OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
- ¿Cómo se determinan los precios de los coleccionables?
- ¿Cuál es el valor de inversión de los coleccionables?
- ¿Qué tan rápido suben los precios?
Mucha gente compra bienes duraderos como inversiones, entre ellos Porsche Speedsters (ver Figura 11.4 “El Porsche Speedster”), lámparas Tiffany, teléfonos antiguos, sellos postales y monedas, tarjetas de béisbol, muñecas Barbie originales, credenzas antiguas, autógrafos, camisas hawaianas de rayón originales, postales antiguas , botones de campaña política, relojes viejos e incluso dispensadores Pez. ¿Cómo se determina el valor de, digamos, un Porsche Speedster de 1961 o un billete de $500 de la Confederación, que actualmente se vende por más de $500?
La teoría de los precios de los recursos se puede adaptar para cubrir estos rubros, los cuales están en oferta fija. Hay cuatro diferencias importantes que son relevantes. Primero, usar el artículo no lo consume: Los bienes son duraderos. Puedo tener un botón de campaña “Me gusta Ike” durante años, y luego vender el mismo botón. En segundo lugar, estos rubros pueden depreciarse. Los autos se desgastan incluso cuando no son conducidos, y el color brillante de los dispensadores Pez se desvanece. Cada vez que se mueve una barra de oro estándar de 27.5 libras, como la del depósito de Fort Knox, aproximadamente 5 dólares en oro desgasta la barra. Tercero, la mercancía puede costar algo para almacenar. Cuarto, la población crece, y algunos de los compradores potenciales aún no nacen.
Figura 11.4 El Porsche Speedster
Para entender los determinantes de los precios de los coleccionables, es necesario crear una simplificación mayor para realizar el análisis en tiempo continuo. Sea t, que va de cero a infinito, la variable de tiempo continuo. Si el bien se deprecia a la tasa δ, y q 0 es la cantidad disponible en el tiempo 0, la cantidad disponible en el tiempo t es q (t) = q 0 e −δ t.
Por simplicidad, supongamos que hay constante elasticidad de demanda ε. Si g es la tasa de crecimiento poblacional, la cantidad demandada, para cualquier precio p, viene dada por x d (p, t) =a e gt p −ε, para una constante a que representa la demanda en el tiempo 0. Esto representa la demanda del bien para uso directo, pero descuida el valor de inversión del bien, el hecho de que el bien pueda revenderse por un precio más alto posteriormente. Es decir, xd capta la demanda de mirar dispensadores Pez o conducir Porsche Speedsters, pero no incorpora el valor de poder revender estos artículos.
La ecuación de demanda se puede utilizar para generar el valor de uso más bajo a una persona que posee el bien en el tiempo t. Ese valor marginal de uso v surge de la igualdad de oferta y demanda:
\ begin {ecuación}\ texto {q} 0\ texto {e} -\ delta t=q (t) =x d (v, t) =a\ texto {e} g t v-\ varepsilon\ end {ecuación}
o
\ begin {ecuación} v\ varepsilon=a q 0 e (\ delta+g) t\ final {ecuación}
Así, el valor de uso al propietario marginal del bien en el tiempo t satisface\(\begin{equation}\mathrm{v}=(\text { a } \mathrm{q} 0) 1 \varepsilon \text { e } \delta+\mathrm{g} \varepsilon \mathrm{t}\end{equation}\)
Un aspecto importante de este desarrollo es que el valor para el propietario se encuentra sin referencia al precio del bien. La razón por la que este cálculo es posible es que los individuos con valores altos serán dueños del bien, y el número de bienes y los valores de las personas son supuestos de la teoría. Esencialmente, ya sabemos que el precio racionará lo bueno a los individuos con valores altos, por lo que calcular el individuo de menor valor que tiene un bien en el momento t es un cálculo sencillo de “oferta es igual a demanda”. Dos factores aumentan el valor marginal para el propietario: hay menos unidades disponibles debido a la depreciación y hay más personas de alto valor que las demandan debido al crecimiento poblacional. Juntos, estos factores hacen que el valor de uso marginal crezca a la velocidad\ (\ begin {ecuación}\ delta+g\ varepsilon\ end {ecuación}.
Supongamos que s es el costo de almacenamiento por unidad de tiempo y por unidad del bien, de manera que almacenar x unidades por un periodo de longitud Δ cuesta sx Δ. Se trata de la tecnología de costos de almacenamiento más simple posible.
La suposición final que hacemos es que todos los compradores potenciales utilizan una tasa de descuento común r, de manera que el descuento de dinero o valor recibido Δ unidades de tiempo en el futuro es e - r Δ. Vale la pena una breve digresión para explicar por qué es sensato asumir una tasa de descuento común, cuando es evidente que muchas personas tienen diferentes tasas de descuento. Diferentes tasas de descuento inducen ganancias del comercio en préstamos y préstamos, y crean un incentivo para tener bancos. Si bien la banca es un tema interesante para estudiar, esta sección se refiere a los coleccionables, no a los bancos. Si tenemos diferentes factores de descuento, entonces también debemos introducir bancos, lo que complicaría sustancialmente el modelo. De lo contrario, mezclaríamos la teoría de la banca y la teoría de los coleccionables. Probablemente sea una buena idea desarrollar una teoría conjunta de la banca y los coleccionables, dado el potencial de inversión de los coleccionables, pero es mejor comenzar con la teoría pura de cualquiera de los dos antes de desarrollar la teoría conjunta.
Considera a una persona que valora el coleccionable en v. ¿Es bueno que esta persona sea dueño de una unidad de lo bueno en el momento t? Sea p la función que da el precio a través del tiempo, de manera que p (t) sea el precio en el tiempo t. Comprar el bien en el tiempo t y luego vender lo que queda (recordemos que el bien se deprecia a tasa δ) en el tiempo t + Δ da un valor neto de\(\begin{equation}∫ 0 Δ e −ru (v−s )du−p(t)+ e −rΔ e −δΔ p(t+Δ).\end{equation}\)
Para la persona marginal —es decir, la persona que simplemente es indiferente a comprar o no comprar a tiempo t — esto debe ser cero en cada momento en el tiempo, para Δ = 0. Si v representa el valor a un comprador marginal (indiferente a la tenencia o venta) que sostiene el bien en el tiempo t, entonces esta expresión debería salir a ser cero. Por lo tanto, dividiendo por Δ,
\(\begin{equation}0= lim Δ→0 1 Δ ∫ 0 Δ e −ru (v−s )du− p(t) Δ + e −(r+δ)Δ p(t+Δ) Δ= lim Δ→0 v−s+ p(t+Δ)−p(t) Δ − 1− e −(r+δ)Δ Δ p(t+Δ)=v−s+ p ′ (t)−(r+δ)p(t).\end{equation}\)
Recordemos que el valor marginal es\(\begin{equation}v= ( a q 0 ) 1 ε e δ+g ε t \end{equation}\), que da\(\begin{equation}p ′ (t)=(r+δ)p(t)+s−v=(r+δ)p(t)+s− ( a q 0 ) 1 ε e δ+g ε t\end{equation}\). La solución general a esta ecuación diferencial es
\ begin {ecuación} p (t) = e (r+δ) t (p (0) + 1− e − (r+δ) t (r+δ) s− (a q 0) 1 ε 1− e − (r+δ− δ+g ε) t r+δ− δ+g ε). \ end {ecuación}
Resulta que esta ecuación sólo tiene sentido si\(\begin{equation}r+δ− δ+g ε >0\end{equation}\), pues de lo contrario el valor presente del valor marginal va al infinito, por lo que no hay posible precio inicial finito. Siempre que la demanda sea elástica y el descuento sea mayor que las tasas de crecimiento (lo cual es una implicación de equilibrio en el mercado crediticio), se cumplirá esta condición.
¿Cuál es el precio inicial? Debe darse el caso de que el valor presente del precio sea finito, pues de lo contrario el bien siempre sería una buena inversión para todos en el tiempo 0, utilizando la estrategia de “comprar y retener para reventa”. Es decir,
\ begin {ecuación} lim t→∞ e −rt p (t) <∞. \ end {ecuación}
Esta condición implica que\(\begin{equation}\lim t \rightarrow \infty \text { e } \delta t(p(0)+1-e-(r+\delta) t(r+\delta) s-(a q 0) 1 \varepsilon 1-e-(r+\delta-\delta+g \varepsilon) t r+\delta-\delta+g \varepsilon)<\infty\end{equation}\), y por lo tanto\(\begin{equation}p(0)+ 1 (r+δ) s− ( a q 0 ) 1 ε 1 r+δ− δ+g ε =0.\end{equation}\)
Esta ecuación puede adoptar dos formas diferentes. Primero, puede ser solucionable por un precio no negativo, lo que sucede si
\ begin {ecuación} p (0) = (a q 0) 1 ε 1 r+δ− δ+g ε − 1 (r+δ) s≥0\ end {ecuación}
Segundo, puede requerir la destrucción de parte de la dotación del bien. La destrucción debe ocurrir si la cantidad del bien q 0 en el tiempo 0 satisface
\ begin {ecuación} (a q 0) 1 ε 1 r+δ− δ+g ε − 1 (r+δ) s<0. \ end {ecuación}
En este caso, hay demasiado del bien, y se debe destruir una cantidad para que el precio inicial sea cero. Dado que el precio inicial es cero, el bien no tiene valor en el momento cero, y la destrucción del bien tiene sentido: en la cantidad actual, el bien es demasiado costoso de almacenar para obtener ganancias futuras. Se destruye lo suficiente como para asegurar la indiferencia entre sostener el bien como coleccionable y destruirlo. Consideremos, por ejemplo, el proyecto de ley confederado de $500 que se muestra en la Figura 11.5 “Bill de $500 Estados Confederados”. Muchos de estos billetes fueron destruidos al final de la Guerra Civil de Estados Unidos, cuando la moneda quedó sin valor y se quemó como fuente de calor. Ahora, una versión sin circular se vende por 900 dólares.
Figura 11.5 $500 Factura de Estados Confederados
El monto del bien que se debe destruir es tal que el precio inicial es cero. Como q 0 es la cantidad inicial (predestrucción), la cantidad en el tiempo cero después de la destrucción es la cantidad q (0) satisfactoria
\ begin {ecuación} 0=p (0) = (a q (0)) 1 ε 1 r+δ− δ+g ε − 1 (r+δ) s. \ end {ecuación}
Dada esta construcción, tenemos que
\ begin {ecuación} p (0) + 1 (r+δ) s− (a q (0)) 1 ε 1 r+δ− δ+g ε =0\ end {ecuación}
donde ya sea\(\begin{equation}q(0) = q0 and p(0) ≥ 0, or q(0) < q0 and p(0) = 0.\end{equation}\)
La destrucción de una porción de las acciones de un objeto de colección, seguida de aumentos de precios, es en realidad un fenómeno bastante común. En particular, considere el teléfono “Modelo 500” de Western Electric ilustrado en la Figura 11.6 “Teléfono Western Electric Modelo 500”. Este omnipresente teléfono clásico se retiró cuando Estados Unidos cambió a los teléfonos de marcación por tonos y pulsadores en la década de 1970, y millones de teléfonos, quizás más de 100 millones, terminaron en vertederos. Ahora el teléfono es un coleccionable, y los entusiastas de los teléfonos rotativos trabajan para mantenerlos operativos.
Figura 11.6 Teléfono Western Electric Modelo 500
La solución para p (0) simplifica drásticamente la expresión para p (t):
\ begin {ecuación} p (t) = e (r+δ) t (p (0) + 1− e − (r+δ) t (r+δ) s− (a q (0)) 1 ε 1− e − (r+δ− δ+g ε) t r+δ− δ+g ε) = e (r+δ) t (e − − (r+δ) t (r+δ) t (r+δ) t (r+δ) t (r+δ) t (r+δ) t δ) s+ (a q (0)) 1 ε e − (r+δ− δ+g ε) t r+δ− δ+g ε) = (a q (0)) 1 ε e δ+g ε t r+δ− δ+g ε − s r+δ\ end {ecuación}
Esta fórmula permite comparar diferentes coleccionables. La primera idea es que los costos de almacenamiento entran linealmente en los precios, por lo que las tasas de crecimiento no se ven afectadas aproximadamente por los costos de almacenamiento. El hecho de que el oro sea fácil de almacenar, mientras que los sellos y el arte requieren el control de la humedad y la temperatura para preservar el valor y, por lo tanto, son más caros de almacenar, afecta el nivel de los precios pero no la tasa de crecimiento. Sin embargo, la depreciación y el crecimiento de la población afectan la tasa de crecimiento, y lo hacen en combinación con la elasticidad de la demanda. Con una demanda más elástica, los precios crecen más lentamente y comienzan en un nivel más bajo.
