5.2: Proporciones
- Page ID
- 155768
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
Una proporción determina la relación entre dos variables en lo que se refiere a la magnitud o tamaño de las variables. Una relación proporcional muestra que dos ratios son equivalentes de tal manera que a medida que cambia una cantidad, otra cantidad cambia en una cantidad relativa.
Para resolver problemas de proporción, establecemos una ecuación tal que dos proporciones son equivalentes:
\[\dfrac{\text{One characteristic from one item}}{\text{A second characteristic from the same item}}=\dfrac{\text{the same first characteristic from a second item}}{\text{the same second characteristic from the second item}} \label{ratio} \]
Siete contenedores de un químico cuesta $125. Si el costo de los contenedores es proporcional, es decir, el precio unitario no cambia, determinar el costo de 12 contenedores del mismo químico.
Solución
Comencemos configurando las fracciones como en Ecuación\ ref {ratio}:
\[\begin{align*} \dfrac{\text{Number of containers}}{\text{Cost of those containers}} &=\dfrac{\text{Number of another set of containers}}{\text{Cost of those containers}} \\[4pt] \dfrac{7\, \text{containers}}{\$125} &=\dfrac{12\, \text{containers}}{x} \end{align*}\]
Para resolver para\(x\) podemos utilizar uno de dos métodos:
Método 1: Resolver para\(x\) aislando el\(x\) (usando la información aprendida en la Unidad 3)
Multiplica ambos lados de la ecuación por\(x\):\[\dfrac{7}{125}x=12 \nonumber\]
Multiplica ambos lados de la ecuación por $125:\[\begin{align*} 7x &=12\cdot 125 \\[4pt] 7x&=1500 \end{align*}\]
Divide ambos lados de la ecuación por 7 contenedores:\[x=\dfrac{1500}{7}=\$214.29 \nonumber\]
Método 2: Usar multiplicación cruzada: Multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción y establecerlo igual a la multiplicación del numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera fracción.
\[\begin{align*} \left(7 \, \text{containers}\right)\cdot \left(\$x\right) &=\left(12 \, \text{containers} \right)\cdot \left(\$125\right) \\[4pt] 7x &=1500 \\[4pt] x&=\dfrac{1500}{7} \\[4pt] &=\$214.29 \end{align*}\]
De ahí que el costo de los 12 contenedores sea de 214.29 dólares.
Queremos estimar el número de peces en un estanque. Supongamos que capturamos 280 peces, los tabulamos y los arrojamos de nuevo al estanque. Después de un par de días, regresamos al estanque y capturamos 420 peces, de los cuales 28 están etiquetados. Estimar el número de peces en el estanque.
Deseamos mezclar una solución de hipoclorito y agua disolviendo 4.8 libras de hipoclorito en 70 galones de agua. Para la misma concentración, ¿cuántas libras de hipoclorito debemos disolver en 20 galones de agua?
Solución
Comencemos configurando las fracciones como en Ecuación\ ref {ratio}:
\[\begin{align*} \dfrac{\text{Number of pounds of hypochlorite}}{\text{Number of gallons of water}}&=\dfrac{\text{Number of pounds of hypochlorite}}{\text{Number of gallons of water}} \\[4pt] \dfrac{4.8\, \text{lbs}}{70\, \text{gal}} &=\dfrac{x\, \text{lbs}}{20\, \text{gal}} \\[4pt] \left(4.8 \, \text{lbs}\right)\left(20\, \text{gal}\right) &=\left(70\, \text{gal}\right)\left(x \, \text{lbs}\right) \\[4pt] 96 &=70x \\[4pt] \dfrac{96}{70} &=x \\[4pt] x &=1.4\, \text{lbs} \end{align*}\]
De ahí que necesitamos 1.4 libras de hipoclorito para disolverse en 20 galones de agua para crear la misma concentración.