4.1: Notación científica

La notación científica se utiliza para hacer números muy grandes como 4,895,000,000 o números muy pequeños como 0.0000073 más fáciles de usar. En la industria del agua, utilizamos números muy grandes cuando nos referimos al volumen de agua en tanques grandes o números muy pequeños cuando nos referimos a contaminantes por galón de agua.

Forma de notación científica:

\[\underbrace{(a\ decimal)}_{between\ 0\ and\ 10\ \left(not\ including\ 10\right)} \times {10}^{power}\]

Para convertir de la notación científica al número real

• Para un exponente positivo en el 10, mueva el decimal hacia la derecha el número equivalente de espacios como la potencia
• Para un exponente negativo en el 10, mueva el decimal hacia la izquierda el número equivalente de espacios como el valor absoluto de la potencia

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Convertir la notación científica al número real:\(8.735 \times {10}^7\)

Solución

Dado que la potencia de 10 es positiva 7, moveremos el decimal 7 unidades a la DERECHA para obtener: 87,350,000

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Convertir la notación científica al número real:\(2.356 \times {10}^{-4}\)

Solución

Dado que la potencia de 10 es negativa 4, moveremos la posición decimal 4 unidades a la IZQUIERDA para obtener: 0.2356

Convertir un número positivo a notación científica

• Mueva el decimal a la derecha del primer dígito distinto de cero. Esta será la parte del número decimal de la notación científica.
• Si la posición decimal se movió hacia la izquierda, use una potencia positiva de 10 basada en el número de lugares en los que se movió el decimal
• Si la posición decimal se movió hacia la derecha, use una potencia negativa de 10 basada en el número de lugares en los que se movió el decimal

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Convertir 567,900,000 en notación científica.

Solución

Actualmente, se entiende que el decimal es posterior al último dígito ya que se trata de un número entero, así que mueve el decimal a la izquierda 8 lugares para que el decimal esté entre 5 y 6, de ahí que la notación científica sea\(5.679 \times {10}^8\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Convertir 0.00032 a notación científica.

Solución

Mueve el decimal a la derecha 4 lugares para que el decimal esté entre 3 y 2 para crear un número decimal de 3.2 y la potencia de 10 sería entonces negativo 4 ya que movimos el decimal a la derecha 4 lugares. La notación científica sería\(3.2 \times {10}^{-4}\)

Nota

Los números que sean mayores a 1 tendrán un poder positivo de 10 en notación científica y los números que sean menores a 1 (pero aún positivos) tendrán un poder negativo de 10 en notación científica.

Visualización de notación científica en calculadoras científicas

Para multiplicar y dividir números en notación científica, podemos multiplicar (o dividir) los decimales y multiplicar (o dividir) los poderes de 10, luego simplificarlos reescribiendo en la forma apropiada de notación científica. Para ello, necesitaremos entender algunas reglas de exponentes.

Regla de exponentes

1. Al multiplicar expresiones con la misma base, mantenemos la base y agregamos los exponentes:

\[a^x\cdot a^y=a^{x+y}\]

2. Al dividir expresiones con la misma base, mantenemos la base y restamos los exponentes:

\[\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}\]

3. Los exponentes negativos se convierten en exponentes positivos si movemos la expresión al lado opuesto de una fracción:

\[a^{-x}=\frac{1}{a^x} \,\,\, \text{and} \,\,\, \frac{1}{a^{-x}}=a^x\]

4. Una expresión diferente de cero elevada a un exponente de cero es equivalente a 1:

\[a^0=1\]

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Multiplicar y simplificar usando notación científica:\((2.45\times {10}^6)(3.23\times {10}^{-15})\)

Solución

Primero, podemos reorganizar la multiplicación para obtener:

\[\left(2.45\times {10}^6\right)\left(3.23\times {10}^{-15}\right)\]

\[=\left(2.45\right)\left(3.23\right)\times ({10}^6)({10}^{-15})\]

A continuación, podemos multiplicar los decimales, luego multiplicar las potencias de 10 usando una regla de exponente:

\[=7.9135\times {10}^{6+\left(-15\right)}\]

\[=7.9135\times {10}^{-9}\]

Dado que el valor decimal de 7.9135 está entre 0 y 10 (sin incluir 10), entonces esta es la forma de notación científica adecuada.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Multiplicar y simplificar usando notación científica:\((8.7\times {10}^{-6})(2.5\times {10}^{12})\)

Solución

Primero, podemos reorganizar la multiplicación para obtener:

\[(8.7\times {10}^{-6})(2.5\times {10}^{12})=\left(8.7\right)\left(2.5\right)\times ({10}^{-6})({10}^{12})\]

A continuación, podemos multiplicar los decimales, luego multiplicar las potencias de 10 usando una regla de exponente:

\[=21.75\times {10}^{-6+12}\]

\[=21.75\times {10}^6\]

Dado que el valor decimal de 21.75 no está entre 0 y 10 (sin incluir 10), necesitamos convertirlo a la forma de notación científica adecuada y simplificarlo aún más

\[21.75\times {10}^6=\left(2.175\times {10}^1\right)\times {10}^6\]

\[\ \ \ \ \ \ =2.175\times {10}^{1+6}\]

\[=2.175\times {10}^7\]

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Dividir y simplificar usando notación científica:\(\frac{4.125\times {10}^{13}}{7.5\times {10}^{-2}}\)

Solución

Primero, dividimos los decimales, luego dividimos los poderes de 10 usando una regla de exponente:

\[\frac{4.125\times 10^{13}}{7.5\times 10^{-2}}=\frac{4.125}{7.5} \times \frac{10^{13}}{10^{-2}}\]

\[=0.55\times {10}^{13-\left(-2\right)}\]

\[=0.55\times {10}^{15}\]

Dado que el valor decimal de 0.55 no está entre 0 y 10 (sin incluir 10), necesitamos convertirlo a la forma de notación científica adecuada y simplificarlo aún más

\[0.55\times {10}^{15}=\left(5.5\times {10}^{-1}\right)\times {10}^{15}\]

\[=5.5\times {10}^{-1+15}\]

\[=5.5\times {10}^{14}\]