\ derecha] =\ left [\ begin {array} {l}
-\ mathrm {x} _ {1}\
-\ mathrm {y} _ {1}\\
-\ mathrm {z} _ {1}
\ end {array}\ right]\ quad\ por lo tanto\ quad\ mathrm {i} =\ left [\ begin {array} {rrr}
-1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0\\ 0 &
0\ 0 & 0 & -1
\ end {array}\ right]\)

4. eje de rotación adecuado:

debido a la convención, φ, y por lo tanto z _i, no se transforma bajo C _n (θ), la proyección en plano xy solo necesita ser considerada... es decir, la rotación del vector v (x _i, y _i) a través de θ

\( x_{1}=\bar{v} \cos \alpha \) \( y_{1}=\vec{v} \sin \alpha \)

\( {C}_{n}(\theta) \)

\( \mathrm{x}_{2}=\overline{\mathrm{v}} \cos [-(\theta-\alpha)]=\overline{\mathrm{v}} \cos (\theta-\alpha) \) \( y_{2}=\vec{v} \sin [-(\theta-\alpha)]=-\bar{v} \sin (\theta-\alpha) \)

usando relaciones de identidad:

\(x_{2}=\vec{v} \cos (\theta-\alpha)=\vec{v} \cos \theta \cos \alpha+\vec{v} \sin \theta \sin \alpha=x_{1} \cos \theta+y_{1} \sin \theta \)

\( y_{2}=-\bar{v} \sin (\theta-\alpha)=-[\bar{v} \sin \theta \cos \alpha-\bar{v} \cos \theta \sin \alpha]=-x_{1} \sin \theta+y_{1} \cos \theta \)

Reformulando en términos de representación matricial:

\ (\ mathrm {C} _ {\ mathrm {n}} (\ theta)\ left [\ begin {array} {l}
\ mathrm {x} _ {1}\
\ mathrm {y} _ {1}\
\ mathrm {z} _ {1}
\ end {array}\ derecha] =\ left [\ begin {array} {r}
\ mathrm {x} {1}\ cos\ theta+\ mathrm {y} _ {1}\ sin\ theta\
-\ mathrm {x} _ {1}\ sin\ theta+\ mathrm {y} _ {1}\ cos\ theta\
\ mathrm {z} _ {1}
\ end {array}\ derecha]\)

\ (\ por lo tanto\ mathrm {C} _ {\ mathrm {n}} (\ theta) =\ left [\ begin {array} {rrr}
\ cos\ theta &\ sin\ theta & 0\\
-\ sin\ theta &\ cos\ theta & 0\\
0 & 0 & 1
\ end {array}\ derecha]\ quad\ text {donde}\ theta=\ frac {2\ pi} {\ mathrm {n}}\)

Nota... la rotación anterior es en el sentido de las agujas del reloj, como lo discute HB (pg 39). El algodón en la pg. 73 resuelve para la rotación en sentido antihorario... y presenta el resultado en sentido horario derivado anteriormente. Para ser consistentes con HB (y clases de matemáticas) giraremos en el sentido de las agujas del reloj como convención.

La representación matricial anterior es completamente general para cualquier rotación θ...

Ejemplo:\(C_{3}, \theta=\frac{2 \pi}{n} \)

\ [C_ {3} =\ left [\ begin {array} {ccc}
\ cos\ frac {2\ pi} {3} &\ sin\ frac {2\ pi} {3} & 0\\
-\ sin\ frac {2\ pi} {3} &\ cos\ frac {2\ pi} {3} & 0\\
0 & 0 & 1
\ end {array} derecha] =\ left [\ begin {array} {ccc}
-\ frac {1} {2} &\ frac {\ sqrt {3}} {2} & 0\\
-\ frac {\ sqrt {3}} {2} & -\ frac {1} {2} & 0\\
0 & 0 & 1
\ end {array}\ derecha]\]

5. eje de rotación incorrecto:

σ _h ⋅ C _n (θ) = S _n (θ)

\ [\ left [\ begin {array} {rrr}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0
\\ 0 & -1\ end {array}\ right]\ cdot\ left [\ begin {array} {rrr}
\ cos\ theta &\ sin\ theta & 0\
-\ sin\ theta &\ cos\ theta & 0\\
0 & 0 & 1
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {rrr}
\ cos\ theta &\ sin\ theta & 0\\
-\ sin\ theta &\ cos\ theta & 0\\
0 & 0 & -1
\ end {array}\ derecha]\]

Al igual que los propios operadores, las operaciones matriciales pueden manipularse con álgebra matricial simple... por encima de producto directo rinde representación matricial para S _n.

Otro ejemplo:

\ [\ left [\ begin {array} {rrr}
1 & 0 & 0\\ 0 & 1 &
0\\ 0 &
0 & -1\ end {array}
\ derecha]\ cdot\ left [\ begin {array} {rrr}
-1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 &
0 & -1 & 0\
0 & 0 & 0 & 1
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {rrr}
-1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1
\ end {array}\ derecha]\]

σ _xy (≡ σ _h) ⋅ C ₂ (z) = i