4.1: Notación científica

En muchas disciplinas de la ciencia y la ingeniería, se deben gestionar cantidades numéricas muy grandes y muy pequeñas. Algunas de estas cantidades son alucinantes en su tamaño, ya sea extremadamente pequeñas o extremadamente grandes. Tomemos por ejemplo la masa de un protón, una de las partículas constitutivas del núcleo de un átomo: Masa de

protones = 0.00000000000000000000000167 gramos

O, considere el número de electrones que pasan por un punto en un circuito cada segundo con una eléctrica constante corriente de 1 amp:

1 amp = 6,250,000,000,000,000,000 electrones por segundo

Muchos ceros, ¿no? Obviamente, puede resultar bastante confuso tener que manejar tantos dígitos cero en números como este, incluso con la ayuda de calculadoras y computadoras.
Toma nota de esos dos números y de la relativa dispersidad de dígitos distintos de cero en ellos. Para la masa del protón, todo lo que tenemos es un “167” precedido de 23 ceros antes del punto decimal. Para el número de electrones por segundo en 1 amp, tenemos “625” seguido de 16 ceros. Llamamos al lapso de dígitos distintos de cero (del primero al último), más cualquier cero dígitos no utilizados simplemente para el mantenimiento de posición, los “dígitos significativos” de cualquier número.

Los dígitos significativos en una medición del mundo real suelen ser un reflejo de la precisión de esa medición. Por ejemplo, si dijéramos que un auto pesa 3 mil libras, probablemente no queremos decir que el auto en cuestión pese exactamente 3 mil libras, sino que hemos redondeado su peso a un valor más cómodo de decir y recordar. Esa cifra redondeada de 3,000 tiene solo un dígito significativo: el “3” al frente, los ceros simplemente sirven como marcadores de posición. No obstante, si dijéramos que el auto pesaba 3,005 libras, el hecho de que el peso no esté redondeado a las mil libras más cercanas nos dice que los dos ceros en el medio no son solo marcadores de posición, sino que los cuatro dígitos del número “3,005” son significativos para su precisión representativa. De esta manera, se dice que el número “3,005” tiene cuatro cifras significativas.

De la misma manera, los números con muchos dígitos cero no son necesariamente representativos de una cantidad del mundo real hasta el punto decimal. Cuando se sabe que este es el caso, tal número puede escribirse en una especie de “taquigrafía” matemática para que sea más fácil de tratar. Esta “taquigrafía” se llama notación científica.
Con notación científica, un número se escribe representando sus dígitos significativos como una cantidad entre 1 y 10 (o -1 y -10, para números negativos), y los ceros “marcadores de posición” son contabilizados por un multiplicador de potencia de diez. Por ejemplo:

1 amp = 6,250,000,000,000,000,000 electrones por segundo

.. se puede expresar como.

1 amp = 6.25 x 10 ¹⁸ electrones por segundo

10 a la potencia 18 (10 ¹⁸) significa 10 multiplicado por sí mismo 18 veces, o un “1” seguido de 18 ceros. Multiplicado por 6.25, parece “625” seguido de 16 ceros (toma 6.25 y salta el punto decimal 18 lugares a la derecha). Las ventajas de la notación científica son obvias: el número no es tan difícil de manejar cuando se escribe en papel, y los dígitos significativos son claros de identificar.
Pero ¿qué pasa con números muy pequeños, como la masa del protón en gramos? Todavía podemos usar notación científica, excepto con una potencia negativa de diez en lugar de una positiva, para desplazar el punto decimal hacia la izquierda en lugar de hacia la derecha: Masa

protónica = 0.00000000000000000000000167 gramos

. se puede expresar como.

Masa protónica = 1.67 x 10 ^-24 gramos

10 a la potencia -24 (^10-24) significa el inverso (1/x) de 10 multiplicado por sí mismo 24 veces, o un “1” precedido por un punto decimal y 23 ceros. Multiplicado por 1.67, parece “167” precedido de un punto decimal y 23 ceros. Al igual que en el caso del número muy grande, es mucho más fácil para un ser humano lidiar con esta notación “taquigráfica”. Al igual que en el caso anterior, se expresan claramente los dígitos significativos en esta cantidad.
Debido a que los dígitos significativos se representan “por sí solos”, lejos del multiplicador de potencia de diez, es fácil mostrar un nivel de precisión incluso cuando el número parece redondo. Tomando nuestro ejemplo de auto de 3,000 libras, podríamos expresar el número redondeado de 3,000 en notación científica como tal: peso del

auto = 3 x 10 ³ libras

Si el auto realmente pesaba 3,005 libras (exacto a la libra más cercana) y quisiéramos ser capaz de expresar esa total precisión de medición, la cifra de notación científica podría escribirse así: peso

del auto = 3.005 x 10 ³ libras

Sin embargo, ¿y si el auto realmente pesaba 3,000 libras, exactamente (a la libra más cercana)? Si escribiéramos su peso en forma “normal” (3,000 libras), no necesariamente estaría claro que este número era efectivamente exacto a la libra más cercana y no sólo redondeado a las mil libras más cercanas, o a las cien libras más cercanas, o a las diez libras más cercanas. La notación científica, por otro lado, nos permite demostrar que los cuatro dígitos son significativos sin malentendidos: peso del

auto = 3.000 x 10 ³ libras

Ya que no tendría sentido sumar ceros extra a la derecha del decimal punto (siendo innecesarios los ceros de marcador de posición con notación científica), sabemos que esos ceros deben ser significativos para la precisión de la figura.