3.1.5: Identidades pares e impares

Funciones simétricas con respecto al eje y o alrededor del origen.

Tú y tu amigo están juntos en clase de matemáticas. Disfrutas mucho hablando fuera de clase sobre todos los temas interesantes que cubres en clase. Últimamente has estado cubriendo funciones trigonométricas y el círculo de unidades. Resulta que las funciones trigonométricas de ciertos ángulos son bastante fáciles de recordar. Sin embargo, tú y tu amigo están deseando que hubiera una manera fácil de “atajo” cálculos para que si conocieras una función trigonométrica para un ángulo podrías relacionarla con la función trigonométrica para otro ángulo; en efecto te da más recompensa por conocer la primera función trigonométrica.

Estás examinando algunas notas y empezando a escribir funciones trigonométricas al azar. Eventualmente escribes:

\(\cos \left(\dfrac{\pi}{18}\right)\)

¿Hay alguna manera de que si supieras cómo calcular esto, automáticamente sabrías la respuesta para un ángulo diferente?

Una función par es una función donde el valor de la función que actúa sobre un argumento es el mismo que el valor de la función cuando actúa sobre el negativo del argumento. O, en definitiva:

\(f(x)=f(−x)\)

Entonces, por ejemplo, si\(f(x)\) hay alguna función que sea par, entonces\(f(2)\) tiene la misma respuesta que\(f(-2)\). \(f(5)\)tiene la misma respuesta que\(f(-5)\), y así sucesivamente.

Por el contrario, una función impar es una función donde el negativo de la respuesta de la función es lo mismo que la función que actúa sobre el argumento negativo. En términos matemáticos, esto es:

\(−f(x)=f(−x)\)

Si una función fuera negativa, entonces\(f(-2) = -f(2)\),\(f(-5) = -f(5)\), y así sucesivamente.

Las funciones son pares o impares dependiendo de cómo se vea el comportamiento final de la representación gráfica. Por ejemplo,\(y=x^2\) se considera una función par porque los extremos de la parábola apuntan ambos en la misma dirección y la parábola es simétrica alrededor del\(y\) eje −axis. \(y=x^3\)se considera una función impar por la razón opuesta. Los extremos de una función cúbica apuntan en direcciones opuestas y, por lo tanto, la parábola no es simétrica alrededor del\(y\) eje −axis. ¿Qué pasa con las funciones trig? No tienen exponentes para darnos la pista par o impar (cuando el grado es par, una función es par, cuando el grado es impar, una función es impar).

\(\dfrac{\text { Even Function }}{y=(-x)^{2}=x^{2}} \quad \dfrac{\text { Odd Function }}{y=(-x)^{3}=-x^{3}}\)

Consideremos seno. Empezar con\(\sin(−x)\). ¿Será igual\(\sin x\) o\(−\sin x\)? Enchufe un par de valores para ver.

\(\begin{aligned} \sin(−30^{\circ} )&=\sin 330^{\circ} =−\dfrac{1}{2}=−\sin 30^{\circ} \\ \sin(−135^{\circ} ) &=\sin 225^{\circ} =−\dfrac{\sqrt{2}}{2}=−\sin 135^{\circ}\end{aligned}\)

De esto vemos que el seno es impar. Por lo tanto\(\sin(−x)=−\sin x\),, por cualquier valor de\(x\). Para el coseno, conectaremos un par de valores para determinar si es par o impar.

\(\begin{aligned} \cos(−30^{\circ} )&=\cos 330^{\circ} =\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\cos 30^{\circ} \\ \cos(−135^{\circ} ) &=\cos 225^{\circ} =−\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\cos 135^{\circ}\end{aligned}\)

Esto nos dice que el coseno es parejo. Por lo tanto\(\cos(−x)= \cos x\),, por cualquier valor de\(x\). Las otras cuatro funciones trigonométricas son las siguientes:

\(\begin{aligned} \tan(−x)&=−\tan x \\ \csc(−x)&=−\csc x \\ \sec(−x)&=\sec x \\ \cot(−x)&=−\cot x \end{aligned}\)

Observe que cosecante es impar como seno y secante es par como coseno.

Encontrar identidades pares e impares

1. Encuentra\(\sin x\)

Si\(\cos(−x)=\dfrac{3}{4}\) y\(\tan(−x)=−\dfrac{\sqrt{7}}{3}\), encuentra\(\sin x\).

Sabemos que el seno es impar. El coseno es parejo, así\(\cos x=\dfrac{3}{4}\). La tangente es impar, entonces\(\tan x=\dfrac{\sqrt{7}}{3}\). Por lo tanto, el seno es positivo y\(\sin x=\dfrac{\sqrt{7}}{4}\).

2. Encontrar sin (-x)

Si\(\sin(x)=.25\), encuentra\(\sin(−x)\)

Dado que seno es una función impar,\(\sin(−\theta )=−\sin(\theta )\).

Por lo tanto,\(\sin(−x)=−\sin(x)=−.25\)

3. Encuentra cos (-x)

Si\(\cos(x)=.75\), encuentra\(\cos(−x)\)

Dado que el coseno es una función par,\(\cos(x)=\cos(−x)\).

Por lo tanto,\(\cos(−x)=.75\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Antes, se le pidió que computara\(\cos\left(\dfrac{\pi }{18}\right)\).

Solución

Ya que ahora sabes que el coseno es una función par, llegas a conocer el coseno del negativo de un ángulo automáticamente si conoces el coseno del positivo del ángulo.

Por lo tanto\(\cos\left(\dfrac{\pi}{18}\right)=.9848\), ya que, automáticamente lo sabes\(\cos\left(-\dfrac{\pi}{18}\right)=\cos\left(\dfrac{17\pi}{18}\right)=.9848\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

¿De qué dos ángulos tienen un valor para el coseno\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)?

Solución

En el círculo unitario, los ángulos\(30^{\circ}\) y\(330^{\circ}\) ambos tienen\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) como valor para el coseno. \(330^{\circ}\)se puede reescribir como\(−30^{\circ}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Si\(\cos\theta =\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), encuentra\(sec(−\theta )\)

Solución

Hay 2 formas de pensar sobre este problema. Ya que\(\cos\theta =\cos−\theta\), se podría decir\(\sec(−\theta )=\dfrac{1}{\cos(−\theta )}=\dfrac{1}{cos(\theta )}\) O se podría dejar la función coseno como es y decir eso\(\sec(−\theta )=\sec(\theta )=\dfrac{1}{\cos\theta}\). Pero de cualquier manera, la respuesta es\(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Si\(cot\theta =−\sqrt{3}\) encuentra\(cot−\theta\)

Solución

Ya que\(\cot(−\theta )=−cot(\theta )\), si\(\cot \theta =−\sqrt{3}\) entonces\(−\cot(−\theta )=−\sqrt{3}\). Por lo tanto,\(\cot(−\theta )=\sqrt{3}\).

Revisar

Identificar si cada función es par o impar.

1. \(y=\sin(x)\)
2. \(y=\cos(x)\)
3. \(y=\cot(x)\)
4. \(y=x^4\)
5. \(y=x\)
6. Si\(\sin(x)=.3\), ¿qué es\(\sin(−x)\)?
7. Si\(\cos(x)=.5\), ¿qué es\(\cos(−x)\)?
8. Si\(\tan(x)=.1\), ¿qué es\(\tan(−x)\)?
9. Si\(\cot(x)=.3\), ¿qué es\(\cot(−x)\)?
10. Si\(\csc(x)=.3\), ¿qué es\(\csc(−x)\)?
11. Si\(\sec(x)=2\), ¿qué es\(\sec(−x)\)?
12. Si\(\sin(x)=−.2\), ¿qué es\(\sin(−x)\)?
13. Si\(\cos(x)=−.25\), ¿qué es\(\sec(−x)\)?
14. Si\(\csc(x)=4\), ¿qué es\(\sin(−x)\)?
15. Si\(\tan(x)=−.2\), ¿qué es\(\cot(−x)\)?
16. Si\(\sin(x)=−.5\) y\(\cos(x)=−\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), ¿qué es\(\cot(−x)\)?
17. Si\(\cos(x)=−.5\) y\(\sin(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), ¿qué es\(\tan(−x)\)?
18. Si\(\cos(x)=−\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) y\(\tan(x)=−1\), ¿qué es\(\sin(−x)\)?

Reseña (Respuestas)

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El vocabulario

Término	Definición
Función Incluso	Una función par es una función con una gráfica que es simétrica con respecto al eje y y tiene la propiedad que\(f(−x)=f(x)\).
Función impar	Una función impar es una función con la propiedad que\(f(−x)=−f(x)\). Las funciones impares tienen simetría rotacional sobre el origen.

Recursos adicionales

Video: Identidades trigonométricas pares e impares

Práctica: Identidades pares e impares