1.2: Propiedades del operador y grupos matemáticos

La inversa de A (definida como (A) ^—1) es B si A ⋅ B = E

Para cada una de las cinco operaciones de simetría:

\(( E )^{-1}= E \Longrightarrow( E )^{-1} \cdot E = E \cdot E = E\)
\((\sigma)^{-1}=\sigma \Longrightarrow(\sigma)^{-1} \cdot \sigma=\sigma \cdot \sigma= E\)
\((i)^{-1}=i \Longrightarrow(i)^{-1} \cdot i=i \cdot i=E\)
\(\left(C_{n}^{m}\right)^{-1}=C_{n}^{n-m} \Longrightarrow\left(C_{n}^{m}\right)^{-1} \cdot C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m} \cdot C_{n}^{m}=C_{n}^{n}=E\)
ej.,\(\left(C_{5}^{2}\right)^{-1}=C_{5}^{3}\) desde\(C_{5}^{2} \cdot C_{5}^{3}=E\)
\(\left(S_{n}^{m}\right)^{-1}=S_{n}^{n-m}(n \text { even }) \Longrightarrow\left(S_{n}^{m}\right)^{-1} \cdot S_{n}^{m}=S_{n}^{n-m} \cdot S_{n}^{m}=S_{n}^{n}=C_{n}^{n} \cdot \sigma_{h}^{n}=E\)
\(\left(S_{n}^{m}\right)^{-1}=S_{n}^{2 n-m}(n \text { odd }) \Longrightarrow\left(S_{n}^{m}\right)^{-1} \cdot S_{n}^{m}=S_{n}^{2 n-m} \cdot S_{n}^{m}=S_{n}^{2 n}=C_{n}^{2 n} \cdot \sigma_{h}^{2 n}=E\)

Dos operadores conmutan cuando A ⋅ B = B ⋅ A

Ejemplo: ¿Conmutan C ₄ (z) y σ (xz)?

... o analizando con representaciones matriciales,

\(\left[\begin{array}{rrr}0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr}0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\)

C ₄ (z) ⋅ σ _xz = σ _d '

Ahora aplicando las operaciones en el orden inverso,

... o analizando con representaciones matriciales,

\(\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{rrr}0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\)

σ _xz ⋅ C ₄ (z) = σ _d

\ begin {ecuación}
\ por lo tanto\ quad C_ {4} (z)\ sigma (x z) =\ sigma_ {d} ^ {\ prime}\ neq\ sigma (x z) C_ {4} (z) =\ sigma_ {d}\ Rightarrow\ text {so} C_ {4} (z)\ text {no conmuta con}\ sigma (x z)
\ end {ecuación}

Una colección de operaciones es un grupo matemático cuando se cumplen las siguientes condiciones:

• cierre: todos los productos binarios deben ser miembros del grupo
• identidad: un grupo debe contener el operador de identidad
• inverso: cada operador debe tener una inversa
• asociatividad: la ley asociativa de la multiplicación debe mantener\[(A ⋅ B) ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C\]

(nota: conmutación no requerida... los grupos en los que todos los operadores realizan desplazamientos se llaman Abelian)

Considere los operadores C ₃ y σ _v. Estos no constituyen un grupo porque no se satisface el criterio de identidad. ¿E, C ₃, σ _v forman un grupo? Para abordar esta cuestión, se utilizará una proyección estereográfica (con operadores críticos):

Entonces, ¿qué tal el cierre?

C ₃ ⋅ C ₃ = C ₃ ² (entonces C ₃ ² necesita ser incluido como parte del grupo)

Así E, C ₃ y σ _v no están cerrados y en consecuencia estos operadores no forman un grupo. ¿Es suficiente la adición de C ₃ ² y σ _v 'para definir un grupo? En otros términos, ¿hay algún otro operador que sea generado por C ₃ y σ _v?

... el eje de rotación adecuado, C ₃:

\(C_{3}\)
\(C _{3} \cdot C _{3}= C _{3}^{2}\)
\(C _{3} \cdot C _{3} \cdot C _{3}= C _{3}^{2} \cdot C _{3}= C _{3} \cdot C _{3}^{2}= E\)
\(C _{3} \cdot C _{3} \cdot C _{3} \cdot C _{3}= E \cdot C _{3}= C _{3}\)

etc.

\(\therefore C _{3}\)es el generador de\(E , C _{3}\) y\(C _{3}^{2}\), nota: estos tres operadores forman un grupo

... para el plano de reflexión, σ _v

_{\(\sigma_{v}\)
\(\sigma_{v} \cdot \sigma_{v}=E\)
\(\sigma_{v} \cdot \sigma_{v} \cdot \sigma_{v}=E \cdot \sigma_{v}=\sigma_{v}\)}

etc.
por lo que no obtenemos nueva información aquí. Pero hay más información por obtener al considerar C ₃ y σ _v. Ya han visto que C ₃ ⋅ σ _v = σ _v '... que tal σ _v ⋅ C ₃

Descubrirá que no se pueden generar nuevos operadores. Por otra parte uno encuentra

\(\begin{array}{ccccccc} & E ^{-1} & C _{3}^{-1} & \left( C _{3}^{2}\right)^{-1} & \sigma_{ v }^{-1} & \left(\sigma_{ v }^{\prime}\right)^{-1} & \left(\sigma_{ v }^{\prime \prime}\right)^{-1} \\ \text {inverses } & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ & E & C _{3}^{2} & C _{3} & \sigma_{ v } & \sigma_{ v }^{\prime} & \sigma_{ v }^{\prime \prime}\end{array}\)

El grupo anterior está cerrado, es decir, contiene el operador de identidad y cumple con las condiciones inversas y asociativas. Así, el conjunto anterior de operadores constituye un grupo matemático (nótese que el grupo no es abeliano).

Algunas definiciones:

Los operadores C ₃ y σ _v se denominan generadores para el grupo ya que cada elemento del grupo puede expresarse como un producto de estos operadores (y sus inversos).

El orden del grupo, designado h, es el número de elementos. En el ejemplo anterior, h = 6.

Los grupos definidos por un solo generador se denominan grupos cíclicos.

Ejemplo: C ₃ → E, C ₃, C ₃ ²

Como se mencionó anteriormente, E, C ₃ y C ₃ ² cumplen las condiciones de un grupo; forman un grupo cíclico. Además estos tres operadores son un subgrupo de E, C ₃, C ₃ ², σ _v, σ _v ', σ _v”. El orden de un subgrupo debe ser un divisor del orden de su grupo padre. (Ejemplo h _subgrupo = 3, h _grupo = 6... un divisor de 2.)

Una transformación de similitud se define como: v ^-1 ⋅ A ⋅ ν = B donde B se designa la transformada de similitud de A por x y A y B son conjugados entre sí. Un conjunto completo de operadores que son conjugados entre sí se llama una clase del grupo.

Determinemos las clases del grupo definido por E, C ₃, C ₃ ², σ _{v, σ v} ', σ _v”... el análisis se ve facilitado por la construcción de una tabla de multiplicación

\ [\ begin {array} {l|llllll}
& E & C _ {3} & C _ {3} ^ {2} &\ sigma_ {v} &\ sigma_ {v} ^ {\ prime} &\ sigma_ {v} ^ {\ prime\ prime}\
\ hline E & E & C _ {3} & C _ {3} ^ {2} &\ sigma_ {v} &\ sigma_ {v} ^ {\ prime} &\ sigma_ {v} ^ {\ prime\ prime}\\
C _ {3} & C _ {3} & C _ {3} ^ {2} & E &\ sigma_ {v} ^ {\ prime} &\ sigma_ {v} ^ {\ prime\ prime} &\ sigma_ {v}\\
C _ {3} ^ {2} & C _ {3} ^ {2} & E & C _ {3} &\ sigma_ {v} ^ {\ prime\ prime} &\ sigma_ {v} &\ sigma_ {v} ^ {\ prime}\\
\ sigma_ {v} &\ sigma_ {v} &\ sigma_ {v} ^ {\ prime\ prime} &\ sigma_ {v} ^ {\ prime} & E & C _ {3} ^ {2} & C _ {3}\
\ sigma_ {v} ^ {\ prime} &\ sigma_ {v} ^ {\ prime} &\ sigma_ {v}} &\ sigma_ {v} ^ {\ prime\ prime} & C _ {3} & E & C _ {3} ^ {2}\
\ sigma_ {v} ^ {\ prime\ prime} &\ sigma_ {v} ^ {\ prime\ prime} &\ sigma_ {v} ^ {\ prime} &\ sigma_ {v} & C _ {3} ^ {2} & C _ {3} & E
\ end {array}\]

puede construir fácilmente usando proyecciones estereográficas

\(E ^{-1} \cdot C _{3} \cdot E = E \cdot C _{3} \cdot E = C _{3}\)
\(C _{3}^{-1} \cdot C _{3} \cdot C _{3}= C _{3}^{2} \cdot C _{3} \cdot C _{3}= E \cdot C _{3}= C _{3}\)
\(\left( C _{3}^{2}\right)^{-1} \cdot C _{3} \cdot C _{3}^{2}= C _{3} \cdot C _{3} \cdot C _{3}^{2}= C _{3} \cdot E = C _{3}\)
\(\sigma _{ v }^{-1} \cdot C _{3} \cdot \sigma_{ v }=\sigma_{ v } \cdot C _{3} \cdot \sigma_{ v }=\sigma_{ v } \cdot \sigma_{ v }^{\prime}= C _{3}^{2}\)
\(\left(\sigma_{ v }^{\prime}\right)^{-1} \cdot C _{3} \cdot \sigma_{ v }^{\prime}=\sigma_{ v }^{\prime} \cdot C _{3} \cdot \sigma_{ v }^{\prime}=\sigma_{ v }^{\prime} \cdot \sigma_{ v }^{\prime \prime}= C _{3}^{2}\)
\(\left(\sigma_{ v }^{\prime \prime}\right)^{-1} \cdot C _{3} \cdot \sigma_{ v }^{\prime \prime}=\sigma_{ v }^{\prime \prime} \cdot C _{3} \cdot \sigma_{ v }^{\prime \prime}=\sigma_{ v }^{\prime \prime} \cdot \sigma_{ v }= C _{3}^{2}\)

∴ C ₃ y C ₃ ² de una clase

Realizar un análisis similar en σ _v revelará que σ _v, σ _v 'y σ _v” forman una clase y E está en una clase por sí mismo. Así, hay tres clases:

\(E ,\left( C _{3}, C _{3}^{2}\right),\left(\sigma_{ v }, \sigma_{ v }^{\prime}, \sigma_{ v }^{\prime \prime}\right)\)

Las propiedades adicionales de las transformaciones y clases son:

• ningún operador ocurre en más de una clase
• orden de todas las clases deben ser factores integrales del orden del grupo
• en un grupo abeliano, cada operador está en una clase por sí mismo.