4.2: Redondeo

Hemos estado usando números decimales a lo largo de nuestras vidas, pero tomemos un tiempo para formalizar el idioma para que podamos aprender a redondear decimales apropiadamente.

Lectura de números decimales:

Fracción	Decimal	Nombre
\(\dfrac{1}{10}\)	0.1	Una décima
\(\dfrac{1}{100}\)	0.01	Centésima
\(\dfrac{1}{1000}\)	0.001	Milésima
\(\dfrac{1}{10000}\)	0.0001	Una diezmilésima
\(\dfrac{1}{100000}\)	0.00001	Ciento milésima

A los valores positorios a la derecha del decimal se les dan los siguientes nombres:

Décimas, centésimas, milésimas, diez milésimas, centésimas, millonésimas, etc.

En consecuencia, leemos 5.643 como “cinco y seiscentésimos cuarenta y tres milésimas desde el último dígito después del decimal termina en el lugar de las milésimas.

Ejemplos:

1. 45.6 se lee como “cuarenta y cinco y seis décimas”
2. En el número 543.7892, el 8 está en qué valor posicionar? Dado que el 8 es dos dígitos después del punto decimal, el valor positorio es centésimas.
3. 0.0143 se lee como “ciento cuarenta y tres diez milésimas

Para redondear decimales, redondear al decimal más cercano,

1. Considere el número a la derecha del valor positorio de redondeo deseado
   1. Si el dígito es menor que 5 (4 o menos), truncamos al valor positorio de redondeo deseado, es decir, bajamos todos los dígitos después del valor positorio de redondeo deseado
   2. Si el dígito es 5 o más, redondeamos sumando 1 al valor positorio de redondeo deseado antes de dejar caer todos los dígitos restantes a la derecha

Ejemplos:

1. Redondea 32.784 a la centésima más cercana.Dado que 8 está en el lugar centésimas, consideramos el número inmediatamente a la derecha (en el lugar milésimas), ya que 4 es menor que 5, bajamos todos los dígitos después del lugar de centésimas para obtener 32.78.
2. Redondea 32.786 a la centésima más cercana.Dado que 8 está en el lugar centésimas, consideramos el número inmediatamente a la derecha (en el lugar milésimas), ya que 6 es más de 5, agregamos 1 a 8 (en el lugar de centésimas, esto se llama redondeo hacia arriba) y bajamos todos los dígitos después del lugar de centésimas para obtener 32.79.
3. Redondea 6.48327 a la milésima más cercana.Comenzamos por considerar el valor del dígito inmediatamente después del lugar de las milésimas, que es 2, ya que 2 es menor que 5, bajamos todos los dígitos después del lugar de las milésimas para obtener 6.483 como el número redondeado a la milésima más cercana.
4. Redondear 6.4592 al más cercano
   1. Décima\(\Rightarrow\) Dado que 5 inmediatamente sigue al décimo lugar, redondeamos el 4 en los décimos lugar arriba un número a 5 (sumando 1 a 4) para obtener 6.5 como el número redondeado al décimo lugar.
   2. Centésima\(\Rightarrow\) Desde el 9 inmediatamente sigue al lugar de las centésimas, redondeamos el 5 en el lugar de centésimas hasta el 6 para obtener 6.46 como el número redondeado al lugar de centésimas.
   3. milésima\(\Rightarrow\) Desde 2 inmediatamente sigue al lugar milésimas, redondeamos el 5 en el lugar centésimas hasta 6 para obtener 6.46 como el número redondeado al lugar centésimas.
5. Redondea 6.4597 a la milésima más cercana (a tres decimales) .Dado que el cuarto dígito es 5 o superior, debemos redondear el tercer dígito después del decimal al alza sumando 1, pero si sumamos 1 a 9, obtendríamos 10, entonces pensamos en 59 (el segundo y tercer lugar después del decimal y redondearlo por 1 para obtener 60, de ahí 6 .4597 redondeado a tres decimales o la milésima más cercana pasa a ser 6.460. Debemos escribir el cero en el milésimo lugar en este caso para mostrar el redondeo a tres decimales, sin el cero al final, el redondeo sería incorrecto.

Cifras significativas

Se utilizan cifras significativas para asegurar la precisión de un cálculo basado en los números utilizados dentro del cálculo. Cuando un problema no especifica cómo redondear una respuesta o no está implícito en su contexto (como el dinero), utilizamos cifras significativas.

Los siguientes dígitos se consideran significativos:

• Dígitos entre 1-9. Ejemplo: 875 consistirían en tres cifras significativas.
• Cualquier ceros entre dígitos distintos de cero. Ejemplo: 20.07 y 5608 consistirían ambos en cuatro cifras significativas.
• Los ceros finales en un número decimal son significativos

Los siguientes dígitos representan casos ambiguos, por lo que el mejor método para determinar las cifras significativas es convertir el número a notación científica:

• Cualesquiera ceros en números que no contengan un punto decimal. Ejemplo: 530,000 dependiendo de la situación, esto podría representar dos cifras significativas o seis cifras significativas, así que vamos a convertirla a notación científica para obtener:\(5.3\ X\ {10}^4\) que ahora representarían dos cifras significativas. En general, si se utilizan los ceros para ubicar el punto decimal, no son cifras significativas, mientras que si los ceros se están utilizando para la precisión, se incluyen como cifras significativas.

Los siguientes dígitos no son significativos:

• Si un número es menor que 1, los ceros que se producen después del punto decimal pero antes de un dígito distinto de cero. Ejemplo: 0.0075 consistiría en dos cifras significativas

Al realizar cálculos, el número de cifras significativas de la respuesta final es equivalente al menor número de cifras significativas proporcionadas en el cálculo.

Ejemplos:

1. Indicar el número de cifras significativas en cada uno de los siguientes números
   1. 3.402\(\Rightarrow\) 4 cifras significativas, se cuentan los dígitos distintos de cero ya que están entre 1-9 y el cero se cuenta ya que está entre dos dígitos distintos de cero
   2. 0.000472\(\Rightarrow\) 3 cifras significativas; este número es menor que 1, por lo que los ceros después del punto decimal pero antes de los dígitos distintos de cero no cuentan, por lo que solo contamos los dígitos entre 1-9
   3. \(8.0\ X\ {10}^4\)\(\Rightarrow\)2 cifras significativas; consideramos el valor decimal (no la potencia de 10), el cero final cuenta ya que se utiliza para mostrar la precisión del número
   4. 452,000 caso\(\Rightarrow\) ambiguo, de 3 a 6 cifras significativas dependiendo del contexto del número
2. Redondear los siguientes números a tres cifras significativas
   1. 89.0146\(\Rightarrow\) Dado que el cero después del punto decimal es significativo ya que está entre dos dígitos distintos de cero, redondeamos al décimo más cercano en esta caja para obtener 89.0
   2. 0.005324\(\Rightarrow\) Dado que este número es menor que 1, los ceros inmediatos a la derecha del punto decimal no son significativos, por lo que para redondear a tres cifras significativas, redondeamos a la centésima milésima más cercana para obtener 0.00532
   3. 872.58\(\Rightarrow\) Dado que todos los dígitos son significativos, para redondear a tres cifras significativas, redondeamos al número entero más cercano (tres dígitos de la izquierda) para obtener 873.
   4. 8723.158\(\Rightarrow\) Dado que todos los dígitos son significativos, para redondear a tres cifras significativas, redondeamos al diez más cercano (tres dígitos de la izquierda) para obtener 8720.
   5. 65,207\(\Rightarrow\) Dado que todos los dígitos son significativos, para redondear a tres cifras significativas, redondeamos al cien más cercano (tres dígitos de la izquierda) o 65,200.
3. Con base en los cálculos dados, indique el número de cifras significativas de la respuesta, luego realice el cálculo y redondearlo con base en las cifras significativas
   1. \((4.5)(2.33)(6.232)\)\(\Rightarrow\)Dos cifras significativas ya que 4.5 tiene el menor número de cifras significativas. \[\left(4.5\right)\left(2.33\right)\left(6.232\right)=65.34252\,\,\, \text{which rounds to 65} \nonumber\]
   2. \(\frac{(2.543)(3.516)}{0.01}\)\(\Rightarrow\)Una cifra significativa desde 0.01 tiene el menor número de cifras significativas. \[\frac{(2.543)(3.516)}{0.01}=\frac{8.941188}{0.01}=894.1188 \,\,\, \text{which rounds to 900}\nonumber \]