12.4E: Ejercicios
La práctica hace a la perfección
En los siguientes ejercicios, determine si la secuencia es geométrica, y si es así, indique la relación común.
- \(3,12,48,192,768,3072, \dots\)
- \(2,10,50,250,1250,6250, \dots\)
- \(48,24,12,6,3, \frac{3}{2}, \dots\)
- \(54,18,6,2, \frac{2}{3}, \frac{2}{9}, \dots\)
- \(-3,6,-12,24,-48,96, \dots\)
- \(2,-6,18,-54,162,-486, \dots\)
- Contestar
-
1. La secuencia es geométrica con relación común \(r=4\) .
3. La secuencia es geométrica con relación común \(r=\frac{1}{2}\) .
5. La secuencia es geométrica con relación común \(r=−2\) .
En los siguientes ejercicios, determine si cada secuencia es aritmética, geométrica o ninguna. Si es aritmética, indique la diferencia común. Si es geométrico, indique la relación común.
- \(48,24,12,6,3, \frac{3}{2}, \ldots\)
- \(12,6,0,-6,-12,-18, \dots\)
- \(-7,-2,3,8,13,18, \dots\)
- \(5,9,13,17,21,25, \ldots\)
- \(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}, \frac{1}{64}, \dots\)
- \(4,8,12,24,48,96, \dots\)
- Contestar
-
1. La secuencia es geométrica con relación común \(r=\frac{1}{2}\) .
3. La secuencia es aritmética con diferencia común \(d=5\) .
5. La secuencia es geométrica con relación común \(r=\frac{1}{2}\) .
En los siguientes ejercicios, escribe los primeros cinco términos de cada secuencia geométrica con el primer término dado y la relación común.
- \(a_{1}=4\) y \(r=3\)
- \(a_{1}=9\) y \(r=2\)
- \(a_{1}=-4\) y \(r=-2\)
- \(a_{1}=-5\) y \(r=-3\)
- \(a_{1}=27\) y \(r=\frac{1}{3}\)
- \(a_{1}=64\) y \(r=\frac{1}{4}\)
- Contestar
-
1. \(4,12,36,108,324\)
3. \(-4,8,-16,32,-64\)
5. \(27,9,3,1, \frac{1}{3}\)
- Encuentra \(a_{11}\) dado \(a_{1}=8\) y \(r=3\) .
- Encuentra \(a_{13}\) dado \(a_{1}=7\) y \(r=2\) .
- Encuentra \(a_{10}\) dado \(a_{1}=-6\) y \(r=-2\) .
- Encuentra \(a_{15}\) dado \(a_{1}=-4\) y \(r=-3\) .
- Encuentra \(a_{10}\) dado \(a_{1}=100,000\) y \(r=0.1\) .
- Encuentra \(a_{8}\) dado \(a_{1}=1,000,000\) y \(r=0.01\) .
- Contestar
-
1. \(472,392\)
3. \(3,072\)
5. \(0.0001\)
En los siguientes ejercicios, encuentra el término indicado de la secuencia dada. Encuentra el término general para la secuencia.
- Hallar \(a_{9}\) de la secuencia, \(9,18,36,72,144,288, \dots\)
- Hallar \(a_{12}\) de la secuencia, \(5,15,45,135,405,1215, \dots\)
- Hallar \(a_{15}\) de la secuencia, \(-486,162,-54,18,-6,2, \dots\)
- Hallar \(a_{16}\) de la secuencia, \(224,-112,56,-28,14,-7, \ldots\)
- Hallar \(a_{10}\) de la secuencia, \(1,0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001, \ldots\)
- Hallar \(a_{9}\) de la secuencia, \(1000,100,10,1,0.1,0.01, \dots\)
- Contestar
-
1. \(a_{9}=2,304 .\) El término general es \(a_{n}=9(2)^{n-1}\) .
3. \(a_{15}=-\frac{2}{19,683} .\) El término general es \(a_{n}=-486\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}\) .
5. \(a_{10}=0.000000001 .\) El término general es \(a_{n}=(0.1)^{n-1}\) .
En los siguientes ejercicios, encuentra la suma de los primeros quince términos de cada secuencia geométrica.
- \(8,24,72,216,648,1944, \dots\)
- \(7,14,28,56,112,224, \dots\)
- \(-6,12,-24,48,-96,192, \dots\)
- \(-4,12,-36,108,-324,972, \ldots\)
- \(81,27,9,3,1, \frac{1}{3}, \ldots\)
- \(256,64,16,4,1, \frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \dots\)
- Contestar
-
1. \(57,395,624\)
3. \(-65,538\)
5. \(\frac{7,174,453}{59,049} \approx 121.5\)
En los siguientes ejercicios, encuentra la suma de la secuencia geométrica.
- \(\sum_{i=1}^{15}(2)^{i}\)
- \(\sum_{i=1}^{10}(3)^{i}\)
- \(\sum_{i=1}^{9} 4(2)^{i}\)
- \(\sum_{i=1}^{8} 5(3)^{i}\)
- \(\sum_{i=1}^{10} 9\left(\frac{1}{3}\right)^{i}\)
- \(\sum_{i=1}^{15} 4\left(\frac{1}{2}\right)^{i}\)
- Contestar
-
1. \(65,534\)
3. \(4088\)
5. \(\frac{29,524}{6561} \approx 4.5\)
En los siguientes ejercicios, encuentra la suma de cada serie geométrica infinita.
- \(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243}+\frac{1}{729}+\ldots\)
- \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\ldots\)
- \(6-2+\frac{2}{3}-\frac{2}{9}+\frac{2}{27}-\frac{2}{81}+\ldots\)
- \(-4+2-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\dots\)
- \(6+12+24+48+96+192+\dots\)
- \(5+15+45+135+405+1215+\ldots\)
- \(1,024+512+256+128+64+32+\ldots\)
- \(6,561+2187+729+243+81+27+\dots\)
- Contestar
-
1. \(\frac{3}{2}\)
3. \(\frac{9}{2}\)
5. ninguna suma como \(r≥1\)
7.\ (2,048\ (
En los siguientes ejercicios, escribe cada decimal repetido como fracción.
- \(0 . \overline{3}\)
- \(0 . \overline{6}\)
- \(0 . \overline{7}\)
- \(0 . \overline{2}\)
- \(0 . \overline{45}\)
- \(0 . \overline{27}\)
- Contestar
-
1. \(\frac{1}{3}\)
3. \(\frac{7}{9}\)
5. \(\frac{5}{11}\)
En los siguientes ejercicios, resuelve el problema.
- Encontrar el efecto total en la economía de cada rebaja de impuestos gubernamentales a cada hogar con el fin de estimular la economía si cada hogar gastará el porcentaje indicado de la rebaja en bienes y servicios.
| Rebaja de impuestos a cada hogar | Porcentaje gastado en bienes y servicios | Efecto total en la economía |
|---|---|---|
| a. $ \(1,000\) | \(85\) % | |
| b. $ \(1,000\) | \(75\) % | |
| c. $ \(1,500\) | \(90\) % | |
| d. $ \(1,500\) | \(80\) % |
2. Los nuevos abuelos deciden invertir $ \(100\) al mes en una anualidad para su nieto. La cuenta pagará \(6\) % de interés anual el cual se agrava mensualmente ( \(12\) veces al año). ¿Cuánto habrá en la cuenta del niño en su vigésimo primer cumpleaños?
3. Berenice acaba de conseguir su primer trabajo de tiempo completo después de graduarse de la universidad a la edad \(30\) . Decidió invertir $ \(500\) por trimestre en una IRA (una anualidad). El interés de la anualidad es \(7\) % el cual se compone trimestralmente ( \(4\) veces al año). ¿Cuánto habrá en la cuenta de la Berenice cuando se retire a la edad \(65\) ?
4. Alice quiere comprar una casa en unos cinco años. Ella está depositando $ \(500\) al mes en una anualidad que gana \(5\) % por año que se agrava mensualmente ( \(12\) veces al año). ¿Cuánto tendrá Alice por su pago inicial en cinco años?
5. Myra acaba de conseguir su primer trabajo de tiempo completo después de graduarse de la universidad. Ella planea obtener una maestría, y también lo es depositar $ \(2,500\) al año de su bono de fin de año en una anualidad. La anualidad paga \(6.5\) % anual y se compone anualmente. ¿Cuánto habrá ahorrado en cinco años para cursar su maestría?
- Contestar
-
1. a. $ \(6666.67\) b. $ \(4000\) c. $ \(15,000\) d. $ \(7500\)
3. $ \(295,581.88\)
5. $ \(14,234.10\)
- En tus propias palabras, explica cómo determinar si una secuencia es geométrica.
- En tus propias palabras, explica cómo encontrar el término general de una secuencia geométrica.
- En tus propias palabras, explica la diferencia entre una secuencia geométrica y una serie geométrica.
- En tus propias palabras, explica cómo determinar si una serie geométrica infinita tiene una suma y cómo encontrarla.
- Contestar
-
2. Las respuestas variarán.
4. Las respuestas variarán
Autocomprobación
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