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4.2: Crecimiento con densidad mejorada

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    53174
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    Darwin hizo un uso sin igual de un modelo que falló, pero ¿cómo se puede mejorar el modelo para que no falle?

    Piense en solo tres plantas de Susan de ojos negros (Rudbeckia hirta) que se establecen en el Parque Nacional Yellowstone, una cerca de la entrada noreste, una en el centro y una tercera cerca de la entrada sur, las plantas así separadas por más de 30 millas. ¿Con qué frecuencia el mismo polinizador podría visitar dos de las plantas para que las plantas pudieran reproducirse? Rara vez o nunca, porque estos polinizadores recorren distancias limitadas. La tasa de crecimiento de la planta será así de 0. (De hecho, será negativo, ya que las tres plantas eventualmente morirán).

    Supongamos en cambio que 1000 de estas plantas estaban esparcidas por el parque, haciéndolas a unas 2 millas de distancia. Ocasionalmente podría pasar un polinizador, aunque la posibilidad de que visite a uno de los otros Susans de Ojos Negros sería muy baja. Aún así, con 1000 plantas en la zona, la tasa de crecimiento podría ser ligeramente positiva.

    Ahora considera 1,000,000 de esas plantas, haciéndolas a unos 100 metros de distancia. Ahora la polinización se volvería relativamente frecuente. Por lo tanto, la tasa de crecimiento de la población depende del número de plantas en la vecindad, lo que significa que este número debe ser parte de la ecuación utilizada para calcular la tasa de crecimiento poblacional.

    Podemos usar la ecuación introducida anteriormente para calcular esta tasa. Primero, poner un parámetro en lugar del 1, así.

    \(\frac{1}{N}\, \frac{∆N}{∆t}\, =\,r\), donde r anteriormente era 1

    Después adjuntar un término que reconozca la densidad de otros miembros de la población, N.

    \(\frac{1}{N}\, \frac{∆N}{∆t}\, =\,r\,+\,sN\),

    Aquí r se relaciona con el número de crías que producirá cada planta si está sola en el mundo o en la zona, y s es el número de crías adicionales que producirá por cada planta adicional que aparezca en sus proximidades.

    Supongamos r = 0 y s = 1/20, solo para ilustración, y comenzar con tres plantas, entonces N (0) = 3. Eso es

    \(\frac{1}{N}\, \frac{∆N}{∆t}\, =\,0\,+\,0.05\,N\),

    Por ver la dinámica de esto, multiplicarlo de nuevo

    \(\frac{∆N}{∆t}\, =\,(0\,+\,0.05\,N)\,N\),

    y convertir el modelo a código de computadora, así.
    r=0; s=0.05; dt=1; t=0; N=3; print (N);

    mientras que (t<=14)

    {dN = (R+s*n) *n*dt; n=n+dn; t=t+dt; print (N);}

    Si ejecutas este modelo en R (u otros idiomas en los que funciona este código, como C o AWK), verás los números a continuación.

    3

    3.45

    4.045125

    4.863277

    6.045850

    7.873465

    10.97304

    16.99341

    31.43222

    80.83145

    407.5176

    8,711.049

    3,802,830

    723,079,533,905

    26,142,200,000,000,000,000,000

    Grafica estos, y verás que los números se expanden más allá de todos los límites, verticalmente fuera de la página.

    ortólogo model.JPG
    Figura\(\PageIndex{1}\). El crecimiento ortólogo (rojo) contrastó con el crecimiento exponencial (azul).

    La línea azul muestra el crecimiento bacteriano ilimitado (crecimiento exponencial) que ayudó a llevar a Darwin a su idea de selección natural. La línea roja ilustra el nuevo “crecimiento de densidad mejorada” que se acaba de considerar, donde la tasa de crecimiento aumenta con la densidad.

    Debido a que se acerca a una línea que es ortogonal a la línea abordada por el modelo logístico, descrito más adelante, llamamos a esto un “modelo ortólogo”. Huye hasta el infinito tan rápido que esencialmente llega ahí en una cantidad finita de tiempo. En física y matemática esta situación se llama “singularidad” —un lugar donde se rompen las reglas. Para entender esto, es importante recordar que todos los modelos son simplificaciones y por tanto aproximaciones, y se aplican en su rango específico. El modelo ortólogo se aplica bien a bajas densidades, donde mayores densidades significan mayor crecimiento. Pero un modelo diferente se hará cargo cuando las densidades lleguen demasiado altas. De hecho, si una población sigue un modelo ortólogo, el modelo predice que habrá algún gran cambio que ocurrirá en un futuro próximo, antes de la época de la singularidad.

    En física, los modelos con singularidades llaman especial atención, pues pueden revelar fenómenos previamente desconocidos. Los agujeros negros son un ejemplo, mientras que uno más mundano de la física es familiar para todos. Considera una moneda que gira con un punto tocando la mesa, girando cada vez más rápido a medida que la fricción y la gravedad obligan al ángulo entre la moneda y la mesa a encogerse con el tiempo. Resulta que las ecuaciones físicas que modelan con bastante precisión esta moneda que gira incluyen una singularidad, un lugar donde el giro de la moneda se vuelve infinitamente rápido en un momento determinado calculable. Por supuesto, el giro en realidad no puede llegar a ser infinitamente rápido. A medida que la moneda se acerca demasiado a la singularidad, ya que su ángulo cae demasiado cerca de la mesa, simplemente cambia a un modelo diferente. Ese modelo diferente es una moneda estacionaria. La naturaleza exacta de la transición entre los estados giratorios y estacionarios es compleja y debatida, pero la inevitabilidad de la transición no lo es.

    No es diferente en ecología. Los modelos razonables que conducen a singularidades no deben ser descontados, sino que se consideran admisibles donde aplican. Surgen de manera ineludible en el crecimiento de la población humana, considerado en el siguiente capítulo.


    This page titled 4.2: Crecimiento con densidad mejorada is shared under a CC BY-NC 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Clarence Lehman, Shelby Loberg, & Adam Clark (University of Minnesota Libraries Publishing) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.