10.2: Espacio de fase

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Una buena manera de entender las flechas de los espacios de fase es imaginar gotas de lluvia cayendo sobre una azotea curvilínea y flotando a través de su superficie. La figura\(\PageIndex{1}\) muestra dicha superficie.

Transitorio surface.JPG — Figuras 10.0.3 a 10.0.5.

¿Por qué pensar en gotas de lluvia en los tejados debería ayudarnos a entender los espacios de fase? Esto se debe a que las ecuaciones diferenciales en sí mismas están situadas en superficies matemáticamente, aunque a veces superficies de mayor dimensión, con puntos que flotan dinámicamente a través de las superficies, al igual que las gotas de lluvia que flotan sobre un techo. No es del todo lo mismo, claro, pero es una ayuda útil para el pensamiento.

En lugar de gotas de lluvia, también puede ser útil pensar en un mármol rodando sobre la superficie. En el fondo de la cuenca en el Punto C de la Figura\(\PageIndex{1}\), queda atrapada una canica. La superficie sube en todas direcciones desde este punto, por lo que después de cualquier pequeña perturbación el mármol volverá a rodar hacia el fondo.

El punto B corresponde al equilibrio en el origen, estable en este caso, donde ambas especies están extintas. Un mármol que descansa sobre esta superficie y experimenta una pequeña perturbación positiva lejos del origen debe rodar cuesta arriba en todas direcciones, por lo que volverá a ese equilibrio también. Se encuentra por debajo del punto Allee de dos especies.

Por ejemplo, el Punto A divide la lluvia que flota hacia la izquierda y la lluvia que baja hacia la derecha. La cuenca en el punto C corresponde a la capacidad de carga, el punto B corresponde a la extinción en el origen y el punto A corresponde al punto inestable de Allee.

El punto A, en cambio, corresponde al punto Allee. Un mármol podría equilibrarse precariamente en ese lugar, con el más mínimo aliento de aire enviándolo a la extinción en B o capacidad de carga en la cuenca en C, dependiendo de minúsculas variaciones en la respiración. Los mármoles que comienzan cerca de cualquiera de los ejes ruedan al origen, equilibrio B. Los mármoles que comienzan más lejos de los ejes están al otro lado de una cresta larga y ruedan a la capacidad de carga en C.