OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
- ¿Cómo se determinan los precios de los recursos renovables?
- ¿Cuándo se deben cosechar los árboles?
Un árbol crece lentamente pero es renovable, por lo que el análisis de la Sección 11.4 “Extracción de Recursos” no nos ayuda a entender cuándo es más rentable talar el árbol. Considera cosechar para el uso de pulpa y papel. En este caso, la cantidad de astillas de madera es lo que importa para la rentabilidad de talar el árbol, y la biomasa del árbol proporciona una indicación directa de ello. Supongamos que la biomasa se vende por un precio neto p, que tiene los costos de cosecha y replantación deducidos de ella, y la biomasa del árbol es b (t) cuando el árbol tiene t años. Simplifica ligeramente el análisis para utilizar el descuento continuo de tiempo\(\begin{equation}\mathrm{e}-\rho \mathrm{t}=(11+r) \mathrm{t}, \text { where } \rho=\log (1+r)\end{equation}\)
Considera la política de talar árboles cuando tengan T años. Esto induce un ciclo de corte de longitud T. Un nuevo árbol producirá un valor presente de ganancias de
\ begin {ecuación} e −ρT pb (T) + e −2ρT pb (T) + e −3ρT pb (T) +... = e −ρT pb (T) 1− e −ρT = pb (T) e ρT −1. \ end {ecuación}
Esta ganancia surge porque el primer corte se produce en el tiempo T, con descontando e - ρT, y produce una ganancia neta de pb (T). El proceso luego comienza de nuevo, con un segundo árbol cortado en el tiempo 2 T, y así sucesivamente.
La maximización de ganancias da una condición de primer orden sobre la duración óptima del ciclo T de
\ begin {ecuación} 0=\ mathrm {d}\ mathrm {dT}\ mathrm {pb} (\ mathrm {T})\ mathrm {e}\ rho\ mathrm {T} -1=\ mathrm {p}\ mathrm {b} ^ {\ prime} (\ mathrm {T})\ mathrm {e}\ rho\ mathrm {T} -1-\ mathrm rm {pb} (\ mathrm {T})\ rho\ text {e}\ rho\ mathrm {T} (\ mathrm {e}\ rho\ mathrm {T} -1) 2\ end {ecuación}
Esto se puede reorganizar para rendir
\ begin {ecuación}\ mathrm {b} ^ {\ prime} (\ mathrm {T})\ mathrm {b} (\ mathrm {T}) =\ rho 1-\ mathrm {e} -\ rho\ mathrm {T}\ end {ecuación}
El lado izquierdo de esta ecuación es la tasa de crecimiento del árbol. El lado derecho es aproximadamente el factor de descuento por tiempo continuo, al menos cuando T es grande, ya que tiende a ser para árboles, que suelen estar en un ciclo de 20 a 80 años, dependiendo de la especie. Esta es la base para una conclusión: Cortar el árbol ligeramente antes de que esté creciendo a la tasa de interés. Cuanto más altas sean las tasas de interés, más corto será el ciclo para el que se deben talar los árboles.
El uso de pulpa y papel de los árboles es especial, porque el árbol va a ser molido en astillas de madera. ¿Qué sucede cuando el objeto es obtener tablas del árbol, y las tablas más grandes se venden por más? En particular, es más rentable obtener un 4×4 que dos 2×4s. Duplicando el diámetro del árbol, lo que eleva aproximadamente la biomasa en un factor de seis a ocho, más que aumenta el valor de la madera por el incremento de la biomasa.
Resulta que nuestra teoría ya es capaz de manejar este caso. La única adaptación es un cambio en la interpretación de la función b. Ahora bien, en lugar de representar la biomasa, b (t) debe representar el valor en tablas de un árbol que tenga t años de antigüedad. (El parámetro p se puede establecer en uno.) La única modificación a la regla para talar árboles es la siguiente: El punto en el tiempo más rentable para talar el árbol ocurre ligeramente antes del momento en que el valor (en tablas) del árbol está creciendo a la tasa de interés.
Por ejemplo, las langostas se vuelven más valiosas a medida que crecen. El tiempo de maximización de ganancias para cosechar langostas se rige por la misma ecuación, donde b (T) es el valor de una langosta a la edad T. Prohibir la cosecha de langostas menores de edad T es un medio para asegurar la captura maximizadora de las langostas y prevenir la sobrepesca.
La implementación de la fórmula se ilustra en la Figura 11.3 “Solución óptima para T”. La línea discontinua representa la tasa de crecimiento b ′ (T) b (T), mientras que la línea continua representa la tasa de descuento, la cual se fijó en 5%. Tenga en cuenta que el mejor momento para talar los árboles es cuando tienen aproximadamente 28.7 años de edad y, en ese momento, están creciendo a 6.5%. La Figura 11.3 “Solución óptima para T” también ilustra otra característica de la optimización: puede haber múltiples soluciones para el problema de optimización, y la solución de maximización de ganancias implica\(\begin{equation}b^{\prime}(T) b(T)\end{equation}\) cortar\(\begin{equation}\rho 1-\mathrm{e}-\rho \mathrm{T}\end{equation}\) desde arriba.
Figura 11.3 Solución óptima para T
El Departamento del Interior de Estados Unidos es el encargado de vender los derechos madereros en tierras federales. El departamento utiliza la política de rendimiento máximo sustentable para determinar el tiempo específico en que se corta el árbol. El rendimiento máximo sustentable maximiza el valor promedio a largo plazo de los árboles talados; es decir, maximiza b (T) T.
El rendimiento máximo sustentable es en realidad un caso especial de las políticas aquí consideradas, y surge por un factor de descuento de 0. Resulta (gracias a una fórmula conocida de diversas maneras como L'hôpital's Rule o l'Hospital's Rule) que el\(\begin{equation}\lim \rho \rightarrow 0 \rho 1-\mathrm{e}-\rho \mathrm{T}=1 \mathrm{T}\end{equation}\).
Así, la regla\(\begin{equation}\mathrm{b}^{\prime}(T) \mathrm{b}(T)=\rho 1-\mathrm{e}-\rho \mathrm{T} \rightarrow 1 \mathrm{T} \text { as } \rho \rightarrow 0\end{equation}\), y esta es precisamente la misma regla que surge bajo el máximo rendimiento sustentable.
De esta manera, el Departamento de Gobernación actúa como si la tasa de interés fuera cero cuando no lo es. La justificación que se da es que el departamento está valorando a las generaciones futuras al mismo nivel que las generaciones actuales, es decir, aumentando la oferta para las generaciones futuras mientras perjudica ligeramente a la generación actual de compradores. La principal consecuencia de la política del departamento de rendimiento máximo sustentable es forzar el corte de madera incluso cuando los precios son bajos durante las recesiones.
