4.3: Aproximación de Línea Tangente
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Supongamos que absolutamente necesitabas conocer el valor de la raíz cuadrada de 19 pero todo lo que tenías era lápiz y papel, sin calculadora. ¿Podrías calcularlo? Con tu comprensión actual de la derivada como la pendiente de una línea tangente, deberías ser capaz de hacerlo. Prueba a computar 19 0.5 sin calculadora; luego compara tu resultado con este método de linealización de conceptos y una calculadora.
Linealización
Linealización de una función significa usar la línea tangente de una función en un punto como aproximación a la función en las proximidades del punto. Esta relación entre una tangente y una gráfica en el punto de tangencia a menudo se denomina linealización local.
Dada la función f (x) y la derivada f′ (x), la línea tangente en un punto x0 se puede escribir en forma de punto-pendiente como:
y−f (x 0) =f′ (x 0) (x−x 0) o y=f (x 0) +f′ (x 0) (x−x 0).
Si consideramos que esta línea tangente es una buena aproximación a f (x) en las proximidades de x 0, podemos escribir
f (x) ≈y=f (x 0) +f′ (x 0) (x−x 0). Esta es la linealización de f (x) sobre x 0.
La línea tangente como linealización local de f (x) a menudo se designa L (x), de modo que
f (x) ≈L (x) =f (x 0) +f′ (x 0) (x−x 0).
Toma la función f (x) =x 2 −2x−3 y encuentra la linealización en los puntos x 0 =1.5 y x 0 =−0.5.
La linealización de f (x) viene dada por: f (x) ≈f (x 0) +f′ (x 0) (x−x 0).
Contamos con:
f (1.5) =−3.75 y f (−0.5) =−1.75
f′ (x) =2x−2, de modo que f′ (1.5) =1 y f′ (−0.5) =−3.
La linealización se convierte en:
Como ilustra la figura y la tabla muestra, a medida que nos alejamos de x0, perdemos precisión.
| Error cerca de x0=−0.5 | Error cerca de x0=1.5 | ||||||
| x | f (x) | −3x−3.25 | |Verdadero-Aprox| | x | f (x) | x−5.25 | |Verdadero-Aprox| |
| -1 | 0 | -0.25 | 0.25 | 1.0 | -4 | -4.25 | 0.25 |
| -0.5 | -1.75 | -1.75 | 0.00 | 1.5 | -3.75 | -3.75 | 0.00 |
| 0 | -3 | -3.25 | 0.25 | 2.0 | -3.25 | -3.00 | 0.25 |
Ejemplos
Ejemplo 1
Anteriormente, se le pidió que primero intentara computar 19 0.5 sin una calculadora y luego comparar su resultado con este concepto método de linealización y una calculadora.
Enhorabuena si pudiste linealizar x 0.5 a x=16 (o x=25).
La linealización es y= 1/8 (x−16) +4, lo que significa y=4.375 cuando x=19. Una calculadora daría 4.359.
Ejemplo 2
Encuentra la linealización de f (x) = (x+3) 0.5 en el punto x=−1.
La linealización de f (x) viene dada por: f (x) ≈f (x 0) +f′ (x 0) (x−x 0).
Contamos con:
f (1) =2, y
f′ (x) = 1/2 (x+3) − 1/2, de manera que f′ (1) = 1/4.
La linealización se convierte en:
Esto nos dice que cerca del punto x=1, la función f (x) = (x+3) 0.5 se aproxima a la línea y =( x/4) + 7/4. Como ilustra la figura y la tabla muestra, a medida que nos alejamos de x=1, perdemos precisión.
CC BY-NC-SA
| x | f (x) | ≈14x+74 |
|Verdadero-Aprox| |
|
1 |
2 |
2 |
0 |
|
1.5 |
2.121 |
2.125 |
0.004 |
|
2 |
2.236 |
2.25 |
0.014 |
|
3 |
2.449 |
2.5 |
0.41 |
Ejemplo 3
Encuentra la linealización de y=sinx en x= π/3.
La linealización de f (x) viene dada por: f (x) ≈f (x 0) +f′ (x 0) (x−x 0).
Tenemos
La linealización se convierte en:
CC BY-NC-SA
Ejemplo 4
Sea f una función tal que f (5) =6 y cuya derivada sea f′ (x) = (x 3 +44) 0.5. Aproximado f (5.3).
La linealización de f (x) viene dada por: f (x) ≈f (x 0) +f′ (x 0) (x−x 0).
Ya que tenemos f (5) =6, let x 0 =5.
Entonces f′ (x0) = (x 0 3 +44) 0.5 =169 0.5 =13
La linealización se convierte en:
Revisar
- Encuentra la linealización de f (x) =x 2 +1/ x, x 0 =1, f (1.7)
- Encuentra la linealización de f (x) =tanx en a=π.
- Usa el método de linealización para mostrar que cuando x1 (mucho menos que1), entonces (1+x) n ≈1+nx.
- Usa el resultado del problema #3, (1+x) n≈1+nx, para encontrar la aproximación para lo siguiente:
Para #5 - 13, encuentra la linealización de la función dada en el punto dado x 0 y usa esta aproximación para calcular la cantidad dada. Comparar el resultado con el valor obtenido por la calculadora; computar el error.
Para #13 - 14, estime los siguientes números y determine el error:
Reseña (Respuestas)
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El vocabulario
| Término | Definición |
|---|---|
| linealización | La linealización local de una función significa aproximar la función en un punto por la línea tangente en el punto. |
Recursos adicionales
PLIX: Juega, aprende, interactúa, explora - Estimando raíces cuadradas
Video: Cálculo - Aproximación lineal
Práctica: Aproximación de líneas tangentes
Mundo real: En piloto automático