10.5: Utilizar las propiedades de los logaritmos

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, usted podrá:

• Utilizar las propiedades de los logaritmos
• Usar la fórmula de cambio de base

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

1. Evaluar: a. \(a^{0}\) b \(a^{1}\).
   Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.14.
2. Escribir con un exponente racional: \(\sqrt[3]{x^{2} y}\).
   Si se le pasó este problema, revise el Ejemplo 8.27.
3. Redondear a tres decimales: \(2.5646415\).
   Si se le pasó este problema, revise el Ejemplo 1.34.

Utilizar las propiedades de los logaritmos

Ahora que hemos aprendido acerca de las funciones exponenciales y logarítmicas, podemos introducir algunas de las propiedades de los logaritmos. Estos serán de gran ayuda a medida que sigamos resolviendo ecuaciones tanto exponenciales como logarítmicas.

Las dos primeras propiedades derivan de la definición de logaritmos. Ya que \(a^{0}=1\), podemos convertir esto a forma logarítmica y obtener \(\log _{a} 1=0\). También, desde \(a^{1}=a\), conseguimos \(\log _{a} a=1\).

Definición \(\PageIndex{1}\)

Propiedades de logaritmos

\(\log _{a} 1=0 \quad \log _{a} a=1\)

En el siguiente ejemplo podríamos evaluar el logaritmo convirtiendo a forma exponencial, como lo hemos hecho anteriormente, pero reconocer y luego aplicar las propiedades ahorra tiempo.

Ejemplo \(\PageIndex{1}\)

Evaluar utilizando las propiedades de los logaritmos:

1. \(\log _{8} 1\)
2. \(\log _{6} 6\)

Solución:

a.

\(\log _{8} 1\)

Utilizar la propiedad, \(\log _{a} 1=0\).

\(0 \quad \log _{8} 1=0\)

b.

\(\log _{6} 6\)

Utilizar la propiedad, \(\log _{a} a=1\).

\(1 \quad \log _{6} 6=1\)

Ejercicio \(\PageIndex{1}\)

Evaluar utilizando las propiedades de los logaritmos:

1. \(\log _{13} 1\)
2. \(\log _{9} 9\)

Contestar

1. \(0\)
2. \(1\)

Ejercicio \(\PageIndex{2}\)

Evaluar utilizando las propiedades de los logaritmos:

1. \(\log _{5} 1\)
2. \(\log _{7} 7\)

Contestar

1. \(0\)
2. \(1\)

Las siguientes dos propiedades también se pueden verificar convirtiéndolas de forma exponencial a forma logarítmica, o al revés.

La ecuación exponencial se \(a^{\log _{a} x}=x\) convierte en la ecuación logarítmica \(\log _{a} x=\log _{a} x\), que es una declaración verdadera para valores positivos \(x\) sólo para.

La ecuación logarítmica se \(\log _{a} a^{x}=x\) convierte en la ecuación exponencial \(a^{x}=a^{x}\), que también es una afirmación verdadera.

Estas dos propiedades se denominan propiedades inversas porque, cuando tenemos la misma base, elevando a una potencia “deshecha” el tronco y tomando el tronco “deshaces” elevándose a una potencia. Estas dos propiedades muestran la composición de las funciones. Ambas terminaron con la función de identidad que vuelve a mostrar que las funciones exponencial y logarítmica son funciones inversas.

Definición \(\PageIndex{2}\)

Propiedades inversas de logaritmos

Para \(a>0, x>0\) y \(a \neq 1\),

\(a^{\log _{a} x}=x \quad \log _{a} a^{x}=x\)

En el siguiente ejemplo, aplique las propiedades inversas de los logaritmos.

Ejemplo \(\PageIndex{2}\)

Evaluar utilizando las propiedades de los logaritmos:

1. \(4^{\log _{4} 9}\)
2. \(\log _{3} 3^{5}\)

Solución:

a.

\(4^{\log _{4} 9}\)

Utilizar la propiedad, \(a^{\log _{a} x}=x\).

\(9 \quad 4^{\log _{4} 9}=9\)

b.

\(\log _{3} 3^{5}\)

Utilizar la propiedad, \(a^{\log _{a} x}=x\).

\(5 \quad \log _{3} 3^{5}=5\)

Ejercicio \(\PageIndex{3}\)

Evaluar utilizando las propiedades de los logaritmos:

1. \(5^{\log _{5} 15}\)
2. \(\log _{7} 7^{4}\)

Contestar

1. \(15\)
2. \(4\)

Ejercicio \(\PageIndex{4}\)

Evaluar utilizando las propiedades de los logaritmos:

1. \(2^{\log _{2} 8}\)
2. \(\log _{2} 2^{15}\)

Contestar

1. \(8\)
2. \(15\)

Existen tres propiedades más de logaritmos que serán útiles en nuestro trabajo. Sabemos que las funciones exponenciales y la función logarítmica están muy interrelacionadas. Nuestra definición de logaritmo nos muestra que un logaritmo es el exponente del exponencial equivalente. Las propiedades de los exponentes tienen propiedades relacionadas para los exponentes.

En la Propiedad Producto de Exponentes \(a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}\),, vemos que para multiplicar la misma base, sumamos los exponentes. La Propiedad del Producto de los Logaritmos, nos \(\log _{a} M \cdot N=\log _{a} M+\log _{a} N\) dice que tomemos el registro de un producto, agregamos el log de los factores.

Definición \(\PageIndex{3}\)

Propiedad del producto de logaritmos

Si \(M>0, N>0, \mathrm{a}>0\) y \(\mathrm{a} \neq 1,\) luego

\(\log _{a}(M \cdot N)=\log _{a} M+\log _{a} N\)

El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos.

Utilizamos esta propiedad para escribir el registro de un producto como suma de los logs de cada factor.

Ejemplo \(\PageIndex{3}\)

Utilice la Propiedad Producto de los Logaritmos para escribir cada logaritmo como una suma de logaritmos. Simplifique, si es posible:

1. \(\log _{3} 7 x\)
2. \(\log _{4} 64 x y\)

Solución:

a.

\(\log _{3} 7 x\)

Utilizar la Propiedad del Producto, \(\log _{a}(M \cdot N)=\log _{a} M+\log _{a} N\).

\(\log _{3} 7+\log _{3} x\)
\(\log _{3} 7 x=\log _{3} 7+\log _{3} x\)

b.

\(\log _{4} 64 x y\)

Utilizar la Propiedad del Producto, \(\log _{a}(M \cdot N)=\log _{a} M+\log _{a} N\).

\(\log _{4} 64+\log _{4} x+\log _{4} y\)

Simplificar estar evaluando, \(\log _{4} 64\).

\(3+\log _{4} x+\log _{4} y\)
\(\log _{4} 64 x y=3+\log _{4} x+\log _{4} y\)

Ejercicio \(\PageIndex{5}\)

Utilice la Propiedad Producto de los Logaritmos para escribir cada logaritmo como una suma de logaritmos. Simplifique, si es posible:

1. \(\log _{3} 3 x\)
2. \(\log _{2} 8 x y\)

Contestar

1. \(1+\log _{3} x\)
2. \(3+\log _{2} x+\log _{2} y\)

Ejercicio \(\PageIndex{6}\)

Utilice la Propiedad Producto de los Logaritmos para escribir cada logaritmo como una suma de logaritmos. Simplifique, si es posible:

1. \(\log _{9} 9 x\)
2. \(\log _{3} 27 x y\)

Contestar

1. \(1+\log _{9} x\)
2. \(3+\log _{3} x+\log _{3} y\)

De igual manera, en la Propiedad Cociente de Exponentes \(\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}\),, vemos que para dividir la misma base, restamos los exponentes. La Propiedad Cociente de los Logaritmos, nos \(\log _{a} \frac{M}{N}=\log _{a} M-\log _{a} N\) dice que tomemos la bitácora de un cociente, restamos la bitácora del numerador y denominador.

Definición \(\PageIndex{4}\)

Propiedad cociente de logaritmos

Si \(M>0, N>0, \mathrm{a}>0\) y \(\mathrm{a} \neq 1,\) luego

\(\log _{a} \frac{M}{N}=\log _{a} M-\log _{a} N\)

El logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos.

Tenga en cuenta que \(\log _{a} M=\log _{a} N \not=\log _{a}(M-N)\).

Utilizamos esta propiedad para escribir el registro de un cociente como diferencia de los registros de cada factor.

Ejemplo \(\PageIndex{4}\)

Utilice la Propiedad Cociente de Logaritmos para escribir cada logaritmo como una diferencia de logaritmos. Simplificar, si es posible.

1. \(\log _{5} \frac{5}{7}\)
2. \(\log \frac{x}{100}\)

Solución:

a.

\(\log _{5} \frac{5}{7}\)

Utilizar la Propiedad Cociente, \(\log _{a} \frac{M}{N}=\log _{a} M-\log _{a} N\).

\(\log _{5} 5-\log _{5} 7\)

Simplificar.

\(1-\log _{5} 7\)

\(\log _{5} \frac{5}{7}=1-\log _{5} 7\)

b.

\(\log \frac{x}{100}\)

Utilizar la Propiedad Cociente, \(\log _{a} \frac{M}{N}=\log _{a} M-\log _{a} N\).

\(\log x-\log 100\)

Simplificar.

\(\log x-2\)

\(\log \frac{x}{100}=\log x-2\)

Ejercicio \(\PageIndex{7}\)

Utilice la Propiedad Cociente de Logaritmos para escribir cada logaritmo como una diferencia de logaritmos. Simplificar, si es posible.

1. \(\log _{4} \frac{3}{4}\)
2. \(\log \frac{x}{1000}\)

Contestar

1. \(\log _{4} 3-1\)
2. \(\log x-3\)

Ejercicio \(\PageIndex{8}\)

Utilice la Propiedad Cociente de Logaritmos para escribir cada logaritmo como una diferencia de logaritmos. Simplificar, si es posible.

1. \(\log _{2} \frac{5}{4}\)
2. \(\log \frac{10}{y}\)

Contestar

1. \(\log _{2} 5-2\)
2. \(1-\log y\)

La tercera propiedad de los logaritmos está relacionada con la Propiedad de Poder de Exponentes \(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}\),, vemos que para elevar una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes. La Propiedad de Poder de los Logaritmos, nos \(\log _{a} M^{p}=p \log _{a} M\) dice que tomemos el log de un número elevado a una potencia, multiplicamos la potencia por el log del número.

Definición \(\PageIndex{5}\)

Propiedad de potencia de logaritmos

Si \(M>0, \mathrm{a}>0, \mathrm{a} \neq 1\) y \(p\) es cualquier número real entonces,

\(\log _{a} M^{p}=p \log _{a} M\)

El registro de un número elevado a una potencia como el producto producto de la potencia multiplicado por el registro del número.

Utilizamos esta propiedad para escribir el registro de un número elevado a una potencia como el producto de la potencia multiplicado por el registro del número. Esencialmente tomamos el exponente y lo lanzamos frente al logaritmo.

Ejemplo \(\PageIndex{5}\)

Utilice la propiedad de potencia de logaritmos para escribir cada logaritmo como un producto de logaritmos. Simplificar, si es posible.

1. \(\log _{5} 4^{3}\)
2. \(\log x^{10}\)

Solución:

a.

\(\log _{5} 4^{3}\)

Utilice la Propiedad de Energía, \(\log _{a} M^{p}=p \log _{a} M\).

3 \(\log _{5} 4\)

\(\log _{5} 4^{3}=3 \log _{5} 4\)

b.

\(\log x^{10}\)

Utilice la Propiedad de Energía, \(\log _{a} M^{p}=p \log _{a} M\).

\(10\log x\)

\(\log x^{10}=10 \log x\)

Ejercicio \(\PageIndex{9}\)

Utilice la propiedad de potencia de logaritmos para escribir cada logaritmo como un producto de logaritmos. Simplificar, si es posible.

1. \(\log _{7} 5^{4}\)
2. \(\log x^{100}\)

Contestar

1. \(4\log _{7} 5\)
2. 100\(\cdot \log x\)

Ejercicio \(\PageIndex{10}\)

Utilice la propiedad de potencia de logaritmos para escribir cada logaritmo como un producto de logaritmos. Simplificar, si es posible.

1. \(\log _{2} 3^{7}\)
2. \(\log x^{20}\)

Contestar

1. \(7\log _{2} 3\)
2. \(20\cdot \log x\)

Resumimos aquí las Propiedades de los Logaritmos para facilitar su referencia. Si bien los logaritmos naturales son un caso especial de estas propiedades, a menudo es útil mostrar también la versión logaritmo natural de cada propiedad.

Propiedades de logaritmos

Si \(M>0, \mathrm{a}>0, \mathrm{a} \neq 1\) y \(p\) es cualquier número real entonces,

Cuadro 10.4.1

Propiedad	Base \(a\)	Base \(e\)
	\ (a\) ">\(\log _{a} 1=0\)	\ (e\) ">\(\ln 1=0\)
	\ (a\) ">\(\log _{a} a=1\)	\ (e\) ">\(\ln e=1\)
Propiedades inversas	\ (a\) ">\(a^{\log _{a} x}=x\) \(\log _{a} a^{x}=x\)	\ (e\) ">\(e^{\ln x}=x\) \(\ln e^{x}=x\)
Propiedad del producto de logaritmos	\ (a\) ">\(\log _{a}(M \cdot N)=\log _{a} M+\log _{a} N\)	\ (e\) ">\(\ln (M \cdot N)=\ln M+\ln N\)
Propiedad cociente de logaritmos	\ (a\) ">\(\log _{a} \frac{M}{N}=\log _{a} M-\log _{a} N\)	\ (e\) ">\(\ln \frac{M}{N}=\ln M-\ln N\)
Propiedad de potencia de logaritmos	\ (a\) ">\(\log _{a} M^{p}=p \log _{a} M\)	\ (e\) ">\(\ln M^{p}=p \ln M\)

Ahora que tenemos las propiedades podemos usarlas para “expandir” una expresión logarítmica. Esto significa escribir el logaritmo como suma o diferencia y sin ningún poder.

Generalmente aplicamos las Propiedades del Producto y del Cociente antes de aplicar la Propiedad Power.

Ejemplo \(\PageIndex{6}\)

Utilice las Propiedades de los Logaritmos para expandir el logaritmo \(\log _{4}\left(2 x^{3} y^{2}\right)\). Simplificar, si es posible.

Solución:

Utilizar la Propiedad del Producto, \(\log _{a} M \cdot N=\log _{a} M+\log _{a} N\).

Utilice la Propiedad de Poder \(\log _{a} M^{p}=p \log _{a} M\),, en los dos últimos términos. Simplificar.

Ejercicio \(\PageIndex{11}\)

Utilice las Propiedades de los Logaritmos para expandir el logaritmo \(\log _{2}\left(5 x^{4} y^{2}\right)\). Simplificar, si es posible.

Contestar

\(\log _{2} 5+4 \log _{2} x+2 \log _{2} y\)

Ejercicio \(\PageIndex{12}\)

Utilice las Propiedades de los Logaritmos para expandir el logaritmo \(\log _{3}\left(7 x^{5} y^{3}\right)\). Simplificar, si es posible.

Contestar

\(\log _{3} 7+5 \log _{3} x+3 \log _{3} y\)

Cuando tenemos un radical en la expresión logarítmica, es útil escribir primero su radicando como exponente racional.

Ejemplo \(\PageIndex{7}\)

Utilice las Propiedades de los Logaritmos para expandir el logaritmo \(\log _{2} \sqrt[4]{\frac{x^{3}}{3 y^{2} z}}\). Simplificar, si es posible.

Solución

\(\log _{2} \sqrt[4]{\frac{x^{3}}{3 y^{2} z}}\)

Reescribir lo radical con un exponente racional.

\(\log _{2}\left(\frac{x^{3}}{3 y^{2} z}\right)^{\frac{1}{4}}\)

Utilice la Propiedad de Energía, \(\log _{a} M^{p}=p \log _{a} M\).

\(\frac{1}{4} \log _{2}\left(\frac{x^{3}}{3 y^{2} z}\right)\)

Utilizar la Propiedad Cociente, \(\log _{a} M \cdot N=\log _{a} M-\log _{a} N\).

\(\frac{1}{4}\left(\log _{2}\left(x^{3}\right)-\log _{2}\left(3 y^{2} z\right)\right)\)

Utilizar la Propiedad del Producto, \(\log _{a} M \cdot N=\log _{a} M+\log _{a} N\), en el segundo término.

\(\frac{1}{4}\left(\log _{2}\left(x^{3}\right)-\left(\log _{2} 3+\log _{2} y^{2}+\log _{2} z\right)\right)\)

Utilice la Propiedad de Poder, \(\log _{a} M^{p}=p \log _{a} M\), dentro de los paréntesis.

\(\frac{1}{4}\left(3 \log _{2} x-\left(\log _{2} 3+2 \log _{2} y+\log _{2} z\right)\right)\)

Simplifique distribuyendo.

\(\frac{1}{4}\left(3 \log _{2} x-\log _{2} 3-2 \log _{2} y-\log _{2} z\right)\)

\(\log _{2} \sqrt[4]{\frac{x^{3}}{3 y^{2} z}}=\frac{1}{4}\left(3 \log _{2} x-\log _{2} 3-2 \log _{2} y-\log _{2} z\right)\)

Ejercicio \(\PageIndex{13}\)

Utilice las Propiedades de los Logaritmos para expandir el logaritmo \(\log _{4} \sqrt[5]{\frac{x^{4}}{2 y^{3} z^{2}}}\). Simplificar, si es posible.

Contestar

\(\frac{1}{5}\left(4 \log _{4} x-\frac{1}{2}-3 \log _{4} y-2 \log _{4} z\right)\)

Ejercicio \(\PageIndex{14}\)

Utilice las Propiedades de los Logaritmos para expandir el logaritmo \(\log _{3} \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{5 y z}}\). Simplificar, si es posible.

Contestar

\(\frac{1}{3}\left(2 \log _{3} x-\log _{3} 5-\log _{3} y-\log _{3} z\right)\)

Lo contrario de expandir un logaritmo es condensar una suma o diferencia de logaritmos que tienen la misma base en un solo logaritmo. Nuevamente usamos las propiedades de los logaritmos para ayudarnos, pero a la inversa.

Para condensar expresiones logarítmicas con la misma base en un logaritmo, comenzamos usando la Propiedad de Potencia para obtener los coeficientes de los términos logarítmicos para ser uno y luego las Propiedades de Producto y Cociente según sea necesario.

Ejemplo \(\PageIndex{8}\)

Utilizar las Propiedades de los Logaritmos para condensar el logaritmo \(\log _{4} 3+\log _{4} x-\log _{4} y\). Simplificar, si es posible.

Solución:

Todas las expresiones log tienen la misma base, \(4\).

Se agregan los dos primeros términos, por lo que utilizamos la Propiedad del Producto, \(\log _{a} M+\log _{a} N=\log _{a} M : N\).

Dado que se restan las bitácoras, utilizamos la Propiedad Cociente, \(\log _{a} M-\log _{a} N=\log _{a} \frac{M}{N}\).

Ejercicio \(\PageIndex{15}\)

Utilizar las Propiedades de los Logaritmos para condensar el logaritmo \(\log _{2} 5+\log _{2} x-\log _{2} y\). Simplificar, si es posible.

Contestar

\(\log _{2} \frac{5 x}{y}\)

Ejercicio \(\PageIndex{16}\)

Utilizar las Propiedades de los Logaritmos para condensar el logaritmo \(\log _{3} 6-\log _{3} x-\log _{3} y\). Simplificar, si es posible.

Contestar

\(\log _{3} \frac{6}{x y}\)

Ejemplo \(\PageIndex{9}\)

Utilizar las Propiedades de los Logaritmos para condensar el logaritmo \(2 \log _{3} x+4 \log _{3}(x+1)\). Simplificar, si es posible.

Solución:

Las expresiones log tienen la misma base, \(3\).

\(2 \log _{3} x+4 \log _{3}(x+1)\)

Utilice la Propiedad de Energía, \(\log _{a} M+\log _{a} N=\log _{a} M \cdot N\).

\(\log _{3} x^{2}+\log _{3}(x+1)^{4}\)

Se agregan los términos, por lo que utilizamos la Propiedad del Producto, \(\log _{a} M+\log _{a} N=\log _{a} M \cdot N\).

\(\log _{3} x^{2}(x+1)^{4}\)
\(2 \log _{3} x+4 \log _{3}(x+1)=\log _{3} x^{2}(x+1)^{4}\)

Ejercicio \(\PageIndex{17}\)

Utilizar las Propiedades de los Logaritmos para condensar el logaritmo \(3 \log _{2} x+2 \log _{2}(x-1)\). Simplificar, si es posible.

Contestar

\(\log _{2} x^{3}(x-1)^{2}\)

Ejercicio \(\PageIndex{18}\)

Utilizar las Propiedades de los Logaritmos para condensar el logaritmo \(2 \log x+2 \log (x+1)\). Simplificar, si es posible.

Contestar

\(\log x^{2}(x+1)^{2}\)

Utilice la fórmula de cambio de base

Para evaluar un logaritmo con cualquier otra base, podemos usar la Fórmula de Cambio de Base. Mostraremos cómo se deriva esto.

\(\begin{array} {l c} {\text{Suppose we want to evaluate} \log_{a}M} & {\log_{a}M} \\ {\text{Let} \:y =\log_{a}M. }&{y=\log_{a}M} \\ {\text{Rewrite the epression in exponential form. }}&{a^{y}=M } \\ {\text{Take the }\:\log_{b} \text{of each side.}}&{\log_{b}a^{y}=\log_{b}M}\\ {\text{Use the Power Property.}}&{y\log_{b}a=\log_{b}M} \\ {\text{Solve for}\:y. }&{y=\frac{\log_{b}M}{\log_{b}a}} \\ {\text{Substiture}\:y=\log_{a}M.}&{\log_{a}M=\frac{\log_{b}M}{\log_{b}a}} \end{array}\)

La fórmula de cambio de base introduce una nueva base \(b\). Esta puede ser cualquier base \(b\) que queramos donde \(b>0,b≠1\). Debido a que nuestras calculadoras tienen claves para logaritmos base \(10\) y base \(e\), reescribiremos la Fórmula de Cambio de Base con la nueva base como \(10\) o \(e\).

Definición \(\PageIndex{6}\)

Fórmula de cambio de base

Para cualquier base logarítmica \(a, b\) y \(M>0\),

\(\begin{array}{lll}{\log _{a} M=\frac{\log _{b} M}{\log _{b} a}} & {\log _{a} M=\frac{\log M}{\log a}} & {\log _{a} M=\frac{\ln M}{\ln a}} \\ {\text { new base } b} & {\text { new base } 10} & {\text { new base } e}\end{array}\)

Cuando usamos una calculadora para encontrar el valor del logaritmo, solemos redondear a tres decimales. Esto nos da un valor aproximado y así utilizamos el símbolo aproximadamente igual \((≈)\).

Ejemplo \(\PageIndex{10}\)

Redondeo a tres decimales, aproximado \(\log _{4} 35\).

Solución:

Cuadro 10.4.2

Utilice la fórmula de cambio de base.
Identificar \(a\) y \(M\). Elija \(10\) por \(b\).
Ingrese la expresión \(\frac{\log 35}{\log 4}\) en la calculadora usando el botón de registro para base \(10\). Redondear a tres decimales.

Ejercicio \(\PageIndex{19}\)

Redondeo a tres decimales, aproximado \(\log _{3} 42\).

Contestar

\(3.402\)

Ejercicio \(\PageIndex{20}\)

Redondeo a tres decimales, aproximado \(\log _{5} 46\).

Contestar

\(2.379\)

Acceda a estos recursos en línea para instrucción adicional y práctica con el uso de las propiedades de los logaritmos.

• Uso de propiedades de logaritmos para expandir registros
• Uso de propiedades de logaritmos para condensar registros
• Cambio de Base

Conceptos Clave

• \(\log _{a} 1=0 \quad \log _{a} a=1\)
• Propiedades inversas de logaritmos
  • Para \(a>0,x>0\) y \(a≠1\)

    \(a^{\log _{a} x}=x \quad \log _{a} a^{x}=x\)

• Propiedad del producto de logaritmos
  • Si \(M>0,N>0,a>0\) y \(a≠1\), entonces,

    \(\log _{a} M \cdot N=\log _{a} M+\log _{a} N\)

    Ellogaritmo de un producto es la suma de los logaritmos.
• Propiedad cociente de logaritmos
  • Si \(M>0, N>0, \mathrm{a}>0\) y \(a≠1\), entonces,

    \(\log _{a} \frac{M}{N}=\log _{a} M-\log _{a} N\)

    Ellogaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos.
• Propiedad de potencia de logaritmos
  • Si \(M>0,a>0,a≠1\) y \(p\) es cualquier número real entonces,

    \(\log _{a} M^{p}=p \log _{a} M\)

    Elregistro de un número elevado a una potencia es el producto de la potencia multiplicada por el registro del número.
• Propiedades de los logaritmos Resumen
  Si \(M>0,a>0,a≠1\) y \(p\) es cualquier número real entonces,

Cuadro 10.4.1

Propiedad	Base \(a\)	Base \(e\)
	\ (a\) ">\(\log _{a} 1=0\)	\ (e\) ">\(\ln 1=0\)
	\ (a\) ">\(\log _{a} a=1\)	\ (e\) ">\(\ln e=1\)
Propiedades inversas	\ (a\) ">\(a^{\log _{a} x}=x\) \(\log _{a} a^{x}=x\)	\ (e\) ">\(e^{\ln x}=x\) \(\ln e^{x}=x\)
Propiedad del producto de logaritmos	\ (a\) ">\(\log _{a}(M \cdot N)=\log _{a} M+\log _{a} N\)	\ (e\) ">\(\ln (M \cdot N)=\ln M+\ln N\)
Propiedad cociente de logaritmos	\ (a\) ">\(\log _{a} \frac{M}{N}=\log _{a} M-\log _{a} N\)	\ (e\) ">\(\ln \frac{M}{N}=\ln M-\ln N\)
Propiedad de potencia de logaritmos	\ (a\) ">\(\log _{a} M^{p}=p \log _{a} M\)	\ (e\) ">\(\ln M^{p}=p \ln M\)

• Fórmula de cambio de base
  Para cualquier base logarítmica \(a\) y \(b\), y \(M>0\),

  \(\begin{array}{ll}{\log _{a} M=\frac{\log _{b} M}{\log _{b} a}} & {\log _{a} M=\frac{\log M}{\log a}} & {\log _{a} M=\frac{\ln M}{\ln a}} \\ {\text { new base } b} & {\text { new base } 10} & {\text { new base } e}\end{array}\)