5.8: Ecuación de Onda de Broglie

El modelo de Bohr del átomo fue valioso para demostrar cómo los electrones eran capaces de absorber y liberar energía, y cómo se crearon los espectros de emisión atómica. Sin embargo, el modelo realmente no explicaba por qué los electrones deberían existir solo en órbitas circulares fijas, en lugar de poder existir en un número ilimitado de órbitas con diferentes energías. Para explicar por qué se cuantifican los estados de energía atómica, los científicos tuvieron que repensar sus puntos de vista sobre la naturaleza del electrón y su movimiento.

Ecuación de Onda de Broglie

La investigación de Planck sobre los espectros de emisión de objetos calientes y los estudios posteriores sobre el efecto fotoeléctrico demostraron que la luz era capaz de comportarse tanto como onda como partícula. Parecía razonable preguntarse si los electrones también podrían tener una naturaleza de partículas de onda dual. En 1924, el científico francés Louis de Broglie (1892-1987) derivó una ecuación que describía la naturaleza ondulada de cualquier partícula. Particularmente, la longitud\(\left( \lambda \right)\) de onda de cualquier objeto en movimiento viene dada por:

\[\lambda = \frac{h}{mv}\nonumber \]

En esta ecuación,\(h\) es la constante de Planck,\(m\) es la masa de la partícula en\(\text{kg}\), y\(v\) es la velocidad de la partícula en\(\text{m/s}\). El problema a continuación muestra cómo calcular la longitud de onda del electrón.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Un electrón de masa\(9.11 \times 10^{-31} \: \text{kg}\) se mueve casi a la velocidad de la luz. Usando una velocidad de\(3.00 \times 10^8 \: \text{m/s}\), calcular la longitud de onda del electrón.

Solución

Paso 1: Enumere las cantidades conocidas y planifique el problema.

Conocido

• Masa\(\left( m \right) = 9.11 \times 10^{-31} \: \text{kg}\)
• Constante de Planck\(\left( h \right) = 6.626 \times 10^{-34} \: \text{J} \cdot \text{s}\)
• Velocity\(\left( v \right) = 3.00 \times 10^8 \: \text{m/s}\)

Desconocido

• Longitud de onda (\(\lambda\))

Aplicar la ecuación de onda de Broglie\(\lambda = \frac{h}{mv}\) para resolver la longitud de onda del electrón móvil.

Paso 2: Calcular.

\[\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \: \text{J} \cdot \text{s}}{\left( 9.11 \times 10^{-31} \: \text{kg} \right) \times \left( 3.00 \times 10^8 \: \text{m/s} \right)} = 2.42 \times 10^{-12} \: \text{m}\nonumber \]

Paso 3: Piensa en tu resultado.

Esta longitud de onda muy pequeña es aproximadamente 1/20 del diámetro de un átomo de hidrógeno. Al observar la ecuación, a medida que disminuye la velocidad del electrón, su longitud de onda aumenta. Las longitudes de onda de los objetos grandes cotidianos con masas mucho mayores deben ser muy pequeñas.

Si tuviéramos que calcular la longitud de onda de una\(0.145 \: \text{kg}\) pelota de béisbol lanzada a una velocidad de\(40 \: \text{m/s}\), se nos ocurriría una longitud de onda extremadamente corta del orden de\(10^{-34} \: \text{m}\). Esta longitud de onda es imposible de detectar incluso con equipos científicos avanzados. En efecto, mientras todos los objetos se mueven con movimiento ondulatorio, nunca lo notamos porque las longitudes de onda son demasiado cortas. Por otro lado, las partículas con longitudes de onda medibles son todas muy pequeñas. Sin embargo, la naturaleza de onda del electrón demostró ser un desarrollo clave en una nueva comprensión de la naturaleza del electrón. Un electrón que está confinado a un espacio particular alrededor del núcleo de un átomo sólo puede moverse alrededor de ese átomo de tal manera que su onda electrónica “se ajuste” correctamente al tamaño del átomo. Esto significa que se cuantifican las frecuencias de las ondas de electrones. Con base en la\(E = h \nu\) ecuación, las frecuencias cuantificadas significan que los electrones solo pueden existir en un átomo a energías específicas, como Bohr había teorizado previamente.

Figura\(\PageIndex{1}\): La circunferencia de la órbita en (A) permite que la onda electrónica encaje perfectamente en la órbita. Esta es una órbita permitida. En (B), la onda electrónica no encaja correctamente en la órbita, por lo que esta órbita no está permitida. (Crédito: Christopher Auyeung; Fuente: Fundación CK-12; Licencia: CC BY-NC 3.0 (opens in new window))

Resumen

• La ecuación de onda de Broglie permite calcular la longitud de onda de cualquier objeto en movimiento.
• A medida que disminuye la velocidad del electrón, su longitud de onda aumenta.

Revisar

1. ¿Qué no explicó el modelo Bohr?
2. Declarar la ecuación de onda de Broglie.
3. ¿Qué sucede a medida que disminuye la velocidad del electrón?