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3.1.4: Identidades pitagóricas

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    Seno cuadrado más coseno cuadrado es igual a uno.

    l Teorema de Pitágoras trabaja sobre triángulos rectos. Si considera que la coordenada x de un punto a lo largo del círculo unitario es el coseno y la coordenada y del punto es el seno y la distancia al origen es 1 entonces el Teorema de Pitágoras inmediatamente produce la identidad:

    \(\begin{aligned} y^2+x^2&=1 \\ \sin ^2 x+\cos ^2 x&=1\end{aligned}\)

    Un estudiante observador puede adivinar que existen otras identidades pitagóricas con el resto de funciones trigonométricas. ¿Es\(\tan ^2 x+\cot ^2 x=1\) una identidad legítima?

    La prueba de la identidad pitagórica para seno y coseno es esencialmente dibujar un triángulo rectángulo en un círculo unitario, identificando el coseno como la coordenada x, el seno como la coordenada y y 1 como la hipotenusa.

    f-d_40a5046cd8e0f363ceaecb6b23fe92ec50459aa06c5b62954dfa574a+image_thumb_postcard_tiny+image_thumb_postcard_tiny.png
    Figura\(\PageIndex{1}\)

    \(\cos ^2 x+\sin ^2 x=1\)

    o

    \(\sin ^2 x+\cos ^2 x=1\)

    Las otras dos identidades pitagóricas son:

    • \(1+\cot ^2 x=\csc ^2 x\)
    • \(\tan ^2 x+1=\sec ^2 x\)

    Para derivar estas dos identidades pitagóricas, dividir la identidad pitagórica original por\(\sin ^2 x\) y\(\cos ^2 x\) respectivamente.

    Para derivar la identidad pitagórica\(1+\cot ^2 x=\csc ^2 x\) dividirla\(\sin ^2 x\) y simplificar.

    \(\begin{aligned} \dfrac{\sin ^2 x}{\sin ^2 x}+\dfrac{\cos ^2 x}{\sin ^2 x}&=\dfrac{1}{\sin ^2 x}\\ 1+\cot ^2 x&=\csc ^2 x \end{aligned}\)

    De igual manera, para derivar la identidad pitagórica\(\tan ^2 x+1=\sec ^2 x\), dividirla\(\cos ^2 x\) y simplificar.

    \(\begin{aligned}\dfrac{\sin ^2 x}{\cos ^2 x}+\dfrac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x} &=\dfrac{1}{\cos ^2 x}\\ \tan ^2 x+1 &=\sec ^2 x \end{aligned}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Anteriormente, se le preguntó si\(\tan ^2 x+\cot ^2 x=1\) es una identidad legítima. Las cofunciones no siempre están conectadas directamente a través de una identidad pitagórica.

    \(\tan ^2 x+\cot ^2 x \neq 1\)

    Solución

    Visualmente, el triángulo rectángulo que conecta tangente y secante también se puede observar en el círculo unitario. La mayoría de la gente no sabe que tangente se denomina “tangente” porque se refiere a la distancia de la línea tangente desde el punto en el círculo unitario hasta el\(x\) eje. Mira la imagen de abajo y piensa en por qué tiene sentido eso\(\tan x\) y\(\sec x\) están como marcadas. \(\tan x=\dfrac{opp}{adj}\). Dado que el lado adyacente es igual a 1 (el radio del círculo),\(\tan x\) simplemente equivale al lado opuesto. Una lógica similar puede explicar la ubicación de\(\sec x\).

    F-d_cb9e3050991d44f808a779ab92869902bd56d7f87ca4b4e08cf43a7e+image_thumb_postcard_tiny+image_thumb_postcard_tiny.png
    Figura\(\PageIndex{2}\)
    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Simplifica la siguiente expresión:\(\dfrac{\sin x(\csc x−\sin x)}{1−\sin x}\).

    Solución

    \ (\ comenzar {alineado}
    \ dfrac {\ sin x (\ csc x-\ sin x)} {1-\ sin x} &=\ dfrac {\ sin x\ cdot\ csc x-\ sin ^ {2} x} {1-\ sin x}\\
    &=\ dfrac {1-\ sin ^ {2} x} {1-\ sin x}\
    &=\ dfrac {(1-\ sin x) (1+\ sin x)} {1-\ sin x}\\
    &=1+\ sin x
    \ final {alineado}\)

    Tenga en cuenta que factorizar la identidad pitagórica es una de las aplicaciones más potentes y comunes.

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Demostrar la siguiente identidad trigonométrica:\((\sec ^2 x+\csc ^2 x)−(\tan ^2 x+\cot ^2 x)=2\)

    Solución

    Agrupar los términos y aplicar una forma diferente de las dos segundas identidades pitagóricas que son\(1+\cot ^2 x=\csc ^2 x\) y\(\tan ^2 x+1=\sec ^2 x\).

    \(\begin{aligned} (\sec ^2 x+\csc ^2 x)−(\tan ^2 x+\cot ^2 x) &=\sec ^2 x−\tan ^2 x+\csc ^2 x−\cot ^2 x \\&=1+1\\&=2\end{aligned}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Simplifica la siguiente expresión. Nota:\(\sec ^2 x=\dfrac{1}{\cos ^2 x}\)

    Solución

    \((\sec ^2 x)(1−\sin ^2 x)−(\dfrac{\sin x}{\csc x}+\dfrac{\cos x}{\sec x})\)

    \(\begin{aligned} (\sec ^2 x)(1−\sin ^2 x)−(\dfrac{\sin x}{\csc x}+\dfrac{\cos x}{\sec x})&=\sec ^2 x\cdot \cos ^2 x−(\sin ^2 x+\cos ^2 x) \\ &=1−1 \\&=0\end{aligned}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Simplifica la siguiente expresión.

    \((\cos t−\sin t)^2+(cost+\sin t)^2\)

    Solución

    Obsérvese que inicialmente, la expresión no es la misma que la identidad pitagórica.

    \(\begin{aligned} (\cos t−\sin t)^2+(\cos t+\sin t)^2&=\cos^2t−2\cos t \sin t+sin^2t+cos^2t+2 \cos t \sin t+\sin^2 t\\&=1−2\cos t \sin t+1+2\cos t \sin t \\&=2\end{aligned}\)

    Revisar

    1. Demostrar cada uno de los siguientes:
    2. \((1−\cos ^2 x)(1+\cot ^2 x)=1\)
    3. \(\cos x(1−\sin ^2 x)=cos^3 x\)
    4. \(\sin ^2 x=(1−\cos x)(1+\cos x)\)
    5. \(\sin x=\dfrac{\sin ^2 x+\cos ^2 x}{\csc x}\)
    6. \(sin^4x−cos^4x=\sin ^2 x−\cos ^2 x\)
    7. \(\sin ^2 x cos ^3x=(\sin ^2 x− \sin^4x)(\cos x)\)

    Simplifica cada expresión tanto como sea posible.

    1. \(\tan^3x \csc^3x\)
    2. \(\dfrac{\csc^2x−1}{sec^2x}\)
    3. \(\dfrac{1−\sin ^2 x}{1+\sin x}\)
    4. \(\sqrt{1−\cos ^2 x}\)
    5. \(\dfrac{\sin ^2 x−sin^4 x}{\cos ^2 x}\)
    6. \((1+\tan ^2 x)(\sec ^2 x)\)
    7. \(\dfrac{\sin ^2 x+\tan ^2 x+\cos ^2 x}{\sec x}\)
    8. \(\dfrac{1+\tan ^2 x}{\csc ^2 x}\)
    9. \(\dfrac{1−\sin ^2 x}{\cos x}\)

    Reseña (Respuestas)

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 6.2.

    El vocabulario

    Término Definición
    identidad Una identidad es una oración matemática que involucra el símbolo “=” que siempre es verdadera para las variables dentro de los dominios de las expresiones de ambos lados.
    Identidad pitagórica La identidad pitagórica es una relación que muestra que el seno de un ángulo cuadrado más el coseno de un ángulo cuadrado es igual a uno.
    Teorema de Pitágoras El Teorema de Pitágoras es una relación matemática entre los lados de un triángulo rectángulo\(a^2+b^2=c^2\), dada por, donde a y b son patas del triángulo y c es la hipotenusa del triángulo.

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