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7.5: Maximización de ganancias en un oligopolio

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    Para introducir el oligopolio, consideremos un ejemplo donde sólo hay dos firmas que abastecen al mercado, la Firma A y la Firma B. Esta es la forma más simple de oligopolio (un duopolio). Para simplificar aún más el ejemplo, supongamos que ambas firmas tienen funciones idénticas de costo variable\(VC= 20Q_{i}\), donde\(i \in [A, B]\). Esto quiere decir que el costo marginal que enfrenta cada firma es\(MC = 20\). Por último, supongamos que la curva de demanda inversa para esta industria es\(P = 200 - 2Q_{A}-2Q_{B}\)

    Sólo para que quede claro,\(Q_{A}\) es la cantidad que produce la Firma A y\(Q_{B}\) es la cantidad que produce la Firma B.

    Debido a que la curva de demanda inversa es lineal, es fácil encontrar ingresos marginales. Tenga en cuenta que la Firma A solo puede elegir\(Q_{A}\). La cantidad de\(Q_{B}\) está fuera del control de la Firma A, por lo que el\(Q_{B}\) componente de la curva de demanda inversa de la industria se convierte en parte de la intersección de la curva de demanda inversa a la que realmente se enfrenta la Firma A. Con esto en mente, el MR para la Firma A es

    \(MR_{A}=200-4Q_{A}-2Q_{B}\).

    Establecido\(MR=MC\) para la Firma A para encontrar la cantidad maximizadora de ganancias para la Firma A condicionada a la elección de salida de la

    \(200-4Q_{A}-2Q_{B} = 200 \Rightarrow Q_{A} = 45 - \dfrac{1}{2} Q_{B}\).

    Esto se conoce como la función de reacción para la Firma A. Indica la elección óptima de la cantidad de la Firma A en función de la cantidad de la Firma B. Es decir, dice cómo reaccionará la cantidad de la Firma A ante un cambio en la cantidad de la Firma B.

    A continuación, repita los pasos anteriores para encontrar la cantidad maximizadora de ganancias para la Firma B condicionada a la elección de salida de la Firma A. MR para la Firma B es

    \(MR_{B} = 200 - 2Q_{A} -4Q_{B}\).

    Establezca MR = MC para la Firma B y resuelva\(Q_{B}\) para obtener la función de reacción de la Firma B.

    \(200-2Q_{A} - 4Q_{B} = 20 \Rightarrow Q_{B} = 45 \dfrac{1}{2} Q_{A}\)

    Equilibrio de Cournot Nash

    Se produce un equilibrio de Cournot Nash donde las funciones de reacción para estas dos empresas se cruzan (ver Figura\(\PageIndex{1}\)). Para encontrar el equilibrio, podemos sustituir la función de reacción de la Firma B en la función de reacción por la Firma A:

    \ (Q_ {A} = 45 -\ dfrac {1} {2} (45 -\ dfrac {1} {2} Q_ {A})

    Ahora hay una ecuación y una desconocida. Resolviendo para\(Q_{A}\) proporciona\(Q_{A} = 30\). Volviendo a poner esto en la función de reacción de la Firma B, también\(Q_{B} = 30\) lo encontramos.

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    Figura\(\PageIndex{1}\): Equilibrio de Cournot Nash para dos empresas en oligopolio

    Finalmente, podemos encontrar el precio en el Cournot Nash Equilibrium poniendo estas cantidades en la curva de demanda inversa de la industria para obtener

    \(P = 200 - 2(30) - 2(30)= 80.\)

    Un equilibrio de Nash se refiere a una situación en la que cada agente elige una estrategia que maximiza sus pagos condicionados a las estrategias de todos los demás agentes. En el ejemplo anterior, la variable estrategia es la cantidad a colocar en el mercado. El equilibrio Cournot es un equilibrio de Nash porque 30 unidades es la cantidad óptima para que la Firma A ponga en el mercado, dado que la Firma B coloca 30 unidades en el mercado y viceversa. Este tipo de equilibrio, lleva el nombre de John Forbes Nash, Jr. , matemático que fue galardonado con el Premio Nobel de Economía por esta idea. El modelo en este ejemplo es uno del oligopolio de Cournot, en el que la competencia es sobre la cantidad. Este modelo lleva el nombre de otro matemático, Antoine Augustin Cournot.

    El dilema de los presos

    El resultado de equilibrio de Cournot Nash no es óptimo desde el punto de vista de los dos oligopolistas porque existe otro resultado factible que proporciona a cada empresa un mayor nivel de ganancias. Para demostrar, supongamos que las dos firmas se fusionaron. Ahora solo habría una cantidad combinada para poner en el mercado\(Q_{M} = Q_{A} + Q_{B}\). La ecuación de demanda inversa para la firma combinada sería

    \(P = 200 - 2Q_{M}.\)

    Suponiendo que la fusión no impacte el costo marginal, el costo marginal seguiría siendo\(MC=20\), pero los ingresos marginales para la firma fusionada serían ahora\(P-200 -4Q_{M}\). Establecer ingresos marginales iguales a costo marginal y resolver por\(Q_{M}\) resultados en la firma fusionada (ahora monopolista) poniendo en el mercado una cantidad de 45 unidades y cobrando un precio de\(P=200-2(45) = $110\). El punto aquí es que técnicamente sería factible que los oligopolistas pusieran cada uno la mitad de esta cantidad, 22.5 unidades, en el mercado. El precio de la industria sería de 110 dólares, y cada uno sería más rentable.

    • En el equilibrio de Cournot Nash, cada empresa obtiene ganancias por encima de los costos fijos de\((80-20) \times 30 = $1800\).
    • Al poner cada uno la mitad de la cantidad de monopolio en el mercado, cada empresa obtendría ganancias por encima de los costos fijos de\((110-20) \times 22.5 = $2025\)

    El dilema de los presos es una metáfora comúnmente utilizada en las ciencias sociales, incluida la economía, para ayudar a comprender problemas como el que enfrentan los oligopolistas en la competencia Cournot. En el dilema de los presos, dos delincuentes son aprehendidos y colocados en celdas separadas. El fiscal tiene pruebas suficientes para encerrar a cada uno por dos años. No obstante, estos delincuentes son culpables de un delito que conlleva una sentencia de ocho años si las pruebas son suficientes para condenar. El fiscal necesita de uno o ambos presos para convertir las pruebas del estado. Los pagos que enfrentan estos presos se resumen en la siguiente tabla

    Mesa\(\PageIndex{1}\). Los beneficios en el dilema de los presos
    Preso 1 (filas), Prisionero 2 (cols.) Preso 2 dice El prisionero 2 no lo dice
    Preso 1 dice -6, -6 0, -8
    El prisionero 1 no lo dice -8, 0 -2, -2

    Nota: El pago del prisionero 1 es el primer número en cada celda (sin juego de palabras), el pago del prisionero 2 es el segundo número.

    El fiscal se reúne con los presos por separado y ofrece reducir la pena en dos años a cambio de implicar al otro en el delito más grave. De esta manera, si un preso implica a su amigo mientras el otro permanece callado, el que gire las pruebas del estado obtendrá una sentencia suspendida (cero años), mientras que el otro obtendrá ocho años. Si ambos presos se implican entre sí, ambos reciben sentencias de seis años. Si ambos guardan silencio, ambos obtienen sentencias de dos años.

    El equilibrio de Nash en el dilema de los presos es que cada prisionero lo cuente por el otro. En consecuencia, cada preso recibe seis años. Si los presos se hubieran callado, habrían conseguido sólo dos años cada uno, algo mejor desde su perspectiva. La razón por la que los presos tienen un dilema es que si creo que me lo dirás, sin duda lo mejor para mí es contar sobre ti. De igual manera, si creo que no me va a decir, sigue siendo de mi interés contar sobre usted y obtener la sentencia suspendida. Además, sé que si no te cuento, tu mejor curso de acción es contarlo conmigo. Así, la mejor acción de cada preso dada su expectativa de la acción del otro es contar.

    El modelo Cournot de oligopolio es como el dilema de los presos. En nuestro ejemplo de los duopolistas anteriores, colocar la mitad de la cantidad de monopolio en el mercado es análogo a “no decir” en el dilema de los presos. Ahora, supongamos que la Firma B decide hacer esto y fija su cantidad en\(Q_{B} = 22.5\). La firma A utiliza su función de reacción para establecer su cantidad como

    \(Q_{A} = 45 \dfrac{1}{2}(22.5) = 33.75.\)

    En este caso, las ganancias de la Firma B por encima de los costos fijos son de $1,518.75. Las ganancias de la Firma A por encima de los costos fijos son de $2,278.13. Esto es mucho mejor de lo que la Firma A podría obtener al igualar la cantidad de Firm 2 en 22.5 unidades y mucho peor para la Firma B en comparación con lo que podría haber logrado si simplemente pusiera su cantidad de equilibrio Cournot en el mercado. Así, en un oligopolio de Cournot, las empresas tienen un incentivo para poner más en el mercado que aquel que optimiza las ganancias para la industria en su conjunto. Este problema se agrava a medida que más y más firmas al oligopolio de Cournot. De hecho, el precio de mercado se acerca al precio competitivo (\(P=MC\)) y las ganancias van a cero a medida que aumenta el número de firmas en un oligopolio de Cournot. \(\PageIndex{2}\)La demostración muestra lo que sucede con las ganancias totales de la industria en el equilibrio de Cournot Nash a medida que aumenta el número de firmas en la industria. Observe que el dilema de los presos se vuelve aún más pronunciado a medida que aumenta el número de firmas.

    Demostración\(\PageIndex{2}\). Rentabilidad de un oligopolio de Cournot en relación con un monopolio a medida que cambia el número de empresas*

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    *En Demostración\(\PageIndex{2}\), la curva de demanda inversa del mercado es\(P = 200 - 2 \Sigma Q_{i}\) y\(MC = 20\) para todas las empresas.

    Versión alternativa de Bertrand del Oligopolio

    En el modelo Cournot, las firmas compiten fijando cantidades. El modelo Bertrand es una formulación alternativa del problema de los oligopolistas y difiere en que las empresas compiten fijando precios en su lugar. Este modelo lleva el nombre de Joseph Bertrand, matemático al que se le atribuye la formalización de este modelo. Nuevamente, para que las cosas sean simples, supongamos que hay dos firmas. Además, supongamos que los productos producidos por cada firma son idénticos. Esto nos permite tomar el ejemplo anterior y adaptarlo al marco de Bertrand.

    Si la Firma A establece su precio por debajo del precio de la Firma B (\(P_{A} < P_{B}\)), entonces la Firma A enfrenta una función de demanda directa de

    \(Q_{A} = 100 - \dfrac{1}{2} P_{A}.\)

    Si la Firma A establece su precio por encima del precio de la Firma B, entonces la demanda de la Firma A es

    \(Q_{A} = 0\)

    Finalmente, si el precio de la Firma A coincide con el precio de la Firma B (\(P_{A} = P_{B}\)), entonces los consumidores eligen aleatoriamente patrocinar la Firma A o la Firma B con la misma probabilidad. En este caso, la Firma A se encuentra para obtener cerca de la mitad del mercado, por lo que su demanda es

    \(Q_{A} = 0.5(100 - \dfrac{1}{2}P_{A}).\)

    La demanda que enfrenta la Firma B está estructurada de manera similar. La firma B obtiene todo el mercado si\(P_{B} < P_{A}\), vende nada si\(P_{B} > P_{A}\), y divide el mercado 50/50 con A si\(P_{B} = P_{A}\). Como antes, supongamos que cada firma enfrenta un costo marginal constante de MC = $20.

    El resultado de equilibrio de Bertrand Nash ocurre donde\(P_{A} = P_{B} = MC\). En este caso, las ganancias para cada firma son cero, y el resultado del oligopolio es el mismo que el que habría ocurrido bajo una competencia perfecta. La demostración\(\PageIndex{3}\) refleja el escenario recién descrito y muestra por qué.

    Supongamos que la Firma A y la Firma B han elegido cada una el precio de monopolio de $110. Cada uno hace $2,025. Esto no puede ser un equilibrio de Nash porque 110 dólares no es el mejor precio para la Firma A dado que la Firma B cobra 110 dólares. La Firma A podría socavar a la Firma B cobrando un precio de 80 dólares, en cuyo caso las ganancias de la Firma A subirían a $3,600. Por supuesto, la Firma B socavaría la Firma A y el proceso continuaría hasta que el precio de cada firma cayera a su costo marginal de 20 dólares. Se trata del Equilibrio Bertrand Nash. Ninguna empresa recortaría por debajo de su costo marginal.

    Demostración\(\PageIndex{3}\). Duopolio de Bertrand

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    Precio Cantidad Ganancias
    Firme A 80.00 30.00 1800.00
    Bufete B 80.00 30.00 1800.00

    El Teorema Folk

    Tanto los resultados de Cournot como de Bertrand tipifican el dilema de los presos porque los resultados de equilibrio no maximizan las ganancias de la industria. En cada caso, hay un resultado factible (compartir el mercado al precio y cantidad de monopolio) que hace que las empresas estén mejor que las ganancias de equilibrio de Nash.

    ¿Podrían las empresas coordinarse tácitamente en una cantidad menor que la cantidad Cournot o en un precio superior al precio de Bertrand? Supongamos, por razones de argumento, que las Firmas A y B están en competencia Bertrand y cada una ha igualado el precio de los demás a 80 dólares. Este precio está por encima del precio Bertrand Nash Equilibrium de $20 por unidad, pero corresponde al precio de mercado que obtendrían las firmas en el Cournot Nash Equilibrium. Si, en el periodo actual, la Firma A eleva su precio de 80 a 110 dólares, el precio de monopolio, ¿cómo debe responder la Firma B? Finge que eres Firme B. Podrías razonar de la siguiente manera:

    • Si mantengo mi precio en 80 dólares y no subo mi precio para igualar a la Firma A, tendré todo el mercado durante este periodo. Mis ganancias serán de $3,600. Esto es sin duda mejor que $2,025 que recibiría si igualara el precio más alto de la Firma A.
    • No obstante, si no coincido, no puedo esperar que la Firma A no siga manteniendo su precio alto en el próximo periodo. Cuando ve que no he igualado su incremento de precio y pierde cuota de mercado, sin duda recortará su precio a 80 dólares durante el siguiente periodo o posiblemente incluso inferior. Voy a volver a conseguir $1,800 en ganancias (o posiblemente algo peor).
    • Si coincido con el aumento de precio de la Firma A, la Firma A probablemente seguirá manteniendo su precio alto en 110 dólares. Así voy a estar recibiendo $2,025 cada periodo en contraposición a $1,800. A largo plazo, igualar el aumento de precio daría sus frutos.

    En este ejemplo altamente estilizado, la decisión de igualar el aumento de precios se reduce a tomar una ganancia única de $3,600 (si la Firma B no coincide) o $2,025 en ganancias en cada período en adelante (si la Firma B coincide).

    El teorema popular afirma que para un dilema indefinidamente repetido de los presos (como Bertrand) y siempre que las tasas de descuento no sean demasiado altas, un resultado preferible al equilibrio de Nash (por ejemplo, un precio por encima del precio de Bertrand) puede sostenerse en el tiempo. Una forma en que las empresas refuerzan el teorema popular es igualar las decisiones de precios de sus competidores tit-for-tat. Ojo por ojo significa que un agente responde en especie a otro. En el ejemplo de Bertrand, la Firma B juega ojo por ojo si recorta (sube) su precio cada vez que la Firma A recorta (sube) su precio. La firma B querría que la Firma A sepa que tiene la intención de jugar ojo por ojo en la fijación de sus precios. Por lo tanto, podría anunciarse para asegurarse de que la Firma A esté consciente de que enfrentará represalias de ojo por ojo en caso de que decida recortar su precio.

    Muchos anuncios que ves envían un mensaje sutil a los competidores de que pueden esperar represalias de ojo por ojo en caso de un recorte de precios. Por ejemplo, considere el siguiente anuncio de Walmart: ir a youtube.com. El anuncio está diseñado para hacerte sentir que obtendrás el mejor precio si compras en Walmart y que toda la cadena de suministro está organizada para mantener los precios bajos. Sin embargo, este agregado también podría enviar un mensaje sutil a los minoristas competidores. El mensaje es el siguiente: Si cortas tu precio, Walmart lo igualará. En otras palabras, piénsalo detenidamente antes de hacer un recorte de precios porque Walmart responderá ¡ojo por ojo!

    Los oligopolistas pueden apelar al teorema popular y evitar el dilema de los presos inherente a los modelos Cournot y Bertrand siempre que se cumplan ciertas condiciones. El teorema mismo menciona dos condiciones.

    1. El primero es que todas las firmas esperan que la interacción competitiva continúe indefinidamente. El teorema popular funciona porque las ganancias futuras sirven como un incentivo para no socavar a los competidores de hoy. Si las empresas saben que la competencia será para este periodo y sólo para este periodo, entonces no hay incentivo para no socavar. Además, si las empresas saben que competirán por un número conocido y finito de periodos, el incentivo para no socavar se desentraña. Esto se debe a que todas las firmas esperan que las demás las socaven en el último periodo, lo que significa que lo mejor sería socavar en el penúltimo periodo, lo que significa que lo mejor sería socavar en el penúltimo periodo, y así sucesivamente. El teorema popular sólo funciona si las empresas esperan estar en competencia en el futuro previsible.
    2. Otro requisito es que las tasas de descuento no sean demasiado altas. Para que se aplique el teorema folclórico, los rendimientos futuros que resulten de no socavar el precio de tu competidor deben ser lo suficientemente grandes como para compensar las ganancias inmediatas que recibirás si socavas a un competidor. Si las tasas de descuento son altas, entonces los rendimientos en el futuro tienen menos valor hoy en día y es menos probable que se aplique el teorema folclórico.

    La rapidez con la que las empresas pueden responder a los cambios de precios de los competidores también afecta si el teorema popular puede sostenerse. Si las empresas juegan ojo por ojo, entonces cuando una empresa socava, puede esperar represalias por parte de otras firmas. Si otras firmas tardan mucho en tomar represalias, entonces la subcotización se vuelve más atractiva independientemente de la tasa de descuento.

    También ayuda si las firmas son similares. Esto se debe a que es ilegal que las empresas se confabulen para fijar precios. Debe haber algún punto de precio que todas las firmas puedan ponerse de acuerdo tácitamente, sin coludir formalmente para fijar un precio. La existencia de tal punto será más probable si las empresas son razonablemente similares en términos de costos y características del producto.


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