15.2: Inductores y Cálculo

Los inductores no tienen una “resistencia” estable como lo hacen los conductores. Sin embargo, existe una relación matemática definida entre voltaje y corriente para un inductor, de la siguiente manera:

Debe reconocer la forma de esta ecuación a partir del capítulo de condensadores. Se relaciona una variable (en este caso, caída de voltaje del inductor) con una tasa de cambio de otra variable (en este caso, la corriente del inductor). Tanto el voltaje (v) como la tasa de cambio de corriente (di/dt) son instantáneos: es decir, en relación a un punto específico en el tiempo, de ahí las letras minúsculas “v” e “i”. Al igual que con la fórmula del condensador, es convencional expresar voltaje instantáneo como v en lugar de e, pero usar esta última designación no estaría mal. La tasa de cambio actual (di/dt) se expresa en unidades de amperios por segundo, un número positivo que representa un aumento y un número negativo que representa una disminución.

Al igual que un condensador, el comportamiento de un inductor se basa en la variable de tiempo. Aparte de cualquier resistencia intrínseca a la bobina de cable de un inductor (que asumiremos que es cero por el bien de esta sección), el voltaje caído a través de los terminales de un inductor está puramente relacionado con la rapidez con la que cambia su corriente con el tiempo.

Supongamos que íbamos a conectar un inductor perfecto (uno con cero ohmios de resistencia de cable) a un circuito donde pudiéramos variar la cantidad de corriente a través de él con un potenciómetro conectado como una resistencia variable:

Si el mecanismo del potenciómetro permanece en una sola posición (el limpiaparabrisas está estacionario), el amperímetro conectado en serie registrará una corriente constante (invariable) y el voltímetro conectado a través del inductor registrará 0 voltios. En este escenario, la tasa instantánea de cambio de corriente (di/dt) es igual a cero, debido a que la corriente es estable. La ecuación nos dice que con el cambio de 0 amperios por segundo para un di/dt, debe haber cero voltaje instantáneo (v) a través del inductor. Desde una perspectiva física, sin cambio de corriente, habrá un campo magnético estable generado por el inductor. Sin cambio en el flujo magnético (dΦ/dt = 0 Weber por segundo), no habrá caída de voltaje en toda la longitud de la bobina debido a la inducción.

Si movemos el limpiaparabrisas del potenciómetro lentamente en la dirección “arriba”, su resistencia de extremo a extremo disminuirá lentamente. Esto tiene el efecto de aumentar la corriente en el circuito, por lo que la indicación del amperímetro debe estar aumentando a un ritmo lento:

Suponiendo que el limpiaparabrisas del potenciómetro se esté moviendo de tal manera que la tasa de incremento de corriente a través del inductor sea constante, el término di/dt de la fórmula será un valor fijo. Este valor fijo, multiplicado por la inductancia del inductor en Henrys (también fijo), da como resultado un voltaje fijo de cierta magnitud. Desde una perspectiva física, el aumento gradual de la corriente da como resultado un campo magnético que también va en aumento. Este aumento gradual en el flujo magnético provoca que se induzca un voltaje en la bobina como se expresa por la ecuación de inducción de Michael Faraday e = N (dΦ/dt). Este voltaje autoinducido a través de la bobina, como resultado de un cambio gradual en la magnitud de la corriente a través de la bobina, pasa a ser de una polaridad que intenta oponerse al cambio de corriente. En otras palabras, la polaridad de voltaje inducida resultante de un aumento en la corriente se orientará de tal manera que empuje contra la dirección de la corriente, para tratar de mantener la corriente en su magnitud anterior. Este fenómeno exhibe un principio más general de la física conocido como Ley de Lenz, que establece que un efecto inducido siempre estará opuesto a la causa que lo produce.

En este escenario, el inductor estará actuando como una carga, con el lado negativo del voltaje inducido en el extremo donde entran los electrones, y el lado positivo del voltaje inducido en el extremo donde salen los electrones.

Cambiar la tasa de aumento de corriente a través del inductor moviendo el limpiaparabrisas del potenciómetro “hacia arriba” a diferentes velocidades da como resultado que se caigan diferentes cantidades de voltaje a través del inductor, todos con la misma polaridad (oponiéndose al aumento de corriente):

Aquí nuevamente vemos la función derivada del cálculo exhibida en el comportamiento de un inductor. En términos de cálculo, diríamos que el voltaje inducido a través del inductor es la derivada de la corriente a través del inductor: es decir, proporcional a la tasa de cambio de la corriente con respecto al tiempo.

Invertir la dirección del movimiento del limpiaparabrisas en el potenciómetro (ir “hacia abajo” en lugar de “arriba”) dará como resultado un aumento de su resistencia de extremo a extremo. Esto dará como resultado una disminución de la corriente del circuito (una cifra negativa para di/dt). El inductor, siempre opuesto a cualquier cambio de corriente, producirá una caída de voltaje opuesta a la dirección del cambio:

La cantidad de voltaje que producirá el inductor depende, por supuesto, de la rapidez con la que disminuya la corriente a través del mismo. Según lo descrito por la Ley de Lenz, el voltaje inducido se opondrá al cambio de corriente. Con una corriente decreciente, la polaridad del voltaje se orientará para tratar de mantener la corriente en su magnitud anterior. En este escenario, el inductor actuará como fuente, con el lado negativo del voltaje inducido en el extremo donde salen los electrones, y el lado positivo del voltaje inducido en el extremo donde entran los electrones. Cuanto más rápidamente se disminuya la corriente, más voltaje será producido por el inductor, en su liberación de energía almacenada para tratar de mantener constante la corriente.

Nuevamente, la cantidad de voltaje a través de un inductor perfecto es directamente proporcional a la tasa de cambio de corriente a través de él. La única diferencia entre los efectos de una corriente decreciente y una corriente creciente es la polaridad de la tensión inducida. Para la misma tasa de cambio de corriente a lo largo del tiempo, ya sea aumentando o disminuyendo, la magnitud del voltaje (voltios) será la misma. Por ejemplo, un di/dt de -2 amperios por segundo producirá la misma cantidad de caída de voltaje inducida a través de un inductor que un di/dt de +2 amperios por segundo, justo en la polaridad opuesta.

Si la corriente a través de un inductor se ve obligada a cambiar muy rápidamente, se producirán voltajes muy altos. Considera el siguiente circuito:

En este circuito, se conecta una lámpara a través de los terminales de un inductor. Se utiliza un interruptor para controlar la corriente en el circuito, y la alimentación es suministrada por una batería de 6 voltios. Cuando el interruptor está cerrado, el inductor se opondrá brevemente al cambio de corriente de cero a alguna magnitud, pero bajará solo una pequeña cantidad de voltaje. Se necesitan alrededor de 70 voltios para ionizar el gas neón dentro de una bombilla de neón como esta, por lo que la bombilla no se puede encender en los 6 voltios producidos por la batería, o la baja tensión que cae momentáneamente por el inductor cuando el interruptor está cerrado:

Sin embargo, cuando se abre el interruptor, de repente introduce una resistencia extremadamente alta en el circuito (la resistencia del entrehierro entre los contactos). Esta repentina introducción de alta resistencia en el circuito hace que la corriente del circuito disminuya casi instantáneamente. Matemáticamente, el término di/dt será un número negativo muy grande. Un cambio tan rápido de corriente (de alguna magnitud a cero en muy poco tiempo) inducirá un voltaje muy alto a través del inductor, orientado con negativo a la izquierda y positivo a la derecha, en un esfuerzo por oponerse a esta disminución de corriente. El voltaje producido suele ser más que suficiente para encender la lámpara de neón, aunque sólo sea por un breve momento hasta que la corriente decae a cero:

Para un efecto máximo, el inductor debe dimensionarse lo más grande posible (al menos 1 Henry de inductancia).