7: Álgebra booleana
- Page ID
- 154647
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Todas las operaciones aritméticas realizadas con cantidades booleanas tienen solo uno de dos resultados posibles: ya sea 1 o 0. No hay tal cosa como “2” o “-1” o “1/2” en el mundo booleano. Es un mundo en el que todas las demás posibilidades son inválidas por fiat. Como se podría adivinar, este no es el tipo de matemáticas que desea usar al equilibrar una chequera o calcular la corriente a través de una resistencia. Sin embargo, Claude Shannon de la fama del MIT reconoció cómo el álgebra booleana podría aplicarse a circuitos de encendido y apagado, donde todas las señales se caracterizan como “altas” (1) o “bajas” (0).
- 7.2: Aritmética booleana
- En las matemáticas booleanas, la suma es equivalente a la función lógica OR, la multiplicación es equivalente a la función lógica AND, y la complementación es equivalente a la función lógica NOt.
- 7.3: Identidades algebraicas booleanas
- En matemáticas, una identidad es una afirmación verdadera para todos los valores posibles de su variable o variables. La identidad algebraica de x + 0 = x nos dice que cualquier cosa (x) agregada a cero es igual a la “cualquier cosa” original, sin importar qué valor pueda ser esa “cualquier cosa” (x). Al igual que el álgebra ordinaria, el álgebra booleana tiene sus propias identidades únicas basadas en los estados bivalentes de las variables booleanas.
- 7.4: Propiedades algebraicas booleanas
- Las propiedades conmutativas, asociativas y distributivas se aplican al álgebra booleana.
- 7.5: Reglas booleanas para la simplificación
- El álgebra booleana encuentra su uso más práctico en la simplificación de los circuitos lógicos. Si traducimos la función de un circuito lógico a una forma simbólica (booleana) y aplicamos ciertas reglas algebraicas a la ecuación resultante para reducir el número de términos y/o operaciones aritméticas, la ecuación simplificada puede traducirse de nuevo en forma de circuito para un circuito lógico que realice la misma función con menos componentes.
- 7.7: La Función Exclusiva O - La Puerta XOR
- Un elemento que falta notoriamente en el conjunto de operaciones booleanas es el de OR exclusivo, a menudo representado como XOR. Mientras que la función OR es equivalente a la suma booleana, la función AND a la multiplicación booleana y la función NOT (inversor) a la complementación booleana, no hay equivalente booleano directo para OR exclusivo. Sin embargo, esto no ha impedido que la gente desarrolle un símbolo para representar esta puerta lógica.
- 7.8: Teoremas de DeMorgan
- Un matemático llamado DeMorgan desarrolló un par de reglas importantes con respecto a la complementación de grupos en álgebra booleana. Por complementación grupal, me refiero al complemento de un grupo de términos, representado por una barra larga sobre más de una variable.
- 7.9: Convertir tablas de verdad en expresiones booleanas
- Al diseñar circuitos digitales, el diseñador suele comenzar con una tabla de verdad que describe lo que debe hacer el circuito. La tarea de diseño es en gran parte determinar qué tipo de circuito realizará la función descrita en la tabla de verdad. Existen técnicas procedimentales disponibles y el álgebra booleana demuestra su utilidad de la manera más dramática.