10: Función de producción

Definiciones y suposiciones clave

Los insumos, también conocidos como factores de producción, se utilizan para hacer salida, a veces llamados producto. Como se muestra en la Figura 10.1, la firma es una entidad altamente abstractauna caja negra que transforma entradas en salida.

Los detalles específicos de cómo se organiza la firma y cómo combina realmente los insumos para hacer bienes y servicios son ignorados por la teoría, escondida en la caja negra.

Los insumos a menudo se desglosan en grandes categorías, como tierra, mano de obra, materias primas y capital. Vamos a simplificar aún más al colapsar todo lo que no es laboral en la categoría capital.

El trabajo, L, es trabajo y esfuerzo humanos. Se mide en unidades de tiempo, generalmente horas.

El capital tiene una historia confusa en economía. Como factor de producción, el capital, K, significa cosas que producen otras cosas, como maquinaria, herramientas o equipos. Eso es diferente del capital financiero o de riesgo que es un fondo de dinero. El título del famoso libro de Karl Marx, Das Kapital, utiliza el capital en el sentido de la riqueza, denominado en dinero. La Teoría de la K de la Firma se mide en números de máquinas.

Al igual que el trabajo, el capital se renta. La firma no posee ninguna de sus máquinas o edificios. Esto es extremadamente poco realista, pero nos permite evitar problemas complicados que involucran depreciación, financiamiento de compras de maquinaria (deuda versus capital, por ejemplo), y así sucesivamente.

Otra suposición extrema simplificadora es que no hay tiempo involucrado. Al igual que el consumidor que maximiza la utilidad sujeto a una restricción presupuestaria, la firma existe solo por un nanosegundo. Toma decisiones sobre cuánto producir para maximizar las ganancias sin preocupaciones sobre los inventarios o la trayectoria de las ventas futuras. Produce la salida en un instante.

Evitamos complicaciones derivadas de la producción de más de un bien o servicio asumiendo que la firma produce un solo producto. Eso hace que los ingresos simplemente precio veces cantidad vendida de un producto.

Sin volver a entrar en detalles sobre suposiciones poco realistas, parece útil señalar que no estamos tratando de construir un modelo preciso de una firma del mundo real. Nuestro objetivo principal es derivar una curva de oferta. Queremos saber cómo responde una firma a un cambio de precio, ceteris paribus. Al asumir muchas complicaciones del mundo real, podemos modelar el problema de maximización de la empresa, resolverlo y hacer estadísticas comparativas para obtener la curva de suministro.

Representación matemática

Al igual que la Teoría del Comportamiento del Consumidor, que utiliza una función de utilidad para modelar gustos y preferencias, la Teoría de la Firma utiliza una función de producción para capturar la capacidad de las empresas para transformar entradas en salidas. A diferencia de la utilidad, la producción es objetiva y observable. Podemos contar la cantidad de salida que se obtiene de un número dado de horas de mano de obra y máquinas.

El conjunto de producción describe todas las salidas tecnológicamente factibles de una cantidad dada de insumos. La función de producción describe la salida máxima posible a partir de una cantidad dada de entradas. Observe cómo la función de producción asume que las entradas se están utilizando de la mejor manera posible.

La notación general más abstracta para una función de producción es\(y = f(L, K)\). El\(f()\) representa la tecnología disponible para la firma. Un ejemplo específico y concreto de una función de producción es la forma funcional Cobb-Douglas:\(y=AL^\alpha K^\beta\). Veamos cómo se ve en Excel.

PASO Abra el libro de Excel ProductionFunction.xls, lea la hoja de introducción, luego vaya a la ficha Tecnología para ver un ejemplo de la función de producción.

En la Figura 10.2, el conjunto de producción es la superficie del objeto 3D y todo lo que está dentro; la función de producción es solo la superficie.

La función de producción incluye implícitamente un problema de optimización de ingeniería ya resuelto, da el máximo rendimiento de cualquier combinación dada de entradas. Es decir, estamos asumiendo que los insumos están organizados en su configuración más productiva y no se desperdicia nada.

Observe que la función Cobb-Douglas en la hoja de Tecnología se ha configurado para que pueda ser controlada por un solo parámetro,\(\alpha\) (alfa), haciendo los exponentes\(\alpha\) y (\(1 - \alpha\)). Use la barra de desplazamiento para cambiar alfa y observe cómo cambia la forma de la superficie de la función de producción. Alfa es un parámetro que toma valores entre cero y uno.

PASO Haga clic en el botón para devolver la hoja a su posición inicial predeterminada.

Curvas del producto

Además de la vista 3D, la función de producción se puede mostrar de otras maneras. Para graficar la función de producción en dos dimensiones, necesitamos suprimir un eje. Si mantenemos la salida y suprimimos uno de los ejes de entrada obtenemos una curva de producto total. Si suprimemos la salida y mantenemos las dos entradas, obtenemos un isoquant.

Producto y salida significan lo mismo. La curva total del producto es el número de unidades de salida producidas a medida que se varía una entrada, manteniendo la otra constante.

PASO Haga clic en los botones y para ver las curvas del producto para mano de obra y capital.

Además de las curvas de producto total, existen curvas de producto promedio y marginal. El producto promedio es simplemente salida por unidad de entrada. Así, el producto promedio de la mano de obra es Y/L y el producto promedio del capital es Y/K.

Las curvas marginales del producto nos indican la salida adicional que se produce a medida que se incrementa la entrada, manteniendo constante la otra entrada. El producto marginal puede calcularse en función de los cambios de tamaño finito en una entrada o a través de la derivada.

A través del cálculo, el producto marginal es simplemente la derivada de la función de producción con respecto al insumo. Para la función Cobb-Douglas en la hoja de Tecnología, los productos marginales se encuentran tomando las derivadas parciales con respecto a L y K:\[MP_L = \frac{\partial Y}{\partial L}=(1 - \alpha)AK^\alpha L^{(1-\alpha)-1}=(1 - \alpha)AK^\alpha L^{-\alpha}\]\[MP_K = \frac{\partial Y}{\partial K}=\alpha AK^{\alpha -1}L^{1-\alpha}\]

PASO Desplácese hacia abajo y haga clic en la celda C52 para ver que el producto marginal se calcula a través del cambio en la salida a partir de un incremento de 2 horas de trabajo, con\(K=4\).

Esto calcula el producto marginal del trabajo como la subida a lo largo de la carrera de\(L=0\) a\(L=2\) sobre la curva del producto total.

PASO Haga clic en el botón y luego haga clic en la celda C58 para revelar el producto marginal calculado a través de la derivada.

Dado que el producto total es una curva, la pendiente de la línea tangente en no\(L=2\) es la misma que la subida sobre el tramo de un punto a otro.

PASO Ahora mira las curvas de producto total, marginal y promedio.

Observe cómo se dibujan las curvas del producto con base en una cantidad dada de capital. Si la cantidad de capital cambia, entonces las curvas del producto cambian.

El producto marginal y promedio se pueden graficar juntos porque comparten una escala común del eje y, salida por unidad de entrada. La curva de producto total nunca se puede graficar con las curvas marginal y promedio del producto porque la curva de producto total utiliza la salida como su escala del eje y.

Las gráficas demuestran que cuando el producto total aumenta a una tasa decreciente, el producto marginal disminuye. Cuando la producción total aumenta a una tasa decreciente a medida que se aplica más entrada, ceteris paribus, estamos obedeciendo la Ley de Retornos Disminutivos. Mientras alfa esté entre cero y uno, nuestra función de producción Cobb-Douglas exhibe rendimientos decrecientes.

La Ley de Devoluciones Disminuyentes no niega que pueda haber rangos de uso de entrada donde la salida aumente a una tasa creciente. Dice que, eventualmente, la aplicación continuada de más insumos junto con un factor fijo de producción debe llevar a rendimientos decrecientes en el sentido de que la producción aumentará, pero no tan rápido como antes. Así, la Ley de Retornos Disminutivos es simplemente una afirmación de que la productividad marginal debe, eventualmente, estar cayendo.

Al igual que con la utilidad, la forma funcional Cobb-Douglas es conveniente, pero hay muchas, muchas otras formas funcionales disponibles.

PASO Proceder a la hoja polinomial para ver una forma funcional diferente. Los gráficos son sorprendentemente diferentes a los de antes.

A diferencia de la forma funcional Cobb-Douglas, que siempre muestra rendimientos decrecientes, la función de producción polinómica exhibe las tres fases diferentes de retornos: rendimientos crecientes, decrecientes y negativos.

A bajos niveles de uso de mano de obra, la producción está aumentando a un ritmo creciente por lo que la curva total del producto se curva hacia arriba y el producto marginal está aumentando. En este rango, siempre y cuando el producto marginal esté subiendo y la producción aumente a un ritmo creciente, la salida se cohete hacia arriba, creciendo cada vez más rápido.

Cuando la curva marginal del producto alcanza su pico, la curva del producto total se encuentra en un punto de inflexión. A partir de aquí, la mano de obra adicional conduce a aumentos en la producción, pero a una tasa decreciente, nivelándose a medida que aumenta L Decimos que se han fijado rendimientos decrecientes.

La hoja polinomial está codificada por colores, por lo que es fácil ver dónde cambia de carácter la curva total del producto. Las celdas con fondos amarillos señalan el rango de uso laboral donde se aplican rendimientos decrecientes.

A medida que se utiliza más y más mano de obra, el producto total alcanza su punto máximo (donde el producto marginal es cero). Más allá de este punto, estamos en una gama de rendimientos negativos. Se trata de una posibilidad teórica, pero no práctica. Ninguna empresa maximizadora de ganancias operaría nunca en esta región porque se puede obtener la misma cantidad de producción con menos trabajadores.

Cabe recordar que la Ley de Retornos Disminuyentes no dice que siempre tengamos rendimientos decrecientes para cada nivel de uso laboral. En cambio, la ley dice que, eventualmente, se establecerán rendimientos decrecientes. También es importante entender la diferencia entre rendimientos decrecientes y negativos. El primero dice que la producción está subiendo, pero cada vez más lenta, mientras que la segunda dice que la producción en realidad está cayendo.

Observe la relación entre las curvas marginal y promedio del producto. No es coincidencia que la curva marginal del producto intersecta la curva promedio del producto al valor máximo del producto promedio. Existe una relación garantizada entre las curvas marginales y medias: Siempre que la marginal sea mayor que la media, la media debe estar subiendo y siempre que la marginal sea menor que la media, la media debe estar bajando. Así, la única vez que las dos curvas se encuentran es cuando la marginal y la media son iguales.

PASO Cambiar el parámetro para el coeficiente b de 30 a 40.

Observe que la forma S se vuelve mucho más lineal. El rango de rendimientos crecientes es mayor y no alcanzamos rendimientos negativos sobre el rango observado de L de 0 a 25.

PASO Establezca el parámetro para el coeficiente b en 80.

Sobre el rango observado de L de 0 a 25, solo vemos rendimientos crecientes.

PASO Cambiar el\(\delta L\) parámetro de 1 a 2. Esto hace que L suba en dos y el rango va de 0 a 50.

Los rendimientos decrecientes sí entran en acción; solo se necesita más trabajo para que se observe la Ley de Retornos Disminutivos cuando el coeficiente b se establece en 80.

Rentabilidad decreciente versus decreciente

Una cosa extremadamente confusa de la Ley de Retornos Disminutivos tiene que ver con otro concepto llamado retornos a escala. A diferencia de la Ley de Retornos Disminutivos que se basa en aplicar cada vez más de una entrada particular mientras se mantienen otras entradas constanteslos retornos a escala se centran en el efecto sobre la salida de cambiar todas las entradas en la misma proporción.

No hay ley para devoluciones a escala. Un proceso de producción puede exhibir rendimientos crecientes, decrecientes o constantes a escala, a través de todos los valores de uso de entrada. Por ejemplo, la función Cobb-Douglas en la hoja Tecnología tiene retornos constantes a escala porque si duplica L y K, se garantiza que duplicará la salida.

Se puede ver que esto es cierto comparando los puntos 2,2 y 4,4 en la tabla de la ficha Tecnología. Una demostración más completa utiliza un poco de álgebra.

Comenzamos con la función de producción:\[AK^\alpha L^{1-\alpha}\] A continuación, doblamos tanto L como K:\[A(2K)^\alpha (2L)^{1-\alpha}\] Ampliamos los términos con exponentes:\[A(2^\alpha) (K^\alpha) (2^{1-\alpha})(L^{1-\alpha})\] Recopilamos los términos “2":\[A(2^{\alpha + (1-\alpha)} (K^\alpha) (L^{1-\alpha})\] Los alfas se suman a cero (\(\alpha - alpha = 0\)) así obtenemos:\[A2K^\alpha L^{1-\alpha}\] Así, hemos demostrado que duplicar las entradas de cualquier nivel de entrada llevan a duplicar la salida, y esto se llama retornos constantes a escala. Si los exponentes en la función Cobb-Douglas no suman a 1, entonces la función no exhibe esta propiedad.

La función Cobb-Douglas en la hoja de Tecnología obedece a la Ley de Retornos Disminutivos para cada entrada (con\(0 < \alpha <1\)), sin embargo, tiene retornos constantes a escala. ¿Los rendimientos decrecientes implican rendimientos decrecientes a escala? No, absolutamente no. Los dos conceptos son independientes. Hacen diferentes preguntas. La Ley de Retornos Disminutivos trata sobre lo que sucede con la salida cuando se incrementa una sola entrada, ceteris paribus, y decrecientes retornos a escala dice que la salida será menor que el doble cuando se dupliquen todas las entradas.

Isocuantes

Además de las curvas de producto, otra forma de representar la función de producción utiliza el isoquant. El prefijo iso, que significa igual o igual (como en triángulo isósceles), se combina con quant (refiriéndose a la cantidad de salida) para transmitir la idea de que el isoquante muestra las combinaciones de L y K que producen la misma salida.

PASO Vuelva a la parte superior de la hoja de Tecnología y haga clic en el botón (cerca de la celda H28) para ver el mapa isocuante, como se muestra en la Figura 10.3.

Un isocuante es simplemente una vista 2D, de arriba hacia abajo, de la superficie 3D. A diferencia de las curvas del producto, que dan una vista desde un lado, el isocuante muestra L y K en los ejes x e y, respectivamente, y suprime la salida.

Observe que Excel no puede dibujar correctamente el mapa isocuante, poniendo caracteres ilegibles en la esquina inferior izquierda del gráfico y produciendo una visualización estriada y estriada en la parte inferior.

Podrías estar pensando que se parece mucho a un mapa de indiferencia. Definitivamente hay fuertes paralelismos entre las isocuantes y las curvas de indiferencia. Ambas son vistas de arriba hacia abajo de un objeto 3D y, por lo tanto, ambas son curvas de nivel o gráficas de contorno. Ambos se utilizan para encontrar y mostrar la solución a un problema de optimización.

Sin embargo, hay una diferencia crítica: a diferencia de una curva de indiferencia, cada isocuante es, en principio, directamente observable y los isocuantes pueden compararse en una escala cardinal. Con curvas de indiferencia, la función de utilidad es una ficción conveniente y los valores numéricos simplemente reflejan clasificaciones. A nadie le importa que una particular curva de indiferencia arroje 28 utils de satisfacción. Este no es el caso de las isocuantes porque el eje suprimido, la salida, es medible. Ciertamente se puede decir que un isocuante da el doble de salida que otro o que un isoquant da 17 unidades más de salida que otro.

Una forma en que las curvas de indiferencia y las isocuantes son las mismas es que podemos calcular la pendiente entre dos puntos o la tasa instantánea de cambio en un punto sobre un isocuante. Para evitar confusiones con MRS, llamamos a esta pendiente la tasa técnica de sustitución, TRS. Con mano de obra en el eje x y capital en el eje y, el TRS nos dice cuánto capital podemos ahorrar si se utiliza una unidad más de trabajo para producir el mismo nivel de producción.

De un punto a otro, el TRS se puede computar como la subida sobre la carrera,\(\frac{\delta K}{\delta L}\). En cierto punto, calculamos el TRS como la relación de las derivadas con respecto a L y K a partir de la función de producción:\[TRS=-\frac{MP_L}{MP_K}=-\frac{\frac{\partial f(L,K)}{\partial L}}{\frac{\partial f(L,K)}{\partial K}}\] Mientras que la MRS se usa universalmente para la pendiente de una curva de indiferencia, a veces se usa MRTS (tasa marginal de sustitución técnica) para la pendiente del isocuante. MRTS y TRS son sinónimos perfectos. Usaremos TRS.

El TRS (como el MRS) es un número que expresa la sustituibilidad del trabajo por el capital en un punto en un isoquante. Entonces, el TRS de dos combinaciones diferentes de L y K en el mismo isoquant podría ser\(-100\) y\(-2\). El TRS =\(-100\) valor dice que la firma puede sustituir 100 unidades de capital por 1 unidad de mano de obra y aún así producir el mismo producto. El isocuante sería empinado en este punto. Si un punto tiene un TRS =\(-2\), 1 unidad de mano de obra puede reemplazar 2 unidades de capital para obtener la misma salida. El isocuante en este punto sería mucho más plano que el punto con el TRS =\(- 100\).

Al igual que el MRS, el TRS nos dice lo empinado que es el isoquante en un punto. Cuanto más pronunciada sea la isocuante, más capital puede ser reemplazado por mano de obra y aún así producir la misma producción.

Avances Tecnológicos

Con el tiempo, la tecnologíasu capacidad para transformar entradas en productosdemuestra. La energía eléctrica y las computadoras son ejemplos de avances tecnológicos que permiten producir más producción a partir de una misma entrada.

Hay dos tipos de cambio tecnológico. La forma funcional Cobb-Douglas se puede utilizar para ilustrar cada tipo.

Supongamos que una mayor educación mejora la productividad del trabajo. Esto se modelaría como un incremento en el exponente de mano de obra en la función de producción de Cobb-Douglas. Pequeños cambios, digamos de 0.75 a 0.751, conducen a grandes respuestas (por ejemplo, en la producción o el uso de mano de obra) porque estamos trabajando con un exponente. Esto se conoce como cambio tecnológico que aumenta la mano de obra.

También podríamos tener una situación en la que el coeficiente A en la función\(AK^\alpha L^\beta\) aumentara con el tiempo. A medida que aumenta A, el mismo número de entradas puede hacer más salida. Se dice que este avance tecnológico es neutral (en cuanto a la utilización de L y K) porque TRS no depende de A.

Podemos demostrarlo caminando por los pasos necesarios para encontrar el TRS. Primero, calculamos los productos marginales de L y K a partir de la función,\(Y=AL^\alpha K^\beta\):\[MP_L = \frac{\partial Y}{\partial L}= \alpha A L^{\alpha-1}K^\beta\]\[MP_K = \frac{\partial Y}{\partial K}=\beta AL^\alpha K^{\beta -1}\] El TRS es menos la relación de los productos marginales:\[TRS=-\frac{MP_L}{MP_K}=-\frac{\alpha A L^{\alpha-1}K^\beta}{\beta AL^\alpha K^{\beta -1}}=-\frac{\alpha K}{\beta L}\] Los términos A cancelan, lo que significa que la relación de las productividades marginales de cada entrada depende únicamente del exponente de cada entrada y de la cantidad de entrada utilizada.

La firma como función de producción

La función de producción es el punto de partida para la Teoría de la Firma. Al igual que con la utilidad, muchas, muchas formas funcionales se pueden usar para representar procesos de producción del mundo real.

Los economistas representan la función de producción no como un objeto 3D, sino en dos dimensiones. Obtenemos curvas de producto (curvas de producto total, marginal y promedio) enfocándonos en la salida como una función de una sola entrada, manteniendo todas las demás entradas constantes. Un isocuante suprime la salida y muestra las diferentes combinaciones de L y K que producen un determinado nivel de salida.

El TRS es similar al MRS, y jugará un papel importante en la comprensión de la elección de insumos minimizando costos de la firma.

Recuerde mantener recta la diferencia entre la Ley de Retornos Disminutivos y la idea de retornos a escala. El primero aplica cada vez más de una sola entrada, manteniendo constantes todas las demás entradas; la segunda informa lo que sucede con la salida cuando todas las entradas se cambian en la misma proporción. Esas son dos cosas distintas.

Ejercicios

1. A partir de un libro de trabajo en blanco, con K = 100, dibujar curvas de producto totales, marginales y promedio para L = 1 a 100 por 1 para la función de producción Cobb-Douglas,\(Q=L^\alpha K^\beta\), donde\(\alpha = 3/4\) y\(\beta = 1/2\). Utilizar la derivada para computar el producto marginal del trabajo.

   Sugerencia: Etiquete las celdas en una fila en las columnas A, B, C y D como L, Q, MPL y APL. Para L, cree una lista de números del 1 al 100. Para las otras tres columnas, ingrese la fórmula apropiada y rellene. Para MPL, no use el cambio en Q dividido por el cambio en L; en su lugar ingrese una fórmula para la derivada para el MPL en un punto.

2. ¿Para qué rango de L exhibe el Cobb-Douglas en la pregunta 1 la Ley de Devoluciones Disminuyentes? Pon tu respuesta en un cuadro de texto en tu libro de trabajo.

3. Determine si esta función tiene retornos crecientes, decrecientes o constantes a escala. Use el libro de trabajo para cálculos e incluya su respuesta en un cuadro de texto.

4. De tu trabajo en la pregunta 3 y el comentario en el texto que no puedes tener retornos constantes a escala “si los exponentes en la función Cobb-Douglas no suman a 1”, proporcionar una regla para determinar los rendimientos a escala para una forma funcional Cobb-Douglas.

5. ¿Es posible que una función de producción exhiba la Ley de Retornos Disminutivos y rendimientos crecientes a escala al mismo tiempo? Si es así, dar un ejemplo. Pon tu respuesta en un cuadro de texto en tu libro de trabajo.

6. Dibuje un isocuante para 50 unidades de salida para la función Cobb-Douglas en la pregunta 1.

   Sugerencia: Usa álgebra para encontrar una ecuación que te indique la K necesaria para producir 50 unidades dadas L. Cree una columna para K que utilice esta ecuación basada en L que va de 20 a 40 por 1 y luego cree un gráfico de los datos L y K.

7. Calcula el TRS de la función Cobb-Douglas en L = 23, K = 312.5. Muestra tu trabajo en la hoja de cálculo.