18.3: Optimalidad de Pareto

Evaluar los efectos de bienestar con equilibrio general es lo mismo que con equilibrio parcial. Primero determinamos la solución de equilibrio, luego encontramos la solución óptima, y por último comparamos el equilibrio con la solución óptima.

En la sección anterior se utilizó una caja Edgeworth con un vector de precio para encontrar la solución de equilibrio inicial. Sabemos que la escasez y los excedentes oscilan la línea de precios de un lado a otro hasta que se establece donde los planes de los dos consumidores son mutuamente compatibles.

En este capítulo, utilizamos la caja Edgeworth para mostrar la solución óptima. El vector precio se elimina porque los precios no juegan ningún papel en la determinación de la solución óptima. Al igual que con el equilibrio parcial, separamos lógicamente el equilibrio de la solución óptima. Si los dos están de acuerdo, entonces sabemos que tenemos un buen resultado.

Optimalidad

PASO Abra el libro de Excel EdgeworthBoxParetoOpt.xls, lea la hoja de introducción, luego vaya a la hoja EdgeWorthBox.

El libro de trabajo es bastante similar a la hoja EdgeWorthBox de la sección anterior, excepto que no hay información de precio o posición en el mercado. No nos interesan los mercados en estos momentos. Estamos enfocados en determinar la solución óptima.

Un planificador social omnisciente y omnipotente, OOSP, se encarga de determinar la asignación óptima, dada la dotación inicial.

Con los poderes especiales de OOSP, podemos reasignar la dotación inicial como mejor nos parezca. Cada punto de la caja es una asignación, distribuyendo los montos totales de los dos bienes a A y B. Podemos dar y tomar arbitrariamente de una persona a otra, eligiendo cualquier punto de la caja. ¿Qué debemos hacer?

A primera vista, podría parecer que nos gustaría resolver un problema de optimización como este:

En otras palabras, podríamos dar a los consumidores A y B las cantidades de bienes 1 y 2 que maximizan la suma de los servicios públicos individuales sujetos al total de bienes disponibles.

Esta estrategia adolece de un grave problema: No podemos hacer comparaciones de utilidad interpersonal. Esto nos lleva al círculo completo al trabajo que hicimos al principio de este libro en la Teoría del Comportamiento del Consumidor. La utilidad es ordinal, no cardinal. Se permiten transformaciones monótonas (que mantienen intactas las clasificaciones) de utilidad. Utilidad no tiene sentido en términos de sus unidades.

Por lo tanto, un problema de optimización que agrega utilidades individuales no es válido. No tiene sentido decir que la utilidad de A se suma a la utilidad de B para obtener una utilidad total. No hay unidades comunes con las que medir y agregar utilidad. También podrías decir que agregaste tres autos y cuatro lápices y obtuviste siete plantillas.

Sin embargo, existe una manera de juzgar y evaluar diferentes asignaciones de bienes a A y B. Esta es la gran contribución de Pareto a la economía del bienestar.

Pareto desarrolló reglas lógicas que nos permiten sortear las limitaciones de utilidad. Su idea básica era que puedes comparar dos asignaciones en términos de mejor o peor para que puedas hacer declaraciones sobre una asignación en comparación con otra. Inventó un nuevo vocabulario para sus reglas y hoy usamos su nombre cuando trabajamos con estas reglas.

Pareto sabía que no podemos agregar utilidad, pero podríamos comparar dos asignaciones y declarar cuál es mejor. Se procede con el ejemplo, utilizando el libro de Excel y la Figura 18.6.

Desde el punto de dotación inicial en la Figura 18.6, supongamos que consideramos el punto (30,15) para A y (10,25) para B.

La figura 18.6 reproduce lo que hay en tu pantalla. Las dos curvas de indiferencia más gruesas que atraviesan la dotación inicial son el punto de partida. Representan la satisfacción de referencia con la que compararemos otras asignaciones.

Figura 18.6: Caja Edgeworth para criterios de Pareto.

Fuente: EdgeworthBoxParetoOpt.xls! EdgeWorthBox1.

Desde el punto de dotación inicial en la Figura 18.6, supongamos que consideramos la combinación de 30,15 para A y 10,25 para B.

PASO Haga clic en el botón. Aparece un punto rojo en esa coordenada en el cuadro junto con un cuadro de texto.

¿A está mejor en el nuevo punto en comparación con la dotación inicial? ¿Qué tal B?

Como explica el cuadro de texto, aunque las curvas de indiferencia para A y B no se dibujan a través del punto rojo, sabemos que existen porque el mapa de indiferencia es denso, hay una curva de indiferencia a través de cada punto del cuadro. Si trazamos una curva de indiferencia para A a través de ese punto y se encuentra por encima de la curva de indiferencia que atraviesa la dotación inicial, sabemos que A prefiere 30,15 a la dotación inicial.

De hecho, las curvas de indiferencia se extienden más allá de la caja en dirección noreste para A y suroeste para B. La caja solo muestra los montos totales disponibles para cambio.

El mismo argumento que hicimos para A se puede hacer para B. El único truco para B es recordar que interpretas el cuadro desde arriba, esquina derecha y la satisfacción de B aumenta a medida que las curvas de indiferencia se alejan más de la esquina noreste en dirección suroeste.

Debido a que tanto A como B están mejor en 30,15 que la dotación inicial, sabemos que la asignación 30,15 es Pareto Superior a la dotación inicial. También podemos voltear la declaración para decir que la dotación inicial es Pareto Inferior al punto 30,15.

Pareto Superior significa que es posible hacer que al menos una persona esté mejor sin empeorar a nadie más. No hacemos reclamos en cuanto a cuánto mejor. No utilizamos las unidades de utilidad en absoluto. Esto es similar a como discutimos por primera vez la satisfacción en la Teoría del Comportamiento del Consumidor. Pedimos a los consumidores que simplemente eligieran entre un paquete y otro. Aquí se está utilizando la misma lógica.

Considera otro punto que es 30,10 para A y 10,30 para B.

PASO Haga clic en el botón.

Como antes, se coloca un punto rojo en el gráfico y aparece un cuadro de texto. Queremos comparar el punto rojo con la dotación inicial. ¿A está mejor? ¿Qué tal B?

Debido a que el punto 30,10 es mejor para B, pero peor para A, entonces esta asignación es Pareto No comparable a la dotación inicial porque al menos una persona se empeora. Tan pronto como al menos una persona se empeora, se retira como candidata a evaluación.

Ciertamente no podemos evaluar estos puntos diciendo que la utilidad de B sube más que las caídas de A porque la utilidad es sólo ordinal. Según Pareto, nunca podemos cambiar una pequeña disminución en la satisfacción de una persona por una gran ganancia en satisfacción para una o muchas personas porque no se puede sumar utilidad.

Ahora que entendemos los puntos Pareto Superior y Pareto Incomparables, podemos sombrear en todos los puntos que son Pareto Superior a la dotación inicial. A esto se le llama la lente por razones que serán obvias en un momento.

PASO Haga clic en el botón.

Cada punto en el espacio entre e incluyendo las dos curvas de indiferencia que atraviesan la dotación inicial está sombreado en rojo, representando el área de puntos de Pareto Superior. Con curvas de indiferencia generalmente conformadas, este es un objeto en forma de lente.

Volvemos al primer punto, 30,15. Está, por supuesto, dentro de la lente por lo que es Pareto Superior a la dotación inicial, pero ¿tiene algún punto que le sea Pareto Superior?

PASO Haga clic en el botón y luego en el botón 30,15.

El punto 30,15, al igual que la dotación inicial, tiene todo un conjunto de puntos que son Pareto Superior a él. Estos puntos también forman una lente, aunque más pequeña que la lente formada por el Pareto Superior apunta a la dotación inicial, que se estira desde el punto 30,15 hasta donde las dos curvas de indiferencia se cruzan de nuevo.

Claramente, siempre que las curvas de indiferencia de A y B se cruzan en un punto, como la dotación inicial o 30,15, podemos encontrar puntos de Pareto Superior en una lente desde ese punto de partida. ¿Qué sucede cuando las curvas de indiferencia son tangentes?

PASO Haga clic en los botones (si es necesario) y.

Se muestra un punto rojo en una curva de indiferencia para B que es tangente a la curva de indiferencia más alta de A. Llamaremos a este punto de tangencia entre las curvas de indiferencia punto PO1. Este punto PO1 es obviamente Pareto Superior a la dotación inicial ya que está dentro de la lente.

Pero hay algo especial en PO1. Tiene una propiedad que contiene la idea clave de Pareto: ¿PO1 tiene algún punto Pareto Superior? No, no lo hace. El movimiento en cualquier dirección desde el punto PO1 disminuye la satisfacción de alguien. No hay lente desde el punto PO1.

Así, decimos que PO1 es un punto Óptimo de Pareto que no tiene puntos Pareto Superior al mismo. No se puede mejorar a alguien sin lastimar a otra persona. Pareto ¡Los puntos óptimos están donde queremos estar!

Es importante señalar que hay un número infinito de puntos de Pareto Optimal. Dondequiera que las curvas de indiferencia sean tangentes, estamos en un punto óptimo de Pareto.

El conjunto de todos los puntos Óptimo de Pareto se llama curva de contrato. En la Figura 18.7 se muestra una versión minimalista de una curva de contrato para un par de funciones de utilidad desconocido (pero bien comportado). Se muestran algunas curvas de indiferencia, pero debes entender que cada punto de la curva de contrato es un punto de tangencia entre dos curvas de indiferencia. Los lados de la caja no están etiquetados, pero ya sabes leer una Caja Edgeworth.

Figura 18.7: La curva del contrato.

Los puntos óptimos de Pareto son especialmente deseables porque aseguran que no hay forma de mejorar la asignación sin dañar a alguien. Es decir, dadas las limitaciones de la utilidad ordinal, podemos decir que hemos escurrido la mayor ganancia posible si estamos en un punto óptimo de Pareto. Así, a partir de cualquier dotación inicial dada, OOSP querría reasignar los dos bienes para que la asignación esté en la curva del contrato.

Un inconveniente del marco paretiano es que hay muchos puntos de Pareto Optimal al partir de un punto arbitrario, no Pareto Óptimo. No hay forma de elegir entre los puntos de Pareto Optimal.

Matemáticamente, debe quedar claro que los puntos de Pareto Optimal ocurren solo cuando\(MRS_A = MRS_B\). Cuando esta condición se mantiene, las dos curvas de indiferencia son tangentes. Esto significa que tenemos un punto óptimo de Pareto y estamos en la curva de contrato.

Optimalidad de Pareto con Solver

Una forma de encontrar puntos de Pareto Optimal es resolver un problema de optimización. No es la tonta, tonta función objetiva de “suma las utilidades”, sin embargo.

PASO Desde la hoja EdgeWorthBox, abra Solver.

Su cuadro de diálogo Solver debería tener el aspecto de la Figura 18.8. Observe la\(UtilityB=Initial\_UtilityB\) restricción. Vamos a maximizar la utilidad de A sin perjudicar a B. La restricción requiere que la utilidad de B sea la misma que la utilidad inicial. Así, B será indiferente entre la nueva asignación y la dotación inicial.

Figura 18.8: Cuadro de diálogo Parámetros del solucionador.

PASO Haga clic para encontrar una solución óptima a este problema.

Desplácese hacia abajo (si es necesario) para ver la caja Edgeworth. Estamos en lo más alto (desde el punto de vista de A) Punto óptimo de Pareto. Este punto está en la curva de contrato.

¿Y si ejecutamos el mismo análisis, pero maximizamos la utilidad de B sujeta a mantener constante la utilidad de A? Este es otro punto más de Pareto Óptimo.

Algunos estudiantes quieren hacer afirmaciones sobre los puntos en medio de la curva de contrato en la lente como siendo de alguna manera mejores que los dos puntos extremos, pero el análisis de Pareto no permite tales distinciones.

La curva de contrato con Excel

PASO Proceder a la hoja ContractCurve.

Se configura igual que la hoja EdgeWorthBox, excepto las celdas de dotación inicial de A (B18 y B19) tienen una fórmula, =REDONDO (randomnv () *38+1,0).

Esta fórmula le permite generar dotaciones iniciales aleatorias, luego puede usar el Solver de Excel para encontrar un punto en la curva de contrato a partir de esa dotación inicial. Puede usar las estrategias de “utilidad máxima de A manteniendo constante la utilidad de B” o “utilidad máxima de B manteniendo constante la utilidad de A”. En el primer caso, se encuentra la curva de indiferencia más alta de A que es tangente a la curva de indiferencia de B que atraviesa la dotación inicial. Estás haciendo lo contrario cuando maximizas la utilidad de B sujeto a la curva de indiferencia de A que pasa por la dotación inicial.

PASO Haga clic en el botón algunas veces para mover el punto de dotación inicial alrededor de la caja. Cuando encuentres uno que te guste (no importa), encuentra y registra un punto en la curva de contrato. Haz esto varias veces.

Estás muestreando puntos en la curva de contrato y esto te ayuda a aprender cómo funciona la optimalidad de Pareto. ¿Puedes descubrir la forma de la curva de contrato?

PASO Cambia las preferencias de A configurando cA en 0.5. Puntos de muestreo en la curva de contrato (utilizando el mismo método que en el paso anterior). ¿Qué efecto tiene esto en la curva de contrato?

Para ver las respuestas a estas dos preguntas (pero primero intenta responderlas por tu cuenta), haz clic en el botón.

El primer teorema fundamental de la economía del bienestar

No es exagerado decir que hemos llegado a la cima de este libro. Estamos a punto de ver el logro culminante de la teoría económicauna demostración de los efectos de bienestar del sistema de mercado en un marco de equilibrio general.

Con los criterios de Pareto en la mano, estamos listos para juzgar la asignación del mercado. Recordemos que el mercado utiliza los precios para establecer una solución de equilibrio. Los excedentes y la escasez empujan el vector de precios de un lado a otro hasta que se asiente a su solución de equilibrio. ¿Qué podemos decir sobre la solución del mercado?

Podemos decir que es Pareto ¡Óptimo! De hecho, podemos decir que a partir de cualquier dotación inicial, un mecanismo de asignación de mercado produce una solución Pareto Optimal. Este es el Primer Teorema Fundamental de la Economía del Bienestar:

Si las preferencias se comportan bien, la solución de equilibrio de un mercado que funcione correctamente es Pareto Optimal.

La Figura 18.9 reproduce la Figura 18.5 para su comodidad. Es la gráfica canónica del análisis de equilibrio general y muestra la solución de equilibrio del libro Edgeworth-BoxGE.xls. Sabemos que tenemos la solución de equilibrio porque hay un único punto de tangencia común. El consumidor A maximiza eligiendo esa combinación donde alcanza la curva de indiferencia más alta sujeta a la restricción. El consumidor B hace lo mismo.

Figura 18.9: Evaluación de la asignación de mercado.

Fuente: EdgeworthBoxGE.xls! EdgeWorthBox1 con\(\frac{p_1}{p_2}=1\).

Pero es inmediatamente obvio, dado nuestro trabajo en esta sección, que la asignación de mercado es Pareto Optimal. No hay puntos Pareto Superior a ello.

Podemos usar el principio equimarginal para ayudar a explicar este resultado. Cada consumidor está encontrando un punto de tangencia que obedece a la condición matemática,\(MRS = \frac{p_1}{p_2}\). Desde la perspectiva de A, tenemos\(MRS_A = \frac{p_1}{p_2}\). De igual manera, B elige esa combinación donde\(MRS_B = \frac{p_1}{p_2}\). Sin que ellos lo sepan, están terminando en un punto donde\(MRS_A = MRS_B\).

Es decir, al prestar atención a los precios y optimizar, el equilibrio generado por el intercambio de consumidores es al mismo tiempo generar una solución Pareto Optimal. Hay un aspecto de mano invisible en esto en el sentido de que los consumidores no conocen y no les importa la Optimalidad de Pareto.

Los gansos vuelan en un patrón de V a lo largo de miles de millas por corrientes de aire, la resistencia al viento se minimiza al alinear uno mismo en ángulo con el ganso que está adelante, en lugar de volar directamente detrás o junto a un compañero ganso. Los gansos no son completamente conscientes de que están generando un patrón en forma de V. Los consumidores en un mercado son como los gansos, no son completamente conscientes de que están resolviendo un problema de optimización mucho mayor.

Los gansos también sincronizan sus ritmos de ala porque aprovechan la corriente ascendente. Si miras un rebaño, parece que están coordinando su aleteo. Esto fue descubierto recientemente (ver Portugal, et al., 2014) y proporciona un excelente ejemplo de cómo ven los economistas el sistema de mercado.

Con cada agente siguiendo una regla simple, el sistema produce un patrón. En el caso del mercado, es un resultado increíble que la asignación de mercado sea Pareto Optimal.

¿Qué no podemos decir sobre la asignación de mercado?

Desde luego no podemos decir que sea justo. El mercado va a moler a un punto Pareto Optimal desde cualquier dotación inicial. La lógica de Pareto toma como dada la dotación inicial. ¿Y si A empieza con mucho más que B? ¿Y si el mercado no valora los recursos de B? Los criterios de Pareto no tienen nada que decir al respecto. Los economistas han tratado de incluir la equidad en el análisis del bienestar, pero hay poco consenso.

Si hay un Primer Teorema, debe haber un Segundo Teorema, ¿verdad?

Si las preferencias se comportan bien, un funcionamiento adecuado

mercado puede llegar a cualquier punto óptimo de Pareto

si se proporciona la dotación inicial correspondiente.

El Segundo Teorema Fundamental dice que se puede utilizar el mercado para llegar a cualquier asignación óptima de Pareto, es decir, cualquier punto de la curva de contrato. Todo lo que tienes que hacer es establecer la dotación inicial apropiadamente, luego dejar que el mercado haga su magia.

Los dos últimos problemas de la hoja de preguntas y respuestas piden mostrar que funciona el Segundo Teorema Fundamental.

Que los mercados generen soluciones óptimas de Pareto es una idea verdaderamente fundamental

Esta sección marca el final de una larga caminata. Comenzamos con la Teoría del Comportamiento del Consumidor y aprendimos que los consumidores maximizan la satisfacción sujeto a una restricción presupuestaria. Una extensión importante de este modelo básico utiliza una dotación inicial en lugar de ingresos en efectivo.

En un modelo Pure Exchange, combinamos dos consumidores optimizadores en una caja Edgeworth. Su interacción da como resultado una solución de equilibrio.

Utilizando los criterios de Pareto, podemos comparar asignaciones y determinar cuáles son Pareto Optimal. Se trata de asignaciones que no tienen puntos Pareto Superior. El conjunto de todos los puntos de Pareto Optimal forma la curva de contrato.

Estudiantes luchan con el término Pareto optimalidad. Su definición, que no hay manera de mejorar a alguien sin lastimar a otra persona, puede convertirse en un revoltijo de palabras con poco significado real. Aquí está la idea crucial: Pareto Optimalidad significa que no hay desperdicio. La asignación en un punto óptimo de Pareto no se puede mejorar (sin dañar a alguien). Así, la optimalidad de Pareto significa que tenemos una asignación inmejorable.

El Primer Teorema Fundamental de la Economía del Bienestar hace una declaración poderosa porque dice que un mercado que funcione correctamente produce una asignación Óptima de Pareto. Este es un resultado muy deseable.

También es impactante porque los consumidores individuales no tienen idea de que están participando en la solución de un problema de asignación de recursos. Cada consumidor simplemente maximiza la utilidad sujeto a una restricción presupuestaria. Al igual que los gansos que vuelan en una V, cada consumidor está respondiendo a una señal (en el caso del consumidor, los precios) y luego la interacción está produciendo la coordinación.

Observe que el trabajo aquí no ha dicho nada sobre innovación o cambio tecnológico. De hecho, el análisis asume tecnología constante y no hay nuevos productos. El análisis es completamente estático y se basa únicamente en la capacidad del mercado para alcanzar una solución Pareto Optimal en términos de asignar bienes ya producidos en una economía de cambio pura.

Tal vez se pregunte si todos los equilibrios en una caja Edgeworth son Pareto Optimal? Absolutamente no. En la siguiente sección se muestra cómo puede fallar el mercado.

Ejercicios

1. ¿Por qué los criterios de Pareto no logran proporcionar un solo punto que es la mejor asignación?

2. ¿Qué debe ser cierto sobre los exponentes en las funciones de utilidad Cobb-Douglas para que los consumidores A y B generen una curva de contrato lineal? Describe tu procedimiento y explica tu respuesta.

3. Utilice las herramientas de dibujo de Word para dibujar una caja Edgeworth con preferencias de buen comportamiento y un punto Z, donde el\(MRS_A > MRS_B\). Explica por qué el punto Z no es Pareto Óptimo.

4. La curva de contrato (con cA = 0.5) se puede transformar en una frontera de posibilidades de utilidad, como se muestra en la Figura 18.10. ¿Dónde estaría el punto Z (de la pregunta anterior) en esta gráfica? Explique por qué.

   Figura 18.10: Una frontera de posibilidades de utilidad.

Referencias

El epígrafe es de la página 36 de Vilfredo Pareto El ascenso y la caída de las élites: una aplicación de la sociología teórica (publicado originalmente en italiano en 1901, traducido al inglés en 1968, y publicado en rústica en 1991 y 2000). La chamarra trasera dice:

Aquí en breve e incisivo bosquejo están las principales ideas por las que Pareto iba a hacerse más tarde famoso... Este delgado volumen es más legible y disciplinado que la mayoría de las elaboraciones posteriores, y sirve así como una introducción a la sociología política de Pareto... La ironía de Pareto se nota en su ataque a élites que se vuelven humanitarias y tierneras en lugar de duras.

La mayoría de los economistas conocen a Pareto a través de su trabajo sobre la utilidad, la Teoría del Equilibrio General, y la idea de la Optimalidad de Pareto, pero Pareto creció desencantado con la “economía pura” (lo que hoy llamaríamos teoría económica) y se volvió hacia la sociología. Su obra sociológica más famosa es Mind and Society (publicada originalmente en 1916 y traducida por primera vez al inglés en 1935), en la que explica cómo la circulación de las élites impulsa la historia.

Véase Vincent J. Tarascio, Metodological Approach to Economics de Pareto (publicado en 1968) para una comparación de las opiniones de Pareto sobre el alcance y el método de la economía, especialmente en contraste con Alfred Marshall. Mientras que Marshall veía las matemáticas como un lenguaje, capaz de traducirse para que los no matemáticos pudieran entender, Pareto creía que “las matemáticas permiten expresar relaciones entre hechos que no son posibles con otras facilidades o lenguaje ordinario” (Tarascio, p. 106, nota al pie omitida). Pareto no vio necesidad de traducir trabajos fuertemente matemáticos para los “economistas literarios”. Muchas de las ideas de Pareto sobre optimización y equilibrio fueron presentadas en forma de prosa por Philip H. Wicksteed, Common Sense of Political Economy (publicado por primera vez en 1910) y disponibles en línea en www.Econlib.org/Library/wicksteed/wkcs.html.

Sobre gansos volando en una V y coordinando aleteo, ver Steven J. Portugal, Tatjana Y. Hubel, Johannes Fritz, Stefanie Heese, Daniela Trobe, Bernhard Voelkl, Stephen Hailes, Alan M. Wilson y James R. Usherwood (2014), “Explotación de upwash y evitación de downwash por etapas de flap en vuelo de formación ibis”, Naturaleza, 505, pp. 399—402, www.nature.com/articles/nature12939. Mi video, La mano invisible y el sistema de mercado, disponible gratuitamente en vimeo.com/econexcel/invisiblehand, tiene un clip de los autores explicando cómo lo hacen los gansos.